2021-2022學(xué)年江蘇省南通市啟東中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年江蘇省南通市啟東中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．等差數(shù)列為遞增數(shù)列，為其前項(xiàng)和，已知，，則（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算公式計(jì)算出公差，進(jìn)而利用求和公式計(jì)算出答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由，，得：，解得：，又因?yàn)閿?shù)列遞增，所以，，所以．故選：A．2．橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．3A由雙曲線方程知，結(jié)合橢圓方程及共焦點(diǎn)有且，即可求值.【詳解】由雙曲線知：且，而其與橢圓有相同焦點(diǎn)，∴且，解得，故選：A3．已知橢圓：，左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為5，則的值是A．1 B． C． D．D【分析】由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．【詳解】由0＜b＜2可知，焦點(diǎn)在x軸上，∵過(guò)F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時(shí)|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D．本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．4．已知數(shù)列前項(xiàng)和為且

為非零常數(shù)則下列結(jié)論中正確的是（

）A．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列 B．時(shí)C．當(dāng)時(shí)， D．C【分析】根據(jù)，利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得，又，所以數(shù)列是以p為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，故C正確；由得，故D錯(cuò)誤，故選：C5．以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B．C． D．A【分析】先由雙曲線方程，得到右頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)所求拋物線方程為，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由雙曲線的方程可得：右頂點(diǎn)為：，設(shè)所求拋物線方程為：，因?yàn)槠湟詾榻裹c(diǎn)，所以，因此；故拋物線方程為.故選：A本題主要考查由焦點(diǎn)坐標(biāo)求拋物線方程，熟記雙曲線的性質(zhì)以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可，屬于基礎(chǔ)題型.6．給出下列說(shuō)法：①方程表示一個(gè)圓；②若，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；③已知點(diǎn)、，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支；④以過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4B【分析】對(duì)于①，由配方法整理方程，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案；對(duì)于②，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案；對(duì)于③，根據(jù)雙曲線的定義，可得答案；對(duì)于④，根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合圓與直線的位置關(guān)系，可得答案.【詳解】方程即不表示圓，故①錯(cuò)；若m>n>0，則方程，即，所以表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故②對(duì)；已知點(diǎn)、，若，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線，故③錯(cuò)；設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)為A,B，線段AB的中點(diǎn)為M,由拋物線的定義可得即為AB兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離和，即為M點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的兩倍，所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故④對(duì)；故選：B.7．以下四個(gè)命題表述錯(cuò)誤的是（

）A．圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于B．曲線與曲線，恰有四條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為C．已知圓，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引一條切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為D．已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線，，為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B【分析】選項(xiàng)A根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來(lái)確定所求點(diǎn)的個(gè)數(shù)；選項(xiàng)B根據(jù)兩曲線有四條公切線，確定曲線類型為圓，再由兩圓外離列不等式求解；選項(xiàng)C利用圓心與切點(diǎn)的連線垂直切線列等式，轉(zhuǎn)化為求圓心到直線上的點(diǎn)的距離的最小值問(wèn)題；選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，求出切線的方程即可判斷．【詳解】解：選項(xiàng)A：圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，所以圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：方程可化為，故曲線表示圓心為，半徑的圓，方程可化為，因?yàn)閳A與曲線有四條公切線，所以曲線也為圓，且圓心為，半徑

，同時(shí)兩圓的位置關(guān)系為外離，有，即，解得，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，由切線的性質(zhì)知，為直角三角形，，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：設(shè)點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，則以，為直徑的圓的方程為，即：，兩圓的方程相減得到直線方程為，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)，D正確．故選：B．8．九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一”．在某種玩法中，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的移動(dòng)最少次數(shù)，若，且，則解下個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（

）A． B．C． D．C【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算可得出，即為所求.【詳解】數(shù)列滿足．且，所以，，，，.所以解下個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為．故選：C．二、多選題9．下列四個(gè)命題中，假命題的是（

）A．要唯一確定拋物線，只需給出拋物線的準(zhǔn)線和焦點(diǎn)B．要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的橢圓，只需給出一個(gè)焦點(diǎn)和橢圓的上一點(diǎn)C．要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的雙曲線，只需給出雙曲線上的兩點(diǎn)D．要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線方程和離心率CD【分析】對(duì)于四個(gè)選項(xiàng)，分別根據(jù)圓錐曲線的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A：選項(xiàng)中給出拋物線上的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，由拋物線定義可確定拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以能唯一確定拋物線，故A正確；B：選項(xiàng)中以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，給出橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則另一個(gè)焦點(diǎn)能確定，再給出橢圓上一點(diǎn)，則可確定橢圓上點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和，由橢圓定義可知，能唯一確定橢圓，所以B選項(xiàng)正確；C：選項(xiàng)中以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，若給出的雙曲線上的兩點(diǎn)關(guān)于雙曲線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則無(wú)法確定雙曲線，所以C選項(xiàng)不正確；D：選項(xiàng)給出雙曲線的一條漸近線方程和離心率，但無(wú)法確定焦點(diǎn)的位置，所以無(wú)法唯一確定雙曲線，所以D選項(xiàng)不正確．故選：CD．10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)任作一直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線為拋物線的準(zhǔn)線，則（

）A．以線段為直徑的圓與直線相離B．的最小值為C．為定值D．當(dāng)，不重合時(shí)，直線，軸，直線三線交于同一點(diǎn)ABCD【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和、的方程，方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，利用已知條件，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：設(shè)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，于是以線段為直徑的圓與直線一定相切，進(jìn)而與直線一定相離，A正確；設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，，則，．于是，當(dāng)時(shí)，有最小值為，B正確；由，，得為定值，故C對(duì)；，則直線的方程為，令，得即與軸的交點(diǎn)為，恰為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，故D正確．故選：ABCD．11．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差，前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論成立的有A．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為100B．若成等比數(shù)列，則C．若，則n的最小值為6D．若，則的最小值為AB由已知可得:,,,則數(shù)列為等差數(shù)列通過(guò)公式即可求得前10項(xiàng)和;通過(guò)等比中項(xiàng)可驗(yàn)證B選項(xiàng);因?yàn)?通過(guò)裂項(xiàng)求和可求得;由等差的性質(zhì)可知利用基本不等式可驗(yàn)證選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】由已知可得:,,,則數(shù)列為等差數(shù)列,則前10項(xiàng)和為.所以A正確;成等比數(shù)列,則,即,解得故B正確;因?yàn)樗?解得,故的最小值為7,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;等差的性質(zhì)可知,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)取等號(hào),因?yàn)?所以不成立,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:AB.本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查裂項(xiàng)求和,等比中項(xiàng),和基本不等式求最值,難度一般.12．已知雙曲線，若圓與雙曲線的漸近線相切，則（

）A．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為B．雙曲線的離心率C．點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)到的兩條漸近線的距離分別為、，則D．直線與交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則BCD【分析】利用雙曲線的漸近線與圓相切求出的值，結(jié)合離心率公式可判斷AB選項(xiàng)的正誤；設(shè)點(diǎn)，則，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用點(diǎn)差法可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：由題意知的漸近線方程為，所以，因?yàn)椋瑒t，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；，所以，故B正確；設(shè)，則，，故C正確；設(shè)、，則，兩式作差得，所以，，D對(duì).故選：BCD.三、填空題13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則____．.【分析】利用求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)可得，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式做差可得，因?yàn)?，所以?shù)列是從第二項(xiàng)開始，以3為公比的等比數(shù)列，所以故14．過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為______.或【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、所求直線的斜率不存在，則直線的方程為，驗(yàn)證是否與圓相切，②、所求直線的斜率存在，設(shè)其方程為，由直線與圓的位置關(guān)系可得的值，即可得此時(shí)直線的方程，綜合2種情況即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①、所求直線的斜率不存在，則直線的方程為，與圓相切，符合題意；②、所求直線的斜率存在，設(shè)其方程為，即，要求直線與圓相切，則有，解可得，此時(shí)要求直線的方程為：，綜上可得：所求直線的方程為：或故答案為或本題考查圓的切線方程的計(jì)算，注意分析直線的斜率是否存在，屬于基礎(chǔ)題．15．過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F作互相垂直的弦AB，CD，則四邊形ACBD面積的最小值為____．32【分析】設(shè)直線的方程為，將直線的方程代入拋物線的方程，列出韋達(dá)定理，利用拋物線的定義得出，同理得出，由面積公式結(jié)合基本不等式可得出四邊形面積的最小值．【詳解】如下圖所示，顯然焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，可設(shè)直線的方程為，將直線的方程代入拋物線的方程并整理得，所以，，所以，，同理可得，由基本不等式可知，四邊形的面積為．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，四邊形的面積的最小值為32．本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系應(yīng)用，弦長(zhǎng)的求法，基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．四、雙空題16．2021年是中國(guó)傳統(tǒng)的“?！蹦?，可以在平面坐標(biāo)系中用拋物線與圓勾勒出牛的形象．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，圓：與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，直線：與拋物線的交點(diǎn)為，直線與圓在第一象限的交點(diǎn)為，則______；周長(zhǎng)的取值范圍為______．

2

【分析】聯(lián)立圓與拋物線的方程即可求得m，然后由分別與拋物線，與圓的方程聯(lián)立求得A，B的坐標(biāo)，再結(jié)合拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示：由，解得，∴由，解得，所以由，解得，所以，由拋物線的定義得：∴，∴周長(zhǎng)，，.，故2，．五、解答題17．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且，，N．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．（1）；（2）證明見解析，（1）由和分別表示出等式中的、、和，解方程組求出和，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出即可；（2）時(shí)，求出，時(shí)，由和的關(guān)系得到，進(jìn)而求出，用定義證明數(shù)列是等差數(shù)列即可，分別求出數(shù)列和的前項(xiàng)和，從而求出.【詳解】（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，，所以.（2）由題意，當(dāng)時(shí)，，又，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，又，所以，，所以，所以，，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.本題主要考查求等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，考查分組求和的計(jì)算方法，屬于中檔題.18．如圖，圓M：，點(diǎn)為直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B．（1）若，求切線所在直線方程；（2）求的最小值；（1）切線方程為，（2）【分析】（1）設(shè)出切線方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解；（2）將弦長(zhǎng)構(gòu)造成角度的函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）由題意，切線斜率存在，可設(shè)切線方程為，即，則圓心M到切線的距離，解得或，故所求切線方程為，；（2）連接，交于點(diǎn)N，設(shè)，則，在中，，因?yàn)?，，?故的最小值為.本題考查圓的切線方程的求解，以及圓中弦長(zhǎng)的最值問(wèn)題，屬綜合題；第二問(wèn)的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造函數(shù)，本題以角度入手，值得總結(jié).19．在①離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②半長(zhǎng)軸的平方與半焦距之比等于常數(shù)，且焦距為這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的直線存在，求出的方程；若問(wèn)題中的直線不存在，說(shuō)明理由.問(wèn)題：已知曲線：的焦點(diǎn)在軸上，______，是否存在過(guò)點(diǎn)的直線，與曲線交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)？注：若選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.答案見解析【分析】選條件：可得曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，根據(jù)條件求出雙曲線方程，根據(jù)直線的斜率是否存在分別討論，斜率不存在時(shí)易得直線方程，驗(yàn)證是否滿足題意即可；斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由韋達(dá)定理驗(yàn)證是否滿足題意；選條件：可得曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，根據(jù)條件求出橢圓方程，根據(jù)直線的斜率是否存在分別討論，斜率不存在時(shí)易得直線方程，驗(yàn)證是否滿足題意即可；斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理驗(yàn)證是否滿足題意.【詳解】選條件：由題設(shè)得曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，設(shè)，，所以的方程為，由題設(shè)得，解得，，所以的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，直線的方程為，即，代入得，若，即時(shí)，方程有且僅有一解，不符合題意；若，即時(shí)，其判別式，則，所以方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解時(shí)，，于是，解得，與且矛盾，所以，不存在直線，與曲線交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．選條件：由題設(shè)得曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，設(shè)，，所以的方程為，由題設(shè)得，解得，，所以的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入得，不是線段的中點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，直線的方程為，即，代入得，其判別式，于是，解得，故，即，所以存在直線：，與曲線交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．方法點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，數(shù)列的前項(xiàng)和是，若，，．再?gòu)娜齻€(gè)條件：①；②，；③，中任選一組作為已知條件，完成下面問(wèn)題的解答．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）定義：．記，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．選擇見解析；（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)已知條件可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，根據(jù)求出的值，可求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.選①，由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；選②，推導(dǎo)出數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，結(jié)合可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；選③，由的通項(xiàng)公式結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的表達(dá)式，進(jìn)而可求得的值.【詳解】（1）由已知得，為等比數(shù)列，公比為，則，，所以，.選擇①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.滿足，所以，；選擇②，，即，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，；選擇③，；（2），，，，當(dāng)且時(shí)，令，則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且，即.所