2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市賓縣第二中學(xué)高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市賓縣高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算，表示出復(fù)數(shù)，進(jìn)而得到其在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到所在象限．【詳解】由復(fù)數(shù)加法運(yùn)算可知在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)坐標(biāo)為，所以所在象限為第三象限所以選C本題考查了復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)單加法運(yùn)算，復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)及其象限，屬于基礎(chǔ)題．2．下列說(shuō)法正確的是（

）A．三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面C．四邊形一定是平面圖形 D．兩條相交直線可以確定一個(gè)平面D【分析】根據(jù)確定平面的公理以及推論判斷即可.【詳解】A錯(cuò)誤，不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；B錯(cuò)誤，一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；C錯(cuò)誤，四邊形不一定是平面圖形，比如空間四邊形；D正確，兩條相交直線可以確定一個(gè)平面．故選：D．3．拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3的概率為（

）A． B． C． D．D【分析】列舉出所有可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，按照古典概型求解概率即可.【詳解】可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有1，2，3，4，5，6共6種，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3的概率為.故選：D.4．在中，角所對(duì)的邊分別是，則（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)正弦定理，即可求解.【詳解】解：由正弦定理得，，故選：A.5．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．2 D．-2B【分析】由平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示出，，再由平面向量共線的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】由已知得，，又因?yàn)?，所以有，解?故選：B6．沙糖桔網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．月收入的最大值為90萬(wàn)元，最小值為30萬(wàn)元 B．這一年的總利潤(rùn)超過(guò)400萬(wàn)元C．這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D．7月份的利潤(rùn)最大B【分析】根據(jù)圖形和中位數(shù)、眾數(shù)的概念依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：由圖可知，月收入的最大值為90，最小值為30，故A正確；B：各個(gè)月的利潤(rùn)分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以總利潤(rùn)為20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(萬(wàn)元)，故B錯(cuò)誤；C：這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，故C正確；D：7月份的利潤(rùn)最大，為60萬(wàn)元，故D正確.故選：B7．甲乙兩個(gè)雷達(dá)獨(dú)立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別是0.9和0.8，飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為（

）A．0.72 B．0.26 C．0.7 D．0.98D【分析】利用對(duì)立事件的概率求法求飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率.【詳解】由題設(shè)，飛行目標(biāo)不被甲、乙發(fā)現(xiàn)的概率分別為、，所以飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為.故選：D8．對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機(jī)”，B＝“兩次都沒擊中飛機(jī)”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系不正確的是（

）A．A?DB．B∩D＝C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪DD【分析】按照事件間的互斥關(guān)系和包含關(guān)系分析求解即可.【詳解】“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A?D，A∪C＝DB，D為互斥事件，B∩D＝；A∪B＝“兩個(gè)飛機(jī)都擊中或者都沒擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等故選：D9．甲、乙兩支女子曲棍球隊(duì)在去年的國(guó)際聯(lián)賽中，甲隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為3.2，全年比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3；乙隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為1.8，全年比賽進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3，下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為①甲隊(duì)的進(jìn)球技術(shù)比乙隊(duì)好；②乙隊(duì)發(fā)揮比甲隊(duì)穩(wěn)定；③乙隊(duì)幾乎每場(chǎng)都進(jìn)球；④甲隊(duì)的表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞.A．1 B．2 C．3 D．4D【分析】根據(jù)甲隊(duì)比乙隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球個(gè)數(shù)多，得到甲對(duì)的技術(shù)比乙隊(duì)好判斷①；根據(jù)兩個(gè)隊(duì)的標(biāo)準(zhǔn)差比較，可判斷甲隊(duì)不如乙隊(duì)穩(wěn)定；由平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)一步可知乙隊(duì)幾乎每場(chǎng)都進(jìn)球，甲隊(duì)的表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞.【詳解】因?yàn)榧钻?duì)每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為，乙隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為，甲隊(duì)平均數(shù)大于乙隊(duì)較多，所以甲隊(duì)技術(shù)比乙隊(duì)好，所以①正確；因?yàn)榧钻?duì)全年比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，乙隊(duì)全年進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，乙隊(duì)的標(biāo)準(zhǔn)差小于甲隊(duì)，所以乙隊(duì)比甲隊(duì)穩(wěn)定，所以②正確；因?yàn)橐谊?duì)的標(biāo)準(zhǔn)差為，說(shuō)明每次進(jìn)球數(shù)接均值，乙隊(duì)幾乎每場(chǎng)都進(jìn)球，甲隊(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為，說(shuō)明甲隊(duì)表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞，所以③④正確，故選D.本題考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差，其中數(shù)據(jù)的平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度，一般從這兩個(gè)方面對(duì)數(shù)據(jù)作出相應(yīng)的估計(jì)，屬于基礎(chǔ)題.10．已知正方體ABCD－ABCD中異面直線AC與BC所成角為（

）A．45 B．60 C．90 D．30B【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)確定AC與BC所成角的平面角，進(jìn)而判斷其大小.【詳解】由正方體的性質(zhì)知：，故AC與BC所成角為或其補(bǔ)角，又△為等邊三角形，則.故選：B二、多選題11．在中，下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則一定為等腰三角形C．若，則一定為等腰三角形D．若三角形的三邊滿足，則該三角形的最大角為鈍角BCD【分析】根據(jù)正弦定理，余弦定理以及三角函數(shù)恒等變換即可逐項(xiàng)求解．【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由正弦定理結(jié)合大角對(duì)大邊得：，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由于，又，是三角形的內(nèi)角，所以，或，即或，因此可能為等腰三角形或直角三角形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若中，，，，可得，不是等腰三角形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，可得為銳角，無(wú)法判斷三角形的最大角為鈍角，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BCD．12．在四棱錐中，底面是正方形，底面，，截面與直線平行，與交于點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）A．為的中點(diǎn)B．與所成的角為C．平面D．三棱錐與四棱錐的體積之比等于ACD【分析】在A中，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則平面平面，推導(dǎo)出，由四邊形是正方形，從而，進(jìn)而；在B中，由，得（或其補(bǔ)角）為與所成角，推導(dǎo)出，從而與所成角為；在C中，推導(dǎo)出，，由此能證明平面；在D中，設(shè)，則，．由此能求出三棱錐與四棱錐的體積之比等于．【詳解】解：在A中，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則平面平面，∵平面，平面，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，故A正確；在B中，∵，∴（或其補(bǔ)角）為與所成角，∵平面，平面，∴，在中，，∴，∴與所成角為，故B錯(cuò)誤；在C中，∵四邊形為正方形，∴，∵平面，平面，∴，∵，、平面，∴平面，故C正確；在D中，設(shè)，則，．∴，故D正確．故選：ACD．三、填空題13．已知點(diǎn)，，則___________.【分析】由向量坐標(biāo)得，再由模長(zhǎng)公式進(jìn)而得解.【詳解】由題意得，故.故答案為.14．從一堆蘋果中任取10只，稱得它們的質(zhì)量（單位：g）如下．125

120

122

105

120

134則樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率為______．0.4【分析】根據(jù)頻率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)落在內(nèi)的有4個(gè)：120，122，116，120，所以樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率為，故0.4.15．某校有高一學(xué)生人，高二學(xué)生人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校高一高二學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，已知從高一學(xué)生中抽取人，則________．【分析】根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)列方程，即可樣本容量n.【詳解】由分層抽樣的性質(zhì)知：，可得.故16．在中，，，其面積為，則_______．【分析】利用三角形的面積公式求得，利用余弦定理求得，結(jié)合正弦定理求得正確答案.【詳解】依題意，，由余弦定理得，，由正弦定理得.故四、解答題17．已知：復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位．(1)求及；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．(1)，(2)，【詳解】（1），則.（2）由（1）得：，，解得.18．某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)已知樣本中分?jǐn)?shù)在[40，50）的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；(2)試估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．(1)20人(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖先求出樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的頻率，即可解出；（2）先根據(jù)頻率分布直方圖判斷出75%分位數(shù)在[70，80）之間，即可根據(jù)分位數(shù)公式算出；（3）根據(jù)頻率分布直方圖知分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)中男女各占30人，從而可知樣本中男生有60人，女生有40人，即可求出總體中男生和女生人數(shù)的比例．【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在[50，90）的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在樣本中分?jǐn)?shù)在[50，90）的人數(shù)為100×0.9=90(人)，在樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為95人，所以分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為400×0.95=380(人)，總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人（2）測(cè)試成績(jī)從低到高排序，占人數(shù)75%的人分?jǐn)?shù)在[70，80）之間，所以估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)為（3）由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)共有60人，由已知男女各占30人，從而樣本中男生有60人，女生有40人，故總體中男生與女生的比例為．19．甲、乙兩位射手對(duì)同一目標(biāo)各射擊兩次，且每人每次擊中目標(biāo)與否均互不影響.已知甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為.（Ⅰ）求甲兩次都沒有擊中目標(biāo)的概率；（Ⅱ）在四次射擊中，求甲、乙恰好各擊中一次目標(biāo)的概率.（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）設(shè)甲第一次擊中目標(biāo)為事件，第二次擊中目標(biāo)為事件，得到，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，即可求解；（Ⅱ）設(shè)乙第一次擊中目標(biāo)為事件，第二次擊中目標(biāo)為事件，得到，進(jìn)而得到甲、乙恰好各擊中一次目標(biāo)為，結(jié)合相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】（Ⅰ）設(shè)甲第一次擊中目標(biāo)為事件，甲第二次擊中目標(biāo)為事件，則.因?yàn)槭录凹變纱味紱]有擊中目標(biāo)”即為事件，所求的概率為.（Ⅱ）設(shè)乙第一次擊中目標(biāo)為事件，乙第二次擊中目標(biāo)為事件，則.所以，事件“四次射擊中，甲、乙恰好各擊中一次目標(biāo)”表示為，所以，所求的概率為.20．如圖，在正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)．求證：(1)平面；(2)平面．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）易證得四邊形為平行四邊形，可知，由線面平行的判定可得結(jié)論；（2）由正方形性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)可證得，，由線面垂直的判定可得平面，由可得結(jié)論.【詳解】（1）分別為的中點(diǎn)，，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）四邊形為正方形，；平面，平面，，又，平面，21．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知，，的面積為.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.(1)；(2)；(3).【分析】(1)已知條件結(jié)合三角形面積公式和正弦定理即可求a；(2)由余弦定理求出b，再根據(jù)正弦定理即可求出sinA；(3)根據(jù)sinA求出cosA，再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值.【詳解】（1）∵，∴由正弦定理得，又的面積為，∴，解得，∴；（2）由余弦定理有，∴.由正弦定理.（3）∵B＝150°，∴A＜90°，∴由sinA＝得，，∴，.∴.22．如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，為直角三角形且，是等邊三角形.（1）求證：；（2）若，求二面角的正弦值.（1）見解析；（2）.【分析】（1）取AP中點(diǎn)F，連接DM，BM，由已知可證PA⊥DM，PA⊥BM，又DM∩BM=M，可得PA⊥平面DMB，因?yàn)锽D?平面DMB，可證PA⊥BD；（2）由已知可得△DAP是等腰三角形，又△ABP是等邊三角形，可求出MD⊥MB，以MP，MB，MD所在直