2021-2022學(xué)年上海市南匯中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市南匯中學(xué)高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．D【分析】通過(guò)反例，，可排除ABC；利用不等式的性質(zhì)可證得D正確.【詳解】若，，則，，則AB錯(cuò)誤；若，，則，則C錯(cuò)誤；，，又，，則D正確.故選：D2．下列①；②；③；④，其中與命題等價(jià)的共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)C由集合的運(yùn)算結(jié)合集合間的關(guān)系逐個(gè)判斷即可得解.【詳解】由集合的運(yùn)算可得命題、、均與命題等價(jià)；命題與命題不等價(jià).所以與命題等價(jià)的命題共有3個(gè).故選：C.本題考查了集合的運(yùn)算及集合間關(guān)系的應(yīng)用，牢記知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．C【分析】首先確定集合的意義，根據(jù)補(bǔ)集和交集定義可得結(jié)果.【詳解】由題意知：全集是平面直角坐標(biāo)系中所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合；集合是直線上所有點(diǎn)構(gòu)成的集合；集合是直線上除外的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合；是平面上的點(diǎn)和不在上的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，.故選：C.4．已知（1）若，則；（2）若，則；（3）“”的必要非充分條件是“”；（4）是成立的必要非充分條件.其中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4B【分析】由集合間的交并運(yùn)算的的性質(zhì)即可判斷(1)(2)；對(duì)于(3)，首先化簡(jiǎn)，然后利用必要不充分條件的概念即可判斷；對(duì)于(4)，利用特殊值法即可判斷.【詳解】對(duì)于(1)：因?yàn)椋曰?，?1)錯(cuò)誤；對(duì)于(2)：因?yàn)?，所以若，則，故(2)正確；對(duì)于(3)：當(dāng)時(shí)，，從而，必要性成立；當(dāng)時(shí)，也滿足，故推不出，充分性不成立；所以是的必要不充分條件，(3)正確；對(duì)于(4)：若，則成立，但當(dāng)且時(shí)，，故推不出；若，取，滿足條件，但此時(shí)不滿足，從而是的既不充分也不必要條件，故(4)錯(cuò)誤.從而真命題的個(gè)數(shù)為2.故選：B.二、填空題5．設(shè)，，則__________.【分析】結(jié)合已知條件，利用并集概念及運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為.6．若，是方程的兩根，則__________.2【分析】結(jié)合已知條件，利用一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意及根與系數(shù)之間的關(guān)系可知，，，所以.故2.7．已知集合，則滿足的集合共有__________個(gè).8【分析】結(jié)合已知條件可知，，然后分類討論集合中元素的個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)只有1個(gè)元素時(shí)，則；當(dāng)只有2個(gè)元素時(shí)，則，，；當(dāng)只有3個(gè)元素時(shí)，則，，；當(dāng)只有4個(gè)元素時(shí)，則；綜上所述，所求集合共有8個(gè).故8.8．用反證法證明命題“若實(shí)數(shù)、滿足，則且”時(shí)，反設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為假設(shè)__________.或【分析】結(jié)合已知條件，利用反證法的證明步驟即可求解.【詳解】由反證法的證明步驟可知，首先要假設(shè)或.故或.9．已知集合，集合，且，則實(shí)數(shù)__________.【分析】由集合相等可構(gòu)造方程求得的可能的取值，代回集合驗(yàn)證可得結(jié)果.【詳解】，，解得：或；當(dāng)時(shí)，，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；綜上所述.故答案為.10．若，則關(guān)于的不等式的解集為_______;【分析】由題設(shè)條件確定，再按一元一次不等式的解法求解即得.【詳解】因，則，不等式變形為不等式，解得，即，所以不等式的解集為.故11．命題“若，則”是真命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.【分析】利用充分條件的概念和集合間的包含關(guān)系即可求解.【詳解】由題意得，是的充分條件，由可得或，從而或，從而.故數(shù)a的取值范圍是.故答案為.12．設(shè)全集，若，，，則A=______.【分析】寫出全集U，作出韋恩圖，將全集U中的元素放置在合適的區(qū)域內(nèi)即可求出集合A.【詳解】依題意，全集，作出韋恩圖，如下圖所示：觀察韋恩圖知集合.故13．已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)__________.1或【分析】結(jié)合已知條件，求出的解的個(gè)數(shù)，然后對(duì)參數(shù)分類討論，并結(jié)合一元二次方程的根的個(gè)數(shù)與判別式之間的關(guān)系求解即可.【詳解】若A恰有兩個(gè)子集，所以關(guān)于x的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，①當(dāng)時(shí)，，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述，或.故1或.14．已知集合，則m的取值范圍為______．【分析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可知符合題意；當(dāng)時(shí)，由恒成立可得；當(dāng)時(shí)，不可能在實(shí)數(shù)集上恒成立，由此可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，，符合題意當(dāng)時(shí)，，解得：當(dāng)時(shí)，集合不可能為綜上所述：故答案為本題考查一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問(wèn)題的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的討論，造成求解錯(cuò)誤.15．關(guān)于不等式組的整數(shù)解的集合為，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________.【分析】結(jié)合已知條件，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，并結(jié)合不等式組的整數(shù)解的集合即可求解.【詳解】由或，由可知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椴坏仁浇M整數(shù)解的集合為，所以；當(dāng)時(shí)，的解為，則此時(shí)不等式組的整數(shù)解的集合為，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，的解為，則此時(shí)不等式組的整數(shù)解的集合為空集，不滿足題意，綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故答案為.16．設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，記集合，.若、分別為集合S、T的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論不可能的是_______________.①且|

②且

③且

④且④【分析】結(jié)合已知條件，利用根的個(gè)數(shù)和一元二次方程的判別式之間的關(guān)系分類討論即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，由題意知，，從而是的根且或者無(wú)實(shí)數(shù)根，即，(i)若是的根且，則是的根，即，且，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，的解為，此時(shí)，即；(ii)當(dāng)時(shí)，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即；故AB正確；(2)當(dāng)時(shí)，可知不是的根，且，可得，即，且，(i)當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，即；(ii)當(dāng)時(shí)，的解為，若，顯然；若時(shí)且，此時(shí)，，故C正確；(3)當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解，有兩個(gè)解，且的解不是的解，所以，即，所以的解不是的解，又有兩個(gè)解，故，即有兩個(gè)不等的根，所以有3個(gè)解，即，故④不可能成立.故④.三、解答題17．試比較與的大小.【分析】利用作差法可得到大小關(guān)系.【詳解】恒成立，.18．已知不等式的解集為集合A，不等式的解集為集合B，全集.(1)求；(2)求.(1)(2)【分析】結(jié)合已知條件，通過(guò)求解一元二次不等式分別求解集合和，然后利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，因?yàn)榛?，所以或，從?(2)由(1)中知，，或，所以，.19．設(shè)不等式的解集為，不等式的解集為，且.(1)求實(shí)數(shù)；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解和一元二次方程根之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可求得；（2）根據(jù)交集結(jié)果可知；分別在、和的情況下，解不等式得到集合，由包含關(guān)系可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】(1)，和是方程的兩根，，解得：，.(2)，；當(dāng)時(shí)，無(wú)解，即，滿足；當(dāng)時(shí)，由得：，或，解得：（舍）或；當(dāng)時(shí)，由得：，或，解得：或（舍）；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．已知集合，集合，且，.(1)求實(shí)數(shù)p、q、r的值；(2)若集合，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(1)，，(2).【分析】(1)結(jié)合已知條件，可知，將代入可得，然后利用集合間的交并運(yùn)算求出，然后利用一元二次方程根的個(gè)數(shù)即可求和；(2)利用集合間的包含關(guān)系以及元素與集合間的關(guān)系即可求解.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，所以，解得，由或，故，因?yàn)?，，所以，從而且，解得?(2)因?yàn)?，，，所以且，即，故?shí)數(shù)a的取值范圍為.21．若集合A具有以下性質(zhì)：①，；②若x、，則，且時(shí)，.則稱集合A是“好集”.(1)分別判斷集合是否是“好集”，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)集合A是“好集”，求證：若x、，則；(3)對(duì)任意的一個(gè)“好集”A，證明：若x、，則必有.(1)A不是“好集”；理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)定義驗(yàn)證，從而可說(shuō)明集合不是“好集”；（2）根據(jù)定義由，，得到，從而可得到；（3）分x，y為0或1和x，y均不為0且不為1兩種情況，根據(jù)定義