預測控制中的模型與預測

關于預測控制中的模型與預測第1頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六本章目錄概述基于SISO階躍響應模型的預測基于SISO傳遞函數(shù)模型的預測基于狀態(tài)空間模型的預測模型之間的轉換第2頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六概述預測控制中，基于模型預測對象的未來輸出是否足夠準確是控制成功的關鍵。這里，預測所用的模型往往是通過系統(tǒng)辨識獲得的模型。最早用于預測控制的模型是基于階躍響應的模型，然后是傳遞函數(shù)模型，最后是狀態(tài)空間模型。本章將詳述基于這些模型的預測方法。預測的目標是在k時刻基于數(shù)據(jù)，預測y(k+j)：第3頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六基于SISO階躍響應模型的預測設被控對象的沖激響應為h0=0,h1,h2,…

該對象的階躍響應為s0=0,s1,s2,…

則兩者具有關系

sk=h0+…+hk hk=sk-sk-1實際的沖激響應序列和階躍響應序列都是無限的。在計算機中，因為計算時間和內存大小都是有限的，故只能截取其中的一部分。如果對象是穩(wěn)定的，可不失合理性地假設當k>n時，hk=0，也即有sn=sn+1=sn+2=…第4頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六基于SISO階躍響應模型的預測（續(xù)）在假設外部擾動為零的前提下，對象輸出y(k)和控制量u(k)的關系式為：將外部擾動建模為累加白噪聲，記白噪聲為v(k)。有：基于上式推導，得：第5頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六為何將擾動建模為累加白噪聲？因為將擾動假定為累加白噪聲比較符合真實情況。對象的真實模型與預測模型的誤差可以認為是一種擾動，而且是總擾動的主要成分。而這種擾動在一個小的時間區(qū)間內是比較恒定的。如果將擾動假定為白噪聲，則不同時刻的擾動毫不相關，這與實際情況不符合。此外，將擾動假定為積分白噪聲在模型上比較簡單，計算上也是比較方便的。用直觀的語言來說，這個假設就是：上次的擾動是多少，這次的擾動差不多還是那么大。第6頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六基于SISO階躍響應模型的預測（續(xù)）回到剛才推得的模型。該模型為一輸入輸出模型，它有一個等價的狀態(tài)空間模型：第7頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六基于SISO階躍響應模型的預測（續(xù)）令則第8頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六注意到v(k)=y(k)-Nx(k),將其代入狀態(tài)方程可得：我們可以利用上式來構造狀態(tài)x(k)的觀測器：對象的狀態(tài)x(k)和觀測器的狀態(tài)(k)將會在至多n步內相同(deadbeatobserver)，這是可以證明的。有興趣的同學可以自己證明。第9頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六因此，在k時刻，x(k+1)的最佳預估值為在k時刻，x(k+j),j≥1的最佳預估值為第10頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六在k時刻，y(k+j)的最佳預估值為：所以Y*(k)的公式為：第11頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六附：M-1N冪零性的證明第12頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六而注意到第13頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六基于SISO傳遞函數(shù)模型的預測前面給出的預測算式，只有在對象是穩(wěn)定時才是可行的。因為階躍響應截尾假設只對穩(wěn)定對象適用。不過，對于一般的SISO線性對象，無論其是否穩(wěn)定，其傳遞函數(shù)總是有的。在無干擾的情況下，對象輸出y(k)和控制量u(k)的關系式為：如果考慮到擾動的影響，則可以使用如下的模型：有人會問：為什么這里的擾動不用累加白噪聲？我們說：其實確實是應該建模成累加白噪聲。但是，采用累加白噪聲的CARIMA模型可以轉換成為用白噪聲的CARMA模型，所以我們現(xiàn)在暫時這么推導。等到我們講到廣義預測控制時，再重新從CARIMA模型出發(fā)。第14頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六我們發(fā)現(xiàn)上面的這種表述方式在后面的推導中顯得很麻煩，所以我們采用一種算子描述。Z是超前1步算子。Z-1是滯后一步算子。因此上面的CARMA模型可以寫出下面的形式：第15頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六G和E一定可以展開成冪級數(shù)形式：令則第16頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六令，則有由于zjEjv(k)是未來的擾動，其最優(yōu)預測是0，因此我們得到如下的預測算式：第17頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六注意到zj(E-Ej)E-1y(k)所涉及的都是已經(jīng)觀測到的y值。注意到則因此y*的公式為：而第18頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六C=1時y*的計算公式上式中，由于而是的部分和，同理也是多項式。這說明可以通過公式計算y*。第19頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六一個例子用算子描述：A[y(k)]=B[u(k)]+C[v(k)]因此，第20頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六第21頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六基于狀態(tài)空間模型的預測我們采用穩(wěn)態(tài)Kalman新息模型文獻上還有另外一種帶隨機輸入的線性狀態(tài)空間模型不過，第二種模型可以轉換成為第一種模型。第22頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六基于狀態(tài)空間模型的預測（續(xù)）則我們有因此，只要－H的特征值在單位圓內，則觀測器穩(wěn)定。從狀態(tài)方程和輸出方程可推出我們構造如下的狀態(tài)觀測器第23頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六因此，在k時刻，x(k+1)的最佳預估值為在k時刻，x(k+j),j>1的最佳預估值為第24頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六又由于所以在k時刻，y(k+j)的最佳預估值為第25頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六模型之間的轉換階躍響應模型可以看作是傳遞函數(shù)模型的一種特殊情況。階躍響應為s0=0,s1,s2,…,sn,sn,…而且擾動建模為累計白噪聲。則其差分方程模型為：根據(jù)上式不難寫出其傳遞函數(shù)模型。前面已經(jīng)給出了它的狀態(tài)空間模型。根據(jù)傳遞函數(shù)模型或狀態(tài)空間模型得到階躍響應模型？前提必須是對象穩(wěn)定，而且一般只能得到近似模型，截尾的長度要合適。第26頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六模型之間的轉換（續(xù)）SISO傳遞函數(shù)模型可以看作是狀態(tài)空間模型的一種特殊情況。從傳遞函數(shù)模型得到狀態(tài)空間模型，可以用其標準實現(xiàn)：控制器形，能控性形，觀測器形，能觀性形。這四種是相互等價的。當然你也可以選其他實現(xiàn)。從狀態(tài)空間模型得到傳遞函數(shù)模型？用計算公式即可。記G(z)代表從u到y(tǒng)的傳遞函數(shù)，E(z)代表從v到y(tǒng)的傳遞函數(shù)。第27頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六上面的CARMA模型的一個狀態(tài)空間實現(xiàn)是：第28頁，共31頁，2022年，5月20日，15點32分，星期六附：從普通的隨機狀態(tài)空間模型得到穩(wěn)態(tài)Kalman信息模型前面我們的推導是基于穩(wěn)態(tài)Kalman信息模型。為什么可以用這個模型？我們知道，普通的隨機線性系統(tǒng)的模型形式為：其中w(k)為單位白噪聲，其定義為：第29頁，共31