2020高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計(jì)章末復(fù)習(xí)課講義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE18-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第2章統(tǒng)計(jì)抽樣方法【例1】某商場(chǎng)有四類(lèi)食品，食品類(lèi)別和種數(shù)見(jiàn)下表:類(lèi)別糧食類(lèi)植物油類(lèi)動(dòng)物性食品類(lèi)果蔬類(lèi)種數(shù)40103020現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測(cè)，若采用分層抽樣方法抽取樣本，則抽取的植物油類(lèi)與果蔬類(lèi)食品種數(shù)之和為_(kāi)_______．6［因?yàn)榭傮w的個(gè)數(shù)為40＋10＋30＋20＝100，所以根據(jù)分層抽樣的定義可知，抽取的植物油類(lèi)食品種數(shù)為eq\f(10，100)×20＝2,抽取的果蔬類(lèi)食品種數(shù)為eq\f(20,100）×20＝4，所以抽取的植物油類(lèi)與果蔬類(lèi)食品種數(shù)之和為2＋4＝6.]1．抽樣方法有：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣．2．兩種抽樣方法比較3．選擇抽樣方法與總體的個(gè)體數(shù)有關(guān)．在具體的抽樣過(guò)程中還需明確下列運(yùn)算關(guān)系:(1）兩種抽樣方法中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性p＝eq\f（樣本容量n,總體容量N）。（2）對(duì)于分層抽樣,設(shè)第i層的個(gè)體數(shù)及從其中抽取的樣本個(gè)體數(shù)分別為Ni,ni（i∈N＊），則分層抽樣比p＝eq\f（樣本容量n,總體容量N）＝eq\f（ni，Ni）。1．從30個(gè)個(gè)體（編號(hào)為00～29）中抽取10個(gè)樣本，現(xiàn)給出某隨機(jī)數(shù)表的第11行到第15行（見(jiàn)下表)，如果某人選取第12行的第6列和第7列的數(shù)作為第一個(gè)數(shù)并且由此數(shù)向右讀，則選取的前4個(gè)的號(hào)碼分別為_(kāi)_______．926446072021392077663817325616405858776631700500259305455370781428896628675782311589006200473815513181863709452166655325538327029055719621723207111413844359448817，00，02，07［在隨機(jī)數(shù)表中,將處于00~29的號(hào)碼選出，滿足要求的前4個(gè)號(hào)碼為17，00,02,07。］2．利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從n個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本．若第二次抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為eq\f（1,3），則在整個(gè)抽樣過(guò)程中,每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為_(kāi)_______．eq\f（5，14)［根據(jù)題意，eq\f(9，n－1)＝eq\f(1，3)，解得n＝28。故在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為eq\f（10,28）＝eq\f（5，14）.］用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布【例2】有1個(gè)容量為100的樣本,數(shù)據(jù)(均為整數(shù))的分組及各組的頻數(shù)如下：[12。5，15。5)，6；［15.5,18.5)，16;[18.5,21。5）,18;[21.5,24。5)，22；［24。5,27。5），20；[27.5，30.5），10；[30.5，33.5]，8.（1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫(huà)出頻率分布直方圖；（3）估計(jì)數(shù)據(jù)小于30的數(shù)據(jù)約占多大百分比．思路點(diǎn)撥：(1)每組頻率＝eq\f(每組頻數(shù),樣本容量)。（2）頻率分布直方圖中，縱軸表示的是eq\f（頻率，組距)。（3)小于30的數(shù)據(jù)所占百分比也就是前6組的頻率之和，可用兩種方法求解，法一：前6組頻率相加，法二：用1減去第7組頻率．［解］(1）樣本的頻率分布表如下:分組頻數(shù)頻率[12。5，15.5)60。06［15.5,18。5)160.16[18。5,21.5）180。18［21.5，24.5）220。22［24.5，27。5）200.20[27.5,30.5)100。10[30.5，33.5]80。08合計(jì)1001。00(2)頻率分布直方圖如圖．（3）法一：小于30的數(shù)據(jù)占0。06＋0.16＋0。18＋0。22＋0。20＋0.10＝0.92＝92％。法二：因?yàn)樗薪M的頻率之和為1，大于30的數(shù)據(jù)占0。08，故小于30的數(shù)據(jù)占1－0.08＝0.92＝92%。1．樣本頻率分布直方圖的制作步驟(1)求全距,確定組距和組數(shù)，要根據(jù)全距的大小和數(shù)據(jù)的多少，選擇恰當(dāng)?shù)慕M距，使表格不至于太長(zhǎng)或太短．當(dāng)eq\f（全距,組距）不是整數(shù)時(shí)，組數(shù)的“取舍”一般不是依據(jù)四舍五入，而是按組數(shù)＝eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（全距,組距)))＋1確定，即取eq\f（全距,組距）的整數(shù)部分加1。(2）分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間．（3）計(jì)算頻數(shù)、頻率,列出頻率分布表．(4）建立平面直角坐標(biāo)系，把橫軸分成若干段,每一段對(duì)應(yīng)一個(gè)組的組距,以此線段為底作矩形,高等于該組的eq\f（頻率，組距），這樣得到一系列矩形,每一個(gè)矩形的面積恰好是該組上的頻率,這些矩形構(gòu)成了頻率分布直方圖．2．求頻率、頻數(shù)的方法與技巧(1)頻率＝eq\f（頻數(shù)，樣本容量）,已知其中任意兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量．（2）各小組的頻數(shù)和等于樣本容量，頻率和等于1。(3）由樣本的頻率可估計(jì)總體的頻率,從而估計(jì)出總體的頻數(shù)．3．為了了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5組頻數(shù)和為62,視力在4.6到4。8之間的學(xué)生數(shù)為a，最大頻率為0。32，則a的值為_(kāi)_______．54［［4。7，4。8)之間頻率為0.32，［4.6,4。7）之間頻率為1－0。62－0。05－0.11＝1－0.78＝0。22.所以a＝（0。22＋0。32）×100＝54。］4．為了解高中一年級(jí)學(xué)生身高情況，某校按10％的比例對(duì)全校700名高中一年級(jí)學(xué)生按性別進(jìn)行抽樣檢查，測(cè)得身高頻數(shù)分布表如表1、表2.表1：男生身高頻數(shù)分布表身高(cm）［160，165)［165,170)［170,175)［175，180)［180，185)［185，190]頻數(shù)25141342表2：女生身高頻數(shù)分布表身高(cm）［150,155）［155，160)［160,165)［165,170）［170，175)[175，180］頻數(shù)1712631（1）求該校男生的人數(shù)并畫(huà)出頻率分布直方圖;（2）估計(jì)該校學(xué)生身高在165cm～180cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比．思路點(diǎn)撥：(1)由表1中數(shù)據(jù)可知樣本中男生人數(shù)為2＋5＋14＋13＋4＋2＝40,又分層抽樣比例10%，故全校男生數(shù)400。畫(huà)頻率分布直方圖應(yīng)注意兩點(diǎn):①頻率分布直方圖是用面積表示頻率；②在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和等于1。(2)由表1、表2中數(shù)據(jù)可估計(jì)身高在165cm～180cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比．[解］(1）樣本中男生人數(shù)為40,分層抽樣比例為10%,可得全校男生人數(shù)為400。頻率分布直方圖如圖．(2）由表1、表2知，樣本中身高在165cm~180cm的學(xué)生人數(shù)為5＋14＋13＋6＋3＋1＝42，樣本容量為70,所以樣本中學(xué)生身高在165cm～180cm的頻率為eq\f(42,70）＝eq\f（3，5),故估計(jì)該校學(xué)生身高在165cm～180cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的60%.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【例3】甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量,各從中抽取6件測(cè)量，數(shù)據(jù)為甲：99,100，98，100，100，103；乙：99，100,102,99，100，100。(1）分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．思路點(diǎn)撥：利用平均數(shù)公式及方差公式計(jì)算求解，方差小的質(zhì)量更穩(wěn)定．［解］（1)eq\x\to(x）甲＝eq\f(1,6）（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100，eq\x\to（x）乙＝eq\f(1,6）（99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al（2,甲)＝eq\f(1,6)[（99－100）2＋(100－100）2＋（98－100)2＋（100－100)2＋(100－100)2＋（103－100)2]＝eq\f(7,3），seq\o\al（2，乙）＝eq\f（1,6）[(99－100）2＋(100－100）2＋(102－100)2＋（99－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2]＝1。(2）兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均數(shù)相同，又seq\o\al(2，甲)>seq\o\al（2,乙），所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．樣本的數(shù)字特征可分為兩大類(lèi):一類(lèi)是反映樣本數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的,包括眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；另一類(lèi)是反映樣本波動(dòng)大小的，包括方差及標(biāo)準(zhǔn)差．我們常通過(guò)樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．5．有容量為100的樣本，數(shù)據(jù)分組及各組的數(shù)、頻率如下：［12。5,14.5），6，0.06；[14.5,16.5)，16，0.16；［16.5，18.5），18，0.18；[18.5,20.5)，22,0。22；[20。5,22.5)，20,0.20；［22。5,24。5），10，0。10；［24。5，26。5）,8,0。08。試估計(jì)總體的平均數(shù)．[解］法一：總體的平均數(shù)約為eq\f(1，100）×(13.5×6＋15。5×16＋17。5×18＋19。5×22＋21.5×20＋23.5×10＋25。5×8）＝19。42.故總體的平均數(shù)約為19。42.法二：求組中值與對(duì)應(yīng)頻率積的和13．5×0.06＋15.5×0。16＋17.5×0.18＋19。5×0。22＋21.5×0.20＋23。5×0.10＋25。5×0。08＝19。42。故總體的平均數(shù)約為19.42。6．對(duì)甲、乙的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行抽樣分析，各抽5門(mén)功課，得到的觀測(cè)值如下：甲6080709070乙8060708075問(wèn):甲、乙誰(shuí)的平均成績(jī)好？誰(shuí)的各門(mén)功課發(fā)展較平衡？思路點(diǎn)撥：根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差，然后定量分析．［解］甲的平均成績(jī)?yōu)閑q\x\to（x）甲＝74，乙的平均成績(jī)?yōu)閑q\x\to(x）乙＝73。所以甲的平均成績(jī)好．甲的方差是seq\o\al（2,甲）＝eq\f(1，5)［(－14）2＋62＋(－4)2＋162＋(－4）2]＝104,乙的方差是seq\o\al（2,乙)＝eq\f(1,5)×[72＋（－13）2＋（－3)2＋72＋22］＝56.因?yàn)閟eq\o\al(2,甲）>seq\o\al(2,乙）,所以乙的各門(mén)功課發(fā)展較平衡．變量間的相關(guān)關(guān)系【例4】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院查閱了1月份至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日晝夜溫差x/℃1011131286就診人數(shù)y/人222529261612（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖，判斷晝夜溫差與因患感冒而就診的人數(shù)是否線性相關(guān)，并用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明;（2)該興趣小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．①若選取的是1月與6月的2組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)2月份至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o（y，\s\up6（^）)＝bx＋A．②若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問(wèn)該小組所得線性回歸方程是否理想？③若7月10日這天就診人數(shù)為20，試估計(jì)這天晝夜溫差大概是多少？思路點(diǎn)撥：以晝夜溫差x值為橫坐標(biāo),以就診人數(shù)y值為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中作出散點(diǎn)圖,觀察點(diǎn)的分布規(guī)律，作出判斷．利用“變量x與y的相關(guān)系數(shù)公式及線性回歸系數(shù)公式求出r,b，a再作定量分析．[解］(1)散點(diǎn)圖如圖所示，由圖可見(jiàn)晝夜溫差與就診人數(shù)間具有線性相關(guān)關(guān)系．相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1，n,x）iyi－n\x\to(x）\x\to(y），\r(\i\su(i＝1，n，x）\o\al(2，i)－n\x\to（x)2\i\su（i＝1，n,y)\o\al（2，i)－n\x\to(y)2））≈0。995，可知線性相關(guān)程度較高．（2)①由數(shù)據(jù)求得eq\x\to（x）＝11，eq\x\to（y)＝24，由公式求得b＝eq\f(18,7），再由a＝eq\x\to（y）－beq\x\to（x)得a＝－eq\f（30,7），所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y＝eq\f(18,7)x－eq\f(30，7）。②當(dāng)x＝10時(shí)，y＝eq\f(150，7）,eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f（150，7）－22）)＝eq\f(4，7)〈2。同樣，當(dāng)x＝6時(shí),y＝eq\f（78,7）,eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f(78，7）－12））＝eq\f(6,7）<2,所以，該小組所得線性回歸方程是理想的．③在y＝eq\f(18，7）x－eq\f(30，7）中,令y＝20，求得x＝eq\f（85，9），即7月10日這天晝夜溫差大概是eq\f（85，9）℃.1．判斷兩個(gè)變量間的相關(guān)性在判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系時(shí),第一種方法是根據(jù)相關(guān)關(guān)系的定義判斷,看這兩個(gè)變量是否具有不確定性,第二種方法是借助散點(diǎn)圖觀察得到結(jié)論．2．線性回歸方程（1)求線性回歸方程主要利用待定系數(shù)法，其一般步驟為：①若題目中已明確兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，則不用驗(yàn)證；否則作出散點(diǎn)圖，判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近．②如果散點(diǎn)在一條直線附近，那么根據(jù)確定線性回歸方程的步驟求出回歸系數(shù),并寫(xiě)出線性回歸方程．（2）因?yàn)榛貧w系數(shù)a,b滿足公式a＝eq\x\to(y）－beq\x\to(x），eq\x\to（y）＝beq\x\to(x）＋a，(eq\x\to（x),eq\x\to（y))，即所以線性回歸方程eq\o（y,\s\up6(^))＝bx＋a必過(guò)定點(diǎn)該點(diǎn)也是樣本中心點(diǎn)．3．相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱的判斷用相關(guān)系數(shù)r的值判斷相關(guān)系數(shù)的強(qiáng)弱．r的范圍為－1≤r≤1。當(dāng)r〉0時(shí)，y與x正相關(guān)；當(dāng)r〈0時(shí)，y與x負(fù)相關(guān)．｜r|越接近于1,x與y的相關(guān)程度越高;｜r｜越接近于0，二者的相關(guān)程度越低;當(dāng)｜r｜＝1時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上．提醒：只有當(dāng)兩個(gè)變量之間具備線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，才有必要求出回歸方程，如果兩個(gè)變量本身不具備線性相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)它們之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸直線方程也是毫無(wú)意義的，用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的量也是不可信的，而利用散點(diǎn)圖大致能夠判斷兩個(gè)變量的相關(guān)性．7．對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi)（i＝1，2，…,10),得散點(diǎn)圖①，對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)（ui，vi)(i＝1,2,…,10),得散點(diǎn)圖②。由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷:①變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)；②變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān);③變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)；④變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)．其中正確的是_