2020高中數(shù)學(xué) 第8章 立體幾何初步 8. 空間直線、平面的垂直 5 直線與平面垂直的判定 第二冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)作業(yè)35直線與平面垂直的判定知識點(diǎn)一直線與平面垂直的判定1.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①點(diǎn)到平面的距離是指這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段；②過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線不一定只有一條；③若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則這條直線垂直于這個(gè)平面；④若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線垂直，則這條直線垂直于這個(gè)平面；⑤若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則這條直線垂直于這個(gè)平面．A．1B．2C．3D．4答案B解析由點(diǎn)到平面的距離的概念及直線與平面垂直的判定定理和定義知正確的是③④，故選B。2．如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,C為圓上異于A,B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是（）A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC答案C解析由PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，可知PA⊥BC，故排除A。由題意可知BC⊥AC，PA⊥BC.因?yàn)镻A?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，故排除B.結(jié)合B，根據(jù)直線與平面垂直的定義知BC⊥PC,故排除D。故選C.知識點(diǎn)二直線與平面所成的角3.線段AB的長等于它在平面α內(nèi)的射影長的2倍，則AB所在直線與平面α所成的角為(）A．30°B．45°C．60°D．120°答案C解析如圖所示，AC⊥α,AB∩α＝B，則BC是AB在平面α內(nèi)的射影，則BC＝eq\f(1，2)AB，所以∠ABC＝60°,它是AB與平面α所成的角．4．若兩條不同的直線與同一平面所成的角相等，則這兩條直線(）A．平行B．相交C．異面D．以上皆有可能答案D解析在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A，B1B與底面ABCD所成的角相等，此時(shí)兩直線平行；A1B1，B1C1與底面ABCD所成的角相等，此時(shí)兩直線相交；A1B1，BC與底面ABCD所成的角相等，此時(shí)兩直線異面．5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1,AC＝2，BC＝eq\r(3)，D和E分別是AC1和BB1的中點(diǎn)，則直線DE與平面BB1C1C所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°答案A解析取AC的中點(diǎn)F,連接BF，DF。因?yàn)樵谥比庵鵄BC－A1B1C1中，D,E分別是AC1和BB1的中點(diǎn)，所以ED∥BF.過點(diǎn)F作FG垂直BC交BC于點(diǎn)G,由題意得∠FBG即為所求的角．因?yàn)锳B＝1，AC＝2,BC＝eq\r(3），所以∠ABC＝90°,∠BCA＝30°，且BF＝CF，所以在△FBG中∠FBG＝30°。故選A。知識點(diǎn)三直線與平面垂直的證明6．如圖,在四棱錐P－ABCD中,底面ABCD為菱形,PA＝PC,PB＝PD，AC∩BD＝O。求證：（1)PO⊥平面ABCD；(2）AC⊥平面PBD。證明(1）∵四邊形ABCD為菱形，AC∩BD＝O，∴O為AC的中點(diǎn)，又PA＝PC，∴PO⊥AC。同理可證PO⊥BD。又AC?平面ABCD，BD?平面ABCD，AC∩BD＝O,∴PO⊥平面ABCD.（2)由（1)知AC⊥PO,又四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又BD?平面PBD，PO?平面PBD，PO∩BD＝O,∴AC⊥平面PBD。7．如圖,在四面體A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F(xiàn)分別為AD,BC的中點(diǎn)，且EF＝eq\r(2)。求證：BD⊥平面ACD.證明取CD的中點(diǎn)為G,連接EG,FG.∵F，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥BD.又E為AD的中點(diǎn)，AC＝BD＝2，則EG＝FG＝1。∵EF＝eq\r（2），∴EF2＝EG2＋FG2,∴EG⊥FG，∴BD⊥EG。∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG?平面ACD，CD?平面ACD，EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.一、選擇題1．已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個(gè)不重合的平面,那么下面給出的條件中,一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m?αB．m∥n,且n⊥βC．m⊥n，且n?βD．m⊥n,且n∥β答案B解析A中，由α∥β，且m?α，知m∥β;B中，由n⊥β,知n垂直于平面β內(nèi)的任意直線,再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的任意直線，所以m⊥β,B符合題意；C,D中,m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意．故選B。2．直線a與平面α所成的角為50°，直線b∥a,則直線b與平面α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°答案B解析根據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等，知b與α所成的角也是50°。3．給出下列條件(其中l(wèi)為直線,α為平面)：①l垂直于α內(nèi)的一五邊形的兩條邊;②l垂直于α內(nèi)三條不都平行的直線;③l垂直于α內(nèi)無數(shù)條直線；④l垂直于α內(nèi)正六邊形的三條邊．其中能夠推出l⊥α的條件的所有序號是（)A．②B．①③C．②④D．③答案C解析如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直．①③都有可能垂直的是平面α內(nèi)的平行直線，不能推出l⊥α.故選②④。4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，則點(diǎn)A到平面A1DCB1的距離是(）A.eq\r（3）B。eq\r（2)C。eq\f(\r(2），2）D．2答案B解析如圖，連接AD1，交A1D于點(diǎn)O，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，∵AD1?平面ADD1A1,∴AD1⊥CD.在正方形ADD1A1中，AD1⊥A1D，∵CD∩A1D＝D，∴AD1⊥平面A1DCB1,垂足為O,則AO的長即為所求，AO＝eq\f(\r(2)AB,2）＝eq\r(2）.故選B。5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為(）A.eq\f（\r（2),3）B。eq\f（\r(3)，3）C.eq\f(2，3)D.eq\f(\r（6)，3)答案D解析畫出圖形,如圖所示，BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角，在三棱錐D－ACD1中,由三條側(cè)棱兩兩垂直得點(diǎn)D在底面ACD1內(nèi)的射影為等邊三角形ACD1的垂心即中心H，則∠DD1H為DD1與平面ACD1所成的角,設(shè)正方體的棱長為a,則cos∠DD1H＝eq\f（\f(\r（6），3)a，a）＝eq\f（\r（6）,3).二、填空題6．在正方體A1B1C1D1－ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn),O是底面ABCD的中心(如圖)，則EF與平面BB1O的關(guān)系是________．答案垂直解析由正方體性質(zhì)知AC⊥BD，BB1⊥AC,∵E，F(xiàn)是棱AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1,又BD∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O。7．在矩形ABCD中,AB＝1，BC＝eq\r(2),PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角是________．答案30°解析如圖,∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA即PC與平面ABCD所成的角,又tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\f(PA,\r(AB2＋BC2）)＝eq\f（1,\r(3)）＝eq\f（\r（3）,3）,∴∠PCA＝30°.8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等．若點(diǎn)A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成的角的正弦值等于________．答案eq\f(\r(2)，3）解析如圖，設(shè)A1在底面ABC內(nèi)的射影為O，O為△ABC的中心，OA＝OB＝OC,則AA1＝A1B＝A1C。連接AB1，A1B,設(shè)AB1∩A1B＝E,則E為A1B的中點(diǎn)．取OB的中點(diǎn)D，連接ED,AD，則ED∥A1O。由題意知A1O⊥平面ABC，所以ED⊥平面ABC。則∠EAD即為AB1與底面ABC所成的角．設(shè)三棱柱ABC－A1B1C1的棱長為a，則OA＝OB＝eq\f(\r(3)，3)a.在Rt△AA1O中,A1O＝eq\r（AA\o\al（2，1）－OA2)＝eq\f（\r(6）,3)a，ED＝eq\f(1，2)A1O＝eq\f（\r（6），6)a.在正三角形AA1B中,AE＝eq\f(\r(3）,2)a，在Rt△ADE中，sin∠EAD＝eq\f（ED，AE）＝eq\f(\f(\r(6）,6）a,\f(\r(3),2)a)＝eq\f（\r(2)，3)，即AB1與底面ABC所成的角的正弦值為eq\f（\r(2）,3）.三、解答題9．如圖，在三棱錐P－ABC中，H為△ABC的垂心，且PH⊥平面ABC，求證：AB⊥PC，BC⊥AP.證明連接AH，∵H為△ABC的垂心,∴AH⊥BC，又PH⊥平面ABC，∴PH⊥BC,又PH∩AH＝H，∴BC⊥平面PAH，又AP?平面PAH，∴BC⊥AP，同理可證AB⊥PC.10．如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2,∠ACB＝120°，P，Q分別為AE,AB的中點(diǎn)．(1)證明PQ∥平面ACD；（2）求AD與平面ABE所成角的正弦值．解(1）證明：∵P，Q分別為AE，AB的中點(diǎn)，∴PQ∥EB。又DC∥EB，因此PQ∥DC,因?yàn)镻Q?平面ACD，CD?平面ACD，從而PQ∥平面ACD。（2）如圖，連接CQ，DP?！逹為AB的中點(diǎn)，且AC＝BC，∴CQ⊥AB?！逥C⊥平面ABC，EB∥DC，∴EB