2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)真題源大題分類講義之專題16 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（解析版）

16.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點一．邊角問題【例1】（2019年·新課標Ⅰ）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點．【解析】（1）由題意知：定義域為：且，令，，，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，又，，，使得，當(dāng)時，；時，，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，則為唯一的極大值點，即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點.（2）由（1）知：，，①當(dāng)時，由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，為在上的唯一零點，②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，在上單調(diào)遞增，此時，不存在零點，又，，使得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，在上恒成立，此時不存在零點，③當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，又，，即，又在上單調(diào)遞減，在上存在唯一零點，④當(dāng)時，，，，即在上不存在零點，綜上所述：有且僅有個零點.【方法技巧】(1)三步求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題。第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區(qū)間上的交點問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)；第三步：結(jié)合圖象求解。二．根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍【例2】（2020年·新課標Ⅰ）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，，令，解得，令，解得，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）若有兩個零點，即有兩個解，從方程可知，不成立，即有兩個解，令，則有，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，而時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)有兩個解時，有，所以滿足條件的的取值范圍是：.【方法技巧】根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．三．以函數(shù)零點為背景的雙變量不等式問題【例3】（2016年·新課標1卷）已知函數(shù)有兩個零點.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)x1，x2是的兩個零點，證明：.【解析】（1）．=1\*GB3①設(shè)，則，只有一個零點．=2\*GB3②設(shè)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，取滿足且，則，故存在兩個零點．=3\*GB3③設(shè)，由得或．若，則，故當(dāng)時，，因此在單調(diào)遞增．又當(dāng)時，所以不存在兩個零點．若，則，故當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又當(dāng)時，，所以不存在兩個零點．綜上，的取值范圍為．（2）不妨設(shè)，由（Ⅰ）知，，在單調(diào)遞減，所以等價于，即．由于，而，所以．設(shè)，則．所以當(dāng)時，，而，故當(dāng)時，．從而，故．【方法技巧】破解含雙參不等式的證明的關(guān)鍵：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；二是巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．【演練提高】1.（安徽省亳州市蒙城縣第六中學(xué)2022屆高三下學(xué)期開年聯(lián)考）已知函數(shù).（1）若，求證：恒成立；（2）當(dāng)時，求零點的個數(shù).【解析】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以的最小值是，即恒成立.（2）因為，所以.①當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞減.因為，所以有且僅有一個零點.②當(dāng)時，令，得，令，得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，所以在上有且僅有一個零點.因為，，且，所以，使得.所以在上有且僅有一個零點.綜合以上知，當(dāng)時，有兩個零點.③當(dāng)時，.令，得，令，得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取得最小值，且.所以有且僅有一個零點.綜上所述，當(dāng)或時，有且僅有一個零點；當(dāng)時，有兩個零點.2.（廣東省佛山市第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期12月月考）已知函數(shù)．（1）證明：在區(qū)間存在唯一的極值點；（2）試討論的零點個數(shù).【解析】（1）證明：函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)為,當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減．又因為，，根據(jù)函數(shù)零點存在定理，在區(qū)間有且只有一個零點．當(dāng)時，；當(dāng)時，,因此，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在區(qū)間存在唯一的極值點；（2）令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．由于，且當(dāng)時，，故當(dāng)時，，從而在區(qū)間沒有零點．當(dāng)時，，從而，在單調(diào)遞減．又，根據(jù)函數(shù)零點存在定理，在區(qū)間有且只有一個零點．當(dāng)時，由（1）知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．又，根據(jù)函數(shù)零點存在定理，在區(qū)間有且只有一個零點,綜上所述，有且只有2個零點．3.（四川省瀘州市2022屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性）已知函數(shù).（1）求證：；（2）若函數(shù)有兩個零點，求a的取值范圍.【解析】（1），則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上減函數(shù)，故即.（2），故，因為，故，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上減函數(shù)，因為函數(shù)有兩個零點，故即，又當(dāng)時，對任意，有：，故此時在上有且只有一個零點.下證：當(dāng)時，總有成立，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故，即成立.故當(dāng)時有.由（1）可得，故當(dāng)時，，故此時在上有且只有一個零點.綜上，當(dāng)有兩個零點時，.4.（四川省2022屆高三診斷性測試）已知函數(shù)．求證：（1）；（2）當(dāng)時，有且僅有2個零點．【解析】（1）函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得：，令，，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，即，，所以.（2）記，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，，則，使得，則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，，，即，使得，當(dāng)時，令，，則在上單調(diào)遞增，而，，則，使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則有在上遞減，在上遞增，，，則，使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上遞減，在上遞增，而，，于是，使得，所以，當(dāng)時，有且僅有2個零點.5.（2022屆高三數(shù)學(xué)新高考信息檢測原創(chuàng)卷（五））已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上恰有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，.令，解得或.當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)至多有一個零點，不合題意.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)至多有一個零點，不合題意.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在上恰有兩個零點，則必有即且，且，解得.6.（2022屆高三數(shù)學(xué)新高考信息檢測原創(chuàng)卷（七））已知函數(shù)，，．（1）求函數(shù)的極值；（2）若，研究方程的根的個數(shù)，【解析】（1）∵，，，∴，函數(shù)的定義域為，∴．令，可得，當(dāng)時，，函數(shù)在上為減函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，∴當(dāng)時，函數(shù)取極大值，極大值為，且函數(shù)沒有極小值．（2）設(shè)，則．令，可得或，當(dāng)時，若，則，函數(shù)在上為減函數(shù)；若時，，函數(shù)在上為增函數(shù)．若，即時，函數(shù)沒有零點，即方程沒有根；若，則，函數(shù)有一個零點，即方程有一個實根．若，，當(dāng)x趨近0時，趨近于，當(dāng)時，，∴函數(shù)有兩個零點，即方程有兩個實根．當(dāng)時，可化為，函數(shù)有一個零點，即方程有一個實根．綜上，當(dāng)時，方程沒有根，當(dāng)或時，方程有一個實根，當(dāng)時，方程有兩個實根．7.（河南省名校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期2月大聯(lián)考）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：.【解析】（1），得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，令，解得，所以當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由題可知函數(shù)有兩個零點，，記，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因為有兩個零點，所以，解得.所以不妨設(shè)，要證，即證，因為，，又在單調(diào)遞減，所以即證，即證，構(gòu)造函數(shù)，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，即，所以，即，得證.8.（福建省福州市2022屆高三3月質(zhì)量檢測）已知函數(shù)的圖象與軸相切于原點．（1）求，的值；（2）若在上有唯一零點，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1），

依題意，

即解得．（2）由（1）得，記，，所以，①當(dāng)時，（?。┊?dāng)時，，所以為增函數(shù)，

又因為，，所以存在唯一實數(shù)，使得．

（ⅱ）當(dāng)時，，則．由（?。áⅲ┛芍?，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．因為，所以存在唯一實數(shù)，使得，

所以當(dāng)時，，即單調(diào)遞減；，，即，單調(diào)遞增．因為，所以存在唯一實數(shù)：，使得，即在上有唯一零點，符合題意．

②當(dāng)時，，

記．，所以，

所以為增函數(shù)，，所以為增函數(shù)，，則，所以在上沒有零點，不合題意，舍去．

綜上，a的取值范圍為．9.（陜西省咸陽市武功縣普集高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上的最小值為1，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，討論函數(shù)在上的零點個數(shù).【解析】（1），當(dāng)時，，∴為單調(diào)遞增函數(shù)，，符合題意；當(dāng)時，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，∴，∵，故，與的最小值為1矛盾．故實數(shù)a的取值范圍為．（2）由（1）可知，當(dāng)時，在上，為單調(diào)遞增函數(shù)，，此時函數(shù)的零點個數(shù)為0；當(dāng)時，，令，則，函數(shù)單調(diào)遞減，令，解得，∴當(dāng)，，，，，，∴當(dāng)時，，此時函數(shù)在上的零點個數(shù)為0；當(dāng)時，，此時函數(shù)在上的零點個數(shù)為1；，，又，故在存在一個零點，，故在存在一個零點，此時函數(shù)在上的零點個數(shù)為2．綜上，可得時，函數(shù)在上的零點個數(shù)為0；時，函數(shù)在上的零點個數(shù)為1；，函數(shù)在上的零點個數(shù)為2．10.（江西省重點中學(xué)盟校2022屆高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，（其中a為非零實數(shù)）（1）討論的單調(diào)性：（2）若函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點，求證：.【解析】（1）的定義域為，若，則時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.若，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.（2）由已知得有兩個不等的正實根，所以方程，即，即有兩個不等正實根.要證，只需證，即證.令，所以只需證.由得，所以，消去得，只需證設(shè)，令，則，所以只需證.令，則，所以，即當(dāng)時，成立.所以，即，即.11.（河南省湘豫名校2022屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考）已知時，函數(shù)的圖象恒在直線的上方．（1）求證：當(dāng)時．；（2）求函數(shù)在上的零點個數(shù)．【解析】（1）因為時，函數(shù)的圖象恒在直線的上方，所以，所以當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，欲證，只需證，只需證，設(shè)，則，所以F（x）在（0，1）上單調(diào)速減，所以．所以當(dāng)時，．（2）由已知得，則，①當(dāng)時，因為，所以g（x）在上單調(diào)遞減．所以．所以g（x）在上無零點，②當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，且，所以存在，使．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以g（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以．設(shè)，則．令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．所以，所以，所以．所以g（x）在上存在一個零點．所以g（x）在[0，]上有2個零點，③當(dāng)時，，所以g（x）在（，＋∞）上單調(diào)遞增．因為，所以g（x）在（，＋∞）上無零點，結(jié)上所述，g（x）在（－，＋∞）上的零點個數(shù)為212.（湖北省武漢市2022屆高三下學(xué)期2月調(diào)研）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求的值；（2）討論的零點個數(shù).【解析】（1）時，.時，.時.；（2）令，有,,則，即.所以.時，；時，；所以，在上遞減；在上遞增.又因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或.又，故和不可能同時成立.所以的零點個數(shù)是兩個函數(shù)和的零點個數(shù)之和，其中.時，遞增，無零點.時，令，得，故在上遞減；在上遞增.當(dāng)時，，此時無零點.當(dāng)時，，此時有一個零點.當(dāng)時，，令，故，所以，由零點存在性定理，在和上各有一個零點，此時有兩個零點.在上遞增.又t，故時，在上必有一個零點.綜上所述，時，有一個零點；時，有兩個零點；時，有三個零點.13.（廣東省高州市2022屆高三上學(xué)期第二次模擬）已知函數(shù)．其中實數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：關(guān)于x的方程有唯一實數(shù)解．【解析】（1）函數(shù)，則，當(dāng)時，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得或，當(dāng)或時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，,則單調(diào)遞減，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得或，當(dāng)或時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，所以在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在