計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)第二章

第二章功能原理計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)第一頁(yè)，共三十九頁(yè)。1、靜力法推導(dǎo)桁式單元的單元?jiǎng)偠染仃囈演^為麻煩，復(fù)雜單元就更為困難只能求助于功能原理。2、靜力法推導(dǎo)結(jié)構(gòu)剛度矩陣也很困難，由功能原理可推導(dǎo)出組裝結(jié)構(gòu)剛度矩陣的直接剛度法。3、處理單元荷載。4、由于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性，用靜力法往往較為困難，求助于功能原理可以求得各種問(wèn)題的精確解或近似解。5、了解功能原理和力學(xué)上的平衡原理(或變形協(xié)調(diào)原理)的等價(jià)性。2-1概述:學(xué)習(xí)功能原理的目的一、基本知識(shí)第二頁(yè)，共三十九頁(yè)。1、靜力加載(比例加載)。

2、應(yīng)變能：彈性體因受外力作用變形而具有恢復(fù)原狀態(tài)的能力，即具有做功的能力，又稱為形變勢(shì)能。

3、功能方程(前提：①靜力加載；②無(wú)耗散功δQ=0)：在微小的δt內(nèi)，荷載在結(jié)構(gòu)位移上所作的功全部轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)變能：δW=δU。

4、總勢(shì)能：結(jié)構(gòu)的形變勢(shì)能+荷載勢(shì)能

Π=U+V二、先修有關(guān)概念第三頁(yè)，共三十九頁(yè)。1、虛位移：為約束所允許的，在平衡附近的，可任意虛設(shè)的微小位移。所謂虛，并非指不存在，而是指與實(shí)際的力態(tài)獨(dú)立無(wú)關(guān)。

2、理想約束：實(shí)際力態(tài)的約束力在虛設(shè)的位移態(tài)上所做的功恒等于零的那種約束。

3、虛功δW*=F·δu*

(1)虛功并非不存在，只是強(qiáng)調(diào)功的兩要素獨(dú)立無(wú)關(guān)。2-2虛位移原理一、幾個(gè)概念第四頁(yè)，共三十九頁(yè)。4、虛應(yīng)變能(內(nèi)力虛功、虛變形能、虛變形功)。

式中：

σ：力F所引起的應(yīng)力(力態(tài))；

δε*：虛位移δu*

所引起的虛應(yīng)變(虛設(shè)的位移態(tài))。(2)第五頁(yè)，共三十九頁(yè)。

虛位移原理的敘述：彈性結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)的必要與充分條件是對(duì)于任意微小的虛位移，外力所作的虛功δW*等于虛變形功δU*

(虛應(yīng)變能，內(nèi)力虛功)。研究對(duì)象：實(shí)際的力態(tài)。虛設(shè)：位移態(tài)(滿足變形協(xié)調(diào)條件)。于是，虛功原理可表述為：體系平衡δW*=δU*

(3)

其中Δ：在虛設(shè)的任一幾何可能的位移態(tài)上。二、虛位移原理及其證明第六頁(yè)，共三十九頁(yè)。證明：以最簡(jiǎn)單的桿件結(jié)構(gòu)為例，如圖：桿端力：結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力。結(jié)點(diǎn)力：桿端對(duì)結(jié)點(diǎn)的作用力稱為結(jié)點(diǎn)力。桿端力和結(jié)點(diǎn)力是作用力和反作用力。對(duì)結(jié)點(diǎn)1，由平衡條件ΣX=0: P1-F12=0對(duì)結(jié)點(diǎn)2，由平衡條件ΣX=0: P2-F21-F23=0’’’’’(4)第七頁(yè)，共三十九頁(yè)。外力虛功為：

式中：

δ——表示微小，*——表示虛設(shè)。虛應(yīng)變能為：第八頁(yè)，共三十九頁(yè)。注意:雖然是就上述特殊情況進(jìn)行的證明，但可推廣到其它的受力狀態(tài)及由若干個(gè)單元所組成的彈性結(jié)構(gòu)。第九頁(yè)，共三十九頁(yè)。關(guān)于虛位移原理的討論：

1、仍然是一個(gè)(虛功)體系，兩個(gè)狀態(tài)；

2、力態(tài)靜力可能的證明，建立在位移態(tài)(虛設(shè))的幾何可能上；

3、若力態(tài)轉(zhuǎn)換成位移表達(dá)式，則要求力態(tài)變形協(xié)調(diào)；

4、力態(tài)和虛設(shè)的位移態(tài)一定是獨(dú)立無(wú)關(guān)。第十頁(yè)，共三十九頁(yè)。2-3虛應(yīng)變能與外力虛功利用虛位移原理于具體問(wèn)題時(shí)，必須列出虛應(yīng)變能δU*和各種荷載的外虛功δW*，本節(jié)以平面桿系為例，具體介紹虛位移、虛應(yīng)變、虛應(yīng)變能、外力虛功的概念及表達(dá)式。一、虛應(yīng)變能第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)。這里，“*”表示“虛設(shè)”，δ為一階變分算子，“δ”與“d”的運(yùn)算規(guī)律相同，意義類似，δ亦可看成是“微小”。3、虛應(yīng)變能(內(nèi)力虛功)1、虛位移2、虛應(yīng)變忽略剪切應(yīng)變(5)(6)第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)。1）、軸向拉壓實(shí)際的力態(tài)σx；虛設(shè)的位移態(tài)δu*，所引起的虛應(yīng)變?yōu)?7)第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)。2）、彎曲實(shí)際的力態(tài)Mz；虛設(shè)的位移態(tài)則(8)第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)。對(duì)于三維應(yīng)力狀態(tài)。設(shè)實(shí)際的力態(tài)為：虛設(shè)的位移態(tài)為：則虛應(yīng)變能為:對(duì)于僅考慮拉壓、彎曲的桿件，由小變形假設(shè)，故可分開(kāi)表示為：(9)第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)。與前述單獨(dú)變形的結(jié)果一致。第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)。1、集中荷載情況 實(shí)際的力態(tài)Pi

虛設(shè)的位移態(tài) 則2、分布荷載情況 實(shí)際的力態(tài)q(x)

虛設(shè)的位移態(tài) 則3、既有1又有2的情況，則δW*為1與2之和。(10)(11)二、外力虛功第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)。2-4

虛位移原理的應(yīng)用應(yīng)熟練了解運(yùn)用虛位移原理的前提條件。虛位移原理的研究對(duì)象是實(shí)際的力態(tài)，實(shí)際力態(tài)的平衡關(guān)系以及實(shí)際力態(tài)中力與位移之間的關(guān)系。為此，需任意虛設(shè)一位移態(tài)，此位移態(tài)一定要幾何可能。第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)。桿件位移態(tài)的幾何可能條件第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)。主要應(yīng)用：

1、推導(dǎo)各類單元的剛度矩陣，將在后面章節(jié)重點(diǎn)介紹；

2、求結(jié)構(gòu)內(nèi)力與位移，注意方法過(guò)程，詳請(qǐng)參考結(jié)構(gòu)力學(xué)教程，運(yùn)用中應(yīng)特別注意δu*、δv*為任意虛設(shè)的位移，u、v為實(shí)際的位移，兩種位移應(yīng)獨(dú)立無(wú)關(guān)。第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)。式中h2i稱為轉(zhuǎn)移系數(shù)，具體可求出?，F(xiàn)求：僅當(dāng)②發(fā)生變形e2時(shí)，求相應(yīng)的Δi(如圖)。為此，可虛設(shè)此位移態(tài)，則力態(tài)的外力在此位移態(tài)上的外力虛功為：

δW*=PiΔi虛位移原理應(yīng)用舉例設(shè)僅有Pi=1時(shí)，在單元②中引起的內(nèi)力的h2i；則由于為線性結(jié)構(gòu)，當(dāng)為Pi時(shí)，②中內(nèi)力為F2=h2iPi

(12)nn＝1i+1第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)。虛變形功為：

δU*=F2e2=h2iPie2由虛位移原理

δW*=δU* 便有 PiΔi=h2iPie2最后得 Δi=h2ie2

(13)這就是應(yīng)用虛位移原理的實(shí)例。第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)。即當(dāng)單元②有單位變形時(shí)，未知量i方向上的位移亦為h2i，因此可說(shuō)系數(shù)h2i是把Pi“轉(zhuǎn)移”為②中內(nèi)力F2的系數(shù)，或者說(shuō)是把單元②的變形“轉(zhuǎn)移”為i方向位移的系數(shù)。這是很重要的概念(逆步變換的概念)，反映了結(jié)構(gòu)本身的屬性。第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)。力和位移、應(yīng)力和應(yīng)變均稱為結(jié)構(gòu)分析中的對(duì)偶參數(shù)，本節(jié)主要完善虛功的對(duì)偶性原理。介紹虛力原理的目的：導(dǎo)出柔度矩陣，作為在特殊情況下推導(dǎo)剛度矩陣的補(bǔ)充，其它應(yīng)用情況暫略。研究對(duì)象：實(shí)際的位移態(tài)。虛設(shè)狀態(tài)：任一靜力可能的力態(tài)。2-5虛力原理簡(jiǎn)介第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)。與外力虛功對(duì)應(yīng)的是虛余功： (1)與虛應(yīng)變能對(duì)應(yīng)的是虛應(yīng)變余能：

(2)第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)。彈性結(jié)構(gòu)處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)的必要與充分條件是：對(duì)于平衡的任意虛力系在結(jié)構(gòu)實(shí)際位移上所作的虛余功等其虛應(yīng)變余能。即：

(3)其中Δ：在任一靜力可能的虛力態(tài)上。虛力原理第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)。

2-6能量原理介紹結(jié)構(gòu)在外力和在該外力所引起的位移及變形上的功能情況。主要內(nèi)容包括：結(jié)構(gòu)總勢(shì)能，勢(shì)能駐值原理和勢(shì)能極小原理。1、結(jié)構(gòu)總勢(shì)能的定義以桿件為例Π=U+V=U-W (1)第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)。可知W是位移的二次函數(shù)；由于應(yīng)變和位移是線性關(guān)系，故U亦是位移的二次函數(shù)。（2）（3）（4）第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)。第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)。3、勢(shì)能極小原理即：對(duì)于穩(wěn)定平衡，真實(shí)位移總是使Π取極小值。(證明參見(jiàn)結(jié)構(gòu)力學(xué)教程)第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)。第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)。第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)。2-7互等定理1、功的互等定理 當(dāng)結(jié)構(gòu)處于線彈性狀態(tài)時(shí)，力{P1}在由{P2}所引起的位移上所作的虛功等于力{P2}在由力{P1}所引起的位移上所作的虛功，即

{P1}T{Δ2}={P2}T{Δ1}

(1)第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)。第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)。在單個(gè)力的作用下，功的互等定理可表為

P1Δ12=P2Δ21 （4）第三十五頁(yè)，共三十九頁(yè)。求Δ。解：由功的互等定理：例：已知θ＝第三十六頁(yè)，共三十九頁(yè)。3.反力互等定理：由功的互等定理亦可得到

r12=r21

或 k12=k21上式中rij為反力影響系數(shù)，kij為剛度系數(shù)。第三十七頁(yè)，共三十九頁(yè)。例2：已知Δ=1時(shí)M=6i/l，求θ=1時(shí)Q=？解：令側(cè)移為1(序號(hào))，轉(zhuǎn)角為2(序號(hào))，則

M=K21=6i/l由反力互等定理可知

Q=K12=6i/lΔΔ=1M=6—=>Kil21α=1Q=6—=>Kli12α第三十八頁(yè)，共三十九頁(yè)。內(nèi)容梗概第二章功能原理。1、靜力法推導(dǎo)桁式單元的單元?jiǎng)偠染仃囈演^為麻煩，復(fù)雜單元就更為困難只能求助于功能原理。2、靜力法推導(dǎo)結(jié)構(gòu)剛度矩陣也很困難，由功能原理可推導(dǎo)出組裝結(jié)構(gòu)剛度矩陣的直接剛度法。1、靜力加載(比例加載)。2、應(yīng)變能：彈性體因受外力作用變形而具有恢復(fù)原狀態(tài)的能力，即具有做功的能力，又稱為形變勢(shì)能。4、總勢(shì)能：結(jié)構(gòu)的形變勢(shì)能+荷載勢(shì)能。所謂虛，并非指不存在，而是指與實(shí)際的力態(tài)獨(dú)立無(wú)關(guān)。2、理想約束：實(shí)際力態(tài)的約束力在虛設(shè)的位移態(tài)上所做的功恒等于零的那種約束。其中Δ：在虛設(shè)的任一幾何可能的位移態(tài)上。結(jié)點(diǎn)力：桿端對(duì)結(jié)點(diǎn)的作用力稱為結(jié)點(diǎn)力。桿端力和結(jié)點(diǎn)力是作用力和反作用力。δ——表示微小，*——表示虛設(shè)。注意:雖然是就上述特殊情況進(jìn)行的證明，但可推廣到其它的受力狀態(tài)及由若干個(gè)單元所