計算結構力學第二章

第二章功能原理計算結構力學第一頁，共三十九頁。1、靜力法推導桁式單元的單元剛度矩陣已較為麻煩，復雜單元就更為困難只能求助于功能原理。2、靜力法推導結構剛度矩陣也很困難，由功能原理可推導出組裝結構剛度矩陣的直接剛度法。3、處理單元荷載。4、由于實際問題的復雜性，用靜力法往往較為困難，求助于功能原理可以求得各種問題的精確解或近似解。5、了解功能原理和力學上的平衡原理(或變形協調原理)的等價性。2-1概述:學習功能原理的目的一、基本知識第二頁，共三十九頁。1、靜力加載(比例加載)。

2、應變能：彈性體因受外力作用變形而具有恢復原狀態(tài)的能力，即具有做功的能力，又稱為形變勢能。

3、功能方程(前提：①靜力加載；②無耗散功δQ=0)：在微小的δt內，荷載在結構位移上所作的功全部轉變?yōu)閼兡埽害腤=δU。

4、總勢能：結構的形變勢能+荷載勢能

Π=U+V二、先修有關概念第三頁，共三十九頁。1、虛位移：為約束所允許的，在平衡附近的，可任意虛設的微小位移。所謂虛，并非指不存在，而是指與實際的力態(tài)獨立無關。

2、理想約束：實際力態(tài)的約束力在虛設的位移態(tài)上所做的功恒等于零的那種約束。

3、虛功δW*=F·δu*

(1)虛功并非不存在，只是強調功的兩要素獨立無關。2-2虛位移原理一、幾個概念第四頁，共三十九頁。4、虛應變能(內力虛功、虛變形能、虛變形功)。

式中：

σ：力F所引起的應力(力態(tài))；

δε*：虛位移δu*

所引起的虛應變(虛設的位移態(tài))。(2)第五頁，共三十九頁。

虛位移原理的敘述：彈性結構處于平衡狀態(tài)的必要與充分條件是對于任意微小的虛位移，外力所作的虛功δW*等于虛變形功δU*

(虛應變能，內力虛功)。研究對象：實際的力態(tài)。虛設：位移態(tài)(滿足變形協調條件)。于是，虛功原理可表述為：體系平衡δW*=δU*

(3)

其中Δ：在虛設的任一幾何可能的位移態(tài)上。二、虛位移原理及其證明第六頁，共三十九頁。證明：以最簡單的桿件結構為例，如圖：桿端力：結點對單元的作用力。結點力：桿端對結點的作用力稱為結點力。桿端力和結點力是作用力和反作用力。對結點1，由平衡條件ΣX=0: P1-F12=0對結點2，由平衡條件ΣX=0: P2-F21-F23=0’’’’’(4)第七頁，共三十九頁。外力虛功為：

式中：

δ——表示微小，*——表示虛設。虛應變能為：第八頁，共三十九頁。注意:雖然是就上述特殊情況進行的證明，但可推廣到其它的受力狀態(tài)及由若干個單元所組成的彈性結構。第九頁，共三十九頁。關于虛位移原理的討論：

1、仍然是一個(虛功)體系，兩個狀態(tài)；

2、力態(tài)靜力可能的證明，建立在位移態(tài)(虛設)的幾何可能上；

3、若力態(tài)轉換成位移表達式，則要求力態(tài)變形協調；

4、力態(tài)和虛設的位移態(tài)一定是獨立無關。第十頁，共三十九頁。2-3虛應變能與外力虛功利用虛位移原理于具體問題時，必須列出虛應變能δU*和各種荷載的外虛功δW*，本節(jié)以平面桿系為例，具體介紹虛位移、虛應變、虛應變能、外力虛功的概念及表達式。一、虛應變能第十一頁，共三十九頁。這里，“*”表示“虛設”，δ為一階變分算子，“δ”與“d”的運算規(guī)律相同，意義類似，δ亦可看成是“微小”。3、虛應變能(內力虛功)1、虛位移2、虛應變忽略剪切應變(5)(6)第十二頁，共三十九頁。1）、軸向拉壓實際的力態(tài)σx；虛設的位移態(tài)δu*，所引起的虛應變?yōu)?7)第十三頁，共三十九頁。2）、彎曲實際的力態(tài)Mz；虛設的位移態(tài)則(8)第十四頁，共三十九頁。對于三維應力狀態(tài)。設實際的力態(tài)為：虛設的位移態(tài)為：則虛應變能為:對于僅考慮拉壓、彎曲的桿件，由小變形假設，故可分開表示為：(9)第十五頁，共三十九頁。與前述單獨變形的結果一致。第十六頁，共三十九頁。1、集中荷載情況 實際的力態(tài)Pi

虛設的位移態(tài) 則2、分布荷載情況 實際的力態(tài)q(x)

虛設的位移態(tài) 則3、既有1又有2的情況，則δW*為1與2之和。(10)(11)二、外力虛功第十七頁，共三十九頁。2-4

虛位移原理的應用應熟練了解運用虛位移原理的前提條件。虛位移原理的研究對象是實際的力態(tài)，實際力態(tài)的平衡關系以及實際力態(tài)中力與位移之間的關系。為此，需任意虛設一位移態(tài)，此位移態(tài)一定要幾何可能。第十八頁，共三十九頁。桿件位移態(tài)的幾何可能條件第十九頁，共三十九頁。主要應用：

1、推導各類單元的剛度矩陣，將在后面章節(jié)重點介紹；

2、求結構內力與位移，注意方法過程，詳請參考結構力學教程，運用中應特別注意δu*、δv*為任意虛設的位移，u、v為實際的位移，兩種位移應獨立無關。第二十頁，共三十九頁。式中h2i稱為轉移系數，具體可求出?，F求：僅當②發(fā)生變形e2時，求相應的Δi(如圖)。為此，可虛設此位移態(tài)，則力態(tài)的外力在此位移態(tài)上的外力虛功為：

δW*=PiΔi虛位移原理應用舉例設僅有Pi=1時，在單元②中引起的內力的h2i；則由于為線性結構，當為Pi時，②中內力為F2=h2iPi

(12)nn＝1i+1第二十一頁，共三十九頁。虛變形功為：

δU*=F2e2=h2iPie2由虛位移原理

δW*=δU* 便有 PiΔi=h2iPie2最后得 Δi=h2ie2

(13)這就是應用虛位移原理的實例。第二十二頁，共三十九頁。即當單元②有單位變形時，未知量i方向上的位移亦為h2i，因此可說系數h2i是把Pi“轉移”為②中內力F2的系數，或者說是把單元②的變形“轉移”為i方向位移的系數。這是很重要的概念(逆步變換的概念)，反映了結構本身的屬性。第二十三頁，共三十九頁。力和位移、應力和應變均稱為結構分析中的對偶參數，本節(jié)主要完善虛功的對偶性原理。介紹虛力原理的目的：導出柔度矩陣，作為在特殊情況下推導剛度矩陣的補充，其它應用情況暫略。研究對象：實際的位移態(tài)。虛設狀態(tài)：任一靜力可能的力態(tài)。2-5虛力原理簡介第二十四頁，共三十九頁。與外力虛功對應的是虛余功： (1)與虛應變能對應的是虛應變余能：

(2)第二十五頁，共三十九頁。彈性結構處于變形協調狀態(tài)的必要與充分條件是：對于平衡的任意虛力系在結構實際位移上所作的虛余功等其虛應變余能。即：

(3)其中Δ：在任一靜力可能的虛力態(tài)上。虛力原理第二十六頁，共三十九頁。

2-6能量原理介紹結構在外力和在該外力所引起的位移及變形上的功能情況。主要內容包括：結構總勢能，勢能駐值原理和勢能極小原理。1、結構總勢能的定義以桿件為例Π=U+V=U-W (1)第二十七頁，共三十九頁?？芍猈是位移的二次函數；由于應變和位移是線性關系，故U亦是位移的二次函數。（2）（3）（4）第二十八頁，共三十九頁。第二十九頁，共三十九頁。3、勢能極小原理即：對于穩(wěn)定平衡，真實位移總是使Π取極小值。(證明參見結構力學教程)第三十頁，共三十九頁。第三十一頁，共三十九頁。第三十二頁，共三十九頁。2-7互等定理1、功的互等定理 當結構處于線彈性狀態(tài)時，力{P1}在由{P2}所引起的位移上所作的虛功等于力{P2}在由力{P1}所引起的位移上所作的虛功，即

{P1}T{Δ2}={P2}T{Δ1}

(1)第三十三頁，共三十九頁。第三十四頁，共三十九頁。在單個力的作用下，功的互等定理可表為

P1Δ12=P2Δ21 （4）第三十五頁，共三十九頁。求Δ。解：由功的互等定理：例：已知θ＝第三十六頁，共三十九頁。3.反力互等定理：由功的互等定理亦可得到

r12=r21

或 k12=k21上式中rij為反力影響系數，kij為剛度系數。第三十七頁，共三十九頁。例2：已知Δ=1時M=6i/l，求θ=1時Q=？解：令側移為1(序號)，轉角為2(序號)，則

M=K21=6i/l由反力互等定理可知

Q=K12=6i/lΔΔ=1M=6—=>Kil21α=1Q=6—=>Kli12α第三十八頁，共三十九頁。內容梗概第二章功能原理。1、靜力法推導桁式單元的單元剛度矩陣已較為麻煩，復雜單元就更為困難只能求助于功能原理。2、靜力法推導結構剛度矩陣也很困難，由功能原理可推導出組裝結構剛度矩陣的直接剛度法。1、靜力加載(比例加載)。2、應變能：彈性體因受外力作用變形而具有恢復原狀態(tài)的能力，即具有做功的能力，又稱為形變勢能。4、總勢能：結構的形變勢能+荷載勢能。所謂虛，并非指不存在，而是指與實際的力態(tài)獨立無關。2、理想約束：實際力態(tài)的約束力在虛設的位移態(tài)上所做的功恒等于零的那種約束。其中Δ：在虛設的任一幾何可能的位移態(tài)上。結點力：桿端對結點的作用力稱為結點力。桿端力和結點力是作用力和反作用力。δ——表示微小，*——表示虛設。注意:雖然是就上述特殊情況進行的證明，但可推廣到其它的受力狀態(tài)及由若干個單元所