2023年湖北省葛洲壩中學(xué)高考仿真卷數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知無窮等比數(shù)列的公比為2，且，則（）A． B． C． D．2．如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，分別為線段和棱上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，過的直線l交雙曲線的右支于點(diǎn)P，以雙曲線的實軸為直徑的圓與直線l相切，切點(diǎn)為H，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的大致圖象為A． B．C． D．5．給出個數(shù)，，，，，，其規(guī)律是：第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，以此類推，要計算這個數(shù)的和．現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖，請在圖中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語句，使之能完成該題算法功能()A．； B．；C．； D．；6．要得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位7．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．8．已知集合，則的值域為（）A． B． C． D．9．由曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為()A．1 B． C． D．10．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．11．執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的結(jié)果，則輸入的值為()A． B．C．3或 D．或12．已知函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是（）A．的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱 B．既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．的最大值是二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過引一條弦，使此弦被點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為________________．14．展開式中的系數(shù)為_________.15．已知雙曲線的一條漸近線為，且經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.16．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_______________，漸近線方程是_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論的零點(diǎn)個數(shù)；（2）證明：當(dāng)時，.18．（12分）如圖，四棱錐的底面ABCD是正方形，為等邊三角形，M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)，且平面平面ABCD.（1）證明：平面PNB；（2）問棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使平面DEM，求的值19．（12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長度為，只要誤差的絕對值不超過就認(rèn)為合格，工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件，檢測其長度，繪制條形統(tǒng)計圖如圖：（1）估計該批次產(chǎn)品長度誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望；（2）如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時，該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線和圓的普通方程；（2）已知直線上一點(diǎn)，若直線與圓交于不同兩點(diǎn)，求的取值范圍.21．（12分）小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天，每名員工休假的概率都是，且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家無人休假，則調(diào)劑1人到該店維持營業(yè)，否則該店就停業(yè).（1）求發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率；（2）設(shè)營業(yè)店鋪數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知橢圓的短軸長為，左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的任一點(diǎn)，且當(dāng)時，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，過點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，連接并延長交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（?。┣竺娣e最大值；（ⅱ）證明：直線與斜率之積為定值.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【答案解析】

依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項，再求出，利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?！绢}目詳解】因為無窮等比數(shù)列的公比為2，則無窮等比數(shù)列的公比為。由有，，解得，所以，，故選A?！敬鸢更c(diǎn)睛】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。2．D【答案解析】

取中點(diǎn)，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當(dāng)時，最小，由，故，即可求解.【題目詳解】取中點(diǎn)，過作面，如圖：則，故，而對固定的點(diǎn)，當(dāng)時，最小．此時由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.3．A【答案解析】

在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.【題目詳解】由已知，，在中，由余弦定理，得，又，，所以，，故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計算問題，處理雙曲線離心率問題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系，本題是一道中檔題.4．A【答案解析】

因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，排除B、D，又，排除C，故選A．5．A【答案解析】

要計算這個數(shù)的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語句①，根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句②.【題目詳解】因為計算這個數(shù)的和，循環(huán)變量的初值為1，所以步長應(yīng)該為1，故判斷語句①應(yīng)為，第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，這樣可以確定語句②為，故本題選A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.6．A【答案解析】

運(yùn)用輔助角公式將兩個函數(shù)公式進(jìn)行變形得以及,按四個選項分別對變形，整理后與對比，從而可選出正確答案.【題目詳解】解：.對于A：可得.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換，考查了輔助角公式.本題的易錯點(diǎn)有兩個，一個是混淆了已知函數(shù)和目標(biāo)函數(shù);二是在平移時，忘記乘了自變量前的系數(shù).7．C【答案解析】

根據(jù)直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【題目詳解】因為圓心，半徑，直線與圓相交，所以，解得所以相交的概率,故選C.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，幾何概型，屬于中檔題.8．A【答案解析】

先求出集合，化簡=，令，得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【題目詳解】由，得，，令，，，所以得，在上遞增，在上遞減，，所以，即的值域為故選A【答案點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題9．B【答案解析】

首先求得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此可確定積分區(qū)間，然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【題目詳解】聯(lián)立方程：可得：，，結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為：.本題選擇B選項.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的概念與計算，屬于中等題.10．D【答案解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【題目詳解】.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.11．D【答案解析】

根據(jù)逆運(yùn)算，倒推回求x的值，根據(jù)x的范圍取舍即可得選項.【題目詳解】因為,所以當(dāng)，解得

，所以3是輸入的x的值；當(dāng)時，解得，所以是輸入的x的值，所以輸入的x的值為

或3，故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用，通過結(jié)果反求輸入的值，屬于基礎(chǔ)題.12．D【答案解析】

通過三角函數(shù)的對稱性以及周期性，函數(shù)的最值判斷選項的正誤即可得到結(jié)果．【題目詳解】解：，正確；，為奇函數(shù)，周期函數(shù)，正確；，正確；D：，令，則，，，，則時，或時，即在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；且，，，故D錯誤．故選：．【答案點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)周期性和對稱性的判斷，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)最值，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，進(jìn)而可求得直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可.【題目詳解】設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，由于點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，則，得，由題意得，兩式相減得，所以，直線的斜率為，所以，弦所在的直線方程為，即.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用弦的中點(diǎn)求弦所在直線的方程，一般利用點(diǎn)差法，也可以利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法來解答，考查計算能力，屬于中等題.14．【答案解析】

變換，根據(jù)二項式定理計算得到答案.【題目詳解】的展開式的通項為：，，取和，計算得到系數(shù)為：.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.15．【答案解析】

設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為，再由雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，能求出雙曲線方程．【題目詳解】解：設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為，∵雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，∴，∴雙曲線方程為，故答案為：．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線方程的求法，考查拋物線、雙曲線簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．16．【答案解析】

通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解，，即可得到所求的結(jié)果．【題目詳解】由雙曲線，可得，，則，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，漸近線方程為：．故答案為：；．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于容易題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）見解析【答案解析】

（1）求出，分別以當(dāng)，，時，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點(diǎn)的個數(shù).（2）令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出；同理可求出滿足，從而可得，進(jìn)而證明.【題目詳解】解析：（1），，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，，，此時有1個零點(diǎn)；當(dāng)時，無零點(diǎn)；當(dāng)時，由得，由得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴在處取得最小值，若，則，此時沒有零點(diǎn)；若，則，此時有1個零點(diǎn)；若，則，，求導(dǎo)易得，此時在，上各有1個零點(diǎn).綜上可得時，沒有零點(diǎn)，或時，有1個零點(diǎn)，時，有2個零點(diǎn).（2）令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴.令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，∴，，∴，即.【答案點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點(diǎn)問題，考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，考查了分類的數(shù)學(xué)思想.本題的難點(diǎn)在于第二問不等式的證明中，合理設(shè)出函數(shù)，通過比較最值證明.18．（1）證明見解析；（2）存在，.【答案解析】

（1）根據(jù)題意證出，，再由線面垂直的判定定理即可證出.（2）連接AC交DM于點(diǎn)Q，連接EQ，利用線面平行的性質(zhì)定理可得，從而可得，在正方形ABCD中，由即可求解.【題目詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴，，.∴.∴.又，∴，∴.∵為等邊三角形，N是AD的中點(diǎn)，∴.又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴平面ABCD.又平面ABCD，∴.∵平面PNB，，∴平面PNB.（2）解：存在.如圖，連接AC交DM于點(diǎn)Q，連接EQ.∵平面DEM，平面PAC，平面平面，∴.∴.在正方形ABCD中，，且.∴，∴.故.所以棱PA上存在點(diǎn)E，使平面DEM，此時，E是棱A的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn).【答案點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理，考查了學(xué)生的推理能力以及空間想象能力，屬于空間幾何中的基礎(chǔ)題.19．（1）（2）【答案解析】

（1）根據(jù)題意即可寫出該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對值的頻率分布列，再根據(jù)期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為0.4，即可求出隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，都不是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率，由對立事件的概率公式即可得到隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率，判斷其是否符合生產(chǎn)要求；當(dāng)不符合要求時，設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為，可根據(jù)上述方法求出，解，即可得出最小值.【題目詳解】（1）由柱狀圖，該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對值的頻率分布列為下表：00.010.020.030.04頻率0.40.30.20.0750.025所以的數(shù)學(xué)期望的估計為.（2）由（1）可知任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為0.4，設(shè)至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品為事件，則，故不符合概率不小于0.8的要求.設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為，由題意，又，解得，所以符合要求時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值為.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望的求法，相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式的應(yīng)用，對立事件的概率公式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是對題意的理解，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．（1），；（2）【答案解析】分析：（1）用代入法消參數(shù)可得直線的普通方程，由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，其中參數(shù)的絕對值表示直線上對應(yīng)點(diǎn)到的距離，因此有，，直接由韋達(dá)定理可得，注意到直線與圓相交，因此判別式＞0，這樣可得滿足的不等關(guān)系，由此可求得的取值范圍.詳解：（1）直線的參數(shù)方程為，普通方程為，將代入圓的極坐標(biāo)方程中,可得圓的普通方程為，（2）解：直線的參數(shù)方程為代入圓的方程為可得：（*），且由題意，,.因為方程（*）有兩個不同的實根，所以，即，又，所以.因為，所以所以.點(diǎn)睛：（1）參數(shù)方程化為普通方程，一般用消參數(shù)法，而消參法有兩種選擇：一是代入法，二是用公式；（2）極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化一般利用公式；（3）過的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）中參數(shù)具有幾何意義：直線上任一點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)，則.21．