三年級上冊數(shù)學(xué)試題-奧數(shù) 幾何.圖形剪拼（A級）（含答案）滬教版

圖形剪拼圖形剪拼A知識框架知識框架本講主要學(xué)習(xí)三大圖形處理方法：理解掌握圖形的分割；理解掌握圖形的拼合；理解圖形的剪拼．本講中很多類型的題目還要求同學(xué)們?nèi)邮謬L試．通過本講知識的學(xué)習(xí)，讓同學(xué)們了解不同圖形的分割、拼合、剪拼的方法，鍛煉同學(xué)們的平面想象能力以及增強(qiáng)學(xué)生的動手操作能力．把一個幾何圖形按某種要求分成幾個圖形，就叫做圖形的分割．反過來，按一定的要求也可以把幾個圖形拼成一個完美的圖形，就叫做圖形的拼合．將一個或者多個圖形先分割開，再拼成一種指定的圖形，則叫做圖形的剪拼．我們在圖形的分割、拼合和剪拼的過程中，都要結(jié)合所提供的圖形特點來思考．如果把一個圖形分割成若干個大小、形狀相等的部分，那么就要想辦法找圖形的對稱點，把圖形先分少，再分多．圖形中，如果有數(shù)量方面的要求，可以先從數(shù)量入手，找出平分后每塊上所含數(shù)量的多少，再結(jié)合數(shù)量來分割圖形．如果是要把幾個圖形拼合成一個大圖形，要特別注意每條邊的長度，把相等的邊長拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼圖形，要抓住“剪、拼前后圖形的面積相等”這個關(guān)鍵，根據(jù)已知條件和圖形的特點，通過分析推理和必要的計算，確定剪拼的方法．解題關(guān)鍵：分割其實就是運用特殊的三角形（等角直角三角形、等邊三角形等）、正方形、等邊圖形的特殊性質(zhì)進(jìn)行分割而得，所以分割的關(guān)鍵是利用了特殊圖形的關(guān)系解題。解題思想：這其實就是一種化整為零的思想，各位同學(xué)不僅要學(xué)會幾何題中的這種方法，更要細(xì)細(xì)體味這種思想在解決各種問題中的妙用。例題精講例題精講用一條線段把一個長方形平均分割成兩塊，一共有多少種不同的分割法？【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答怎樣把一個圖形按照規(guī)定的要求分割成若干部分呢？這就是圖形的分割問題．按照規(guī)定的要求合理分割圖形，是很講究技巧的，多做這種有趣的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，發(fā)展空間觀念，豐富想象，提高觀察能力．這道題要求把長方形平均分割成兩塊，過長方形中心的任意一條直線都可以把長方形平均分割成兩塊，根據(jù)這點給出如下分法(如右圖)：⑴做長方形的兩條對角線，設(shè)交點為⑵過點任作一條直線，直線將長方形平均分割成兩塊．可見用線段平分長方形的分法是無窮多的．【答案】⑴做長方形的兩條對角線，設(shè)交點為⑵過點任作一條直線，直線將長方形平均分割成兩塊．用線段平分長方形的分法有無窮多種。畫一條直線，將六邊形分成大小相等、形狀相同的兩部分，這樣的直線有條．【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】填空無數(shù)條．任何過六邊形中心的直線均符合要求．【答案】無數(shù)條把任意一個三角形分成面積相等的4個小三角形，有許多種分法．請你畫出4種不同的分法．【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答根據(jù)等底等高的三角形面積相等這一結(jié)論，只要把原三角形分成4個等底等高的小三角形，它們的面積必定相等．而要得到這4個等底等高的小三角形，只需把原三角形的某條邊四等分，再將各分點與這邊相對的頂點連接起來就行了．根據(jù)上面的分析，可得如左下圖所示的三種分法．又因為，所以，如果我們把每一個小三角形的面積看做1，那么就可以視為把三角形的面積直接分成4等份，即分成4個面積為1的小三角形；而可以視為先把原三角形分成兩等份，再把每一份分別分成兩等份．根據(jù)前面的分析，在每次等分時，都要想辦法找等底等高的三角形．根據(jù)上面的分析，又可以得到如右下圖的另兩種分法．【答案】方法不唯一把任意一個三角形分成面積相等的2個小三角形，有許多種分法．請你畫出3種不同的分法．【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答根據(jù)等底等高的三角形面積相等這一結(jié)論，只要把原三角形分成2個等底等高的小三角形，它們的面積必定相等．而要得到這2個等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某條邊的中點與這邊相對的頂點連接起來就行了．根據(jù)上面的分析，可得如圖所示的三種分法．【答案】用3個等腰直角三角形拼圖，要求邊與邊完全重合，能拼出幾種圖形？【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答：【答案】用兩塊大小一樣的等腰直角三角形能拼成幾種常見的圖形？【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答建議用等腰直角三角板，把不同的邊進(jìn)行重合，不要漏掉旋轉(zhuǎn)重合，或者準(zhǔn)備一些等腰直角三角形的紙片，由學(xué)生拼接后貼到黑板上，見下圖：【答案】下圖是一個的方格紙，請用四種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分，但要保持每個小方格的完整．【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答分成的兩塊每塊有(個)小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點對稱，大小和形狀完全一樣，我們從對稱線入手，介紹一種分割技巧——染色法，先選中一個小格，找它關(guān)于中心點或中心線的對稱位置，標(biāo)上相應(yīng)的符號．當(dāng)找它關(guān)于中心線的對稱位置時是一種情況，關(guān)于中心點的對稱位置是另一種情況，具體如下圖所示．【答案】右圖是一個的方格紙，請用六種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分，但要保持每個小方格的完整．【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答因為要分割成完全相同的兩塊，即大小、形狀完全相同．方格紙一共有(個)小格，所以分成的兩塊每塊有(個)小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點對稱，大小和形狀完全一樣，應(yīng)用染色法，從中心點的一側(cè)入手染色，逐步推進(jìn)．(建議教師同時呈現(xiàn)六幅空的格圖，不同的變化在不同的圖上同時呈現(xiàn))如下圖：【答案】（答案不唯一）下圖是由五個正方形組成的圖形．把它分成形狀、大小都相同的四個圖形，應(yīng)怎樣分？【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答如果不考慮分成的四個圖形的形狀，只考慮它們的面積，這就要求把原來五個正方形分成四個面積相等的圖形，每個圖形的面積應(yīng)是1個多正方形．我們把每個正方形各分成四個面積相等的小正方形，分成的每塊圖形應(yīng)有五個這樣的小正方形．根據(jù)圖形的對稱性，我們很快就能得到如右上圖的分法．也可以將中間的正方形分成四個小正方形，如右上圖．【答案】將圖中的圖形分割成面積相等的三塊．【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答如下圖所示．【答案】如圖，將一個等邊三角形分割成互相不重疊的23個較小的等邊三角形(這些較小的等邊三角形的大小不一定都相同)，請在圖中畫出分割的結(jié)果．【考點】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2003年，小學(xué)生數(shù)學(xué)報分割的方法不唯一，如圖所示．【答案】如圖，將一個正方形分割成互相不重疊的21個小正方形，這些小正方形的大小不一定相同，請畫圖表示．【考點】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2005年，小學(xué)生數(shù)學(xué)報分割的方法不唯一，如右圖所示．【答案】試將一個正方形分成相同的四塊，然后用這四塊分別拼成三角形、平行四邊形和梯形．【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答要用分成的四塊組成三角形，那么剪成得圖形一定是三角形，這樣平均分成四等分，當(dāng)然這種分法有好幾種．組成圖形的時候我們可以換位思考，看如何將三角形、平行四邊形、梯形分成大小相等的三角形．如圖所示：【答案】把兩個小正方形剪開以后拼成一個大正方形．【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答因為大正方形的面積等于兩個小正方形的面積和，所以大正方形的邊長不能等于兩個小正方形的邊長和，而是等于小正方形的對角線的長，所以要沿著兩個小正方形的對角線剪開再進(jìn)行拼接，如右圖．【答案】將下圖分成4個形狀、大小都相同的圖形，然后拼成一個正方形．【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答總共有36塊小正方形，所以最后拼成的大正方形邊長有6個單位，具體切拼方法如下：【答案】將下圖分成兩塊，然后拼成一個正方形．【考點】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答圖形的面積等于16個小方格，如果以每個小方格的邊長為1，那么拼成的正方形的邊長應(yīng)該是4．因為圖形是缺角長方形，長為6，寬為3，應(yīng)將寬加1，長減去2便可得一個正方形，所以分割成兩塊后，右邊的一塊應(yīng)向上平移1(原來寬為3，向上平移使寬為4)，向左平移2(原來長為6，向左平移使長為4)．如右下圖所示．【答案】小龍的媽媽在街上賣邊角布料的地攤上，買回了一塊形狀是等腰直角三角形的綢布，想用它來做長方形的窗簾，為了不把布剪的太碎，裁剪的塊數(shù)就要盡可能的少，請問小龍的媽媽應(yīng)該怎樣剪拼呢？【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答要使裁剪的塊數(shù)少，就要充分利用等腰直角三角形的特點，還要盡可能多的讓長方形的邊與三角形的邊重合，假設(shè)拼好的長方形以為長，現(xiàn)在要把△補(bǔ)到△的位置上，這就要求這兩個三角形完全一樣，顯然，只要取、分別為、的中點即可．所以首先連接的中點和的中點，將△沿剪開，再按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°即可．如下圖所示．【答案】試將任意一個三角形分成三塊，然后拼成一個長方形．【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答方法一：三角形與長方形的不同在于：角、邊的個數(shù)不同，把三角形變?yōu)樗倪呅危枰右粋€角，加一條邊，而且長方形四個角都是直角，自然能想到在三角形中做兩條垂線，并且過三角形兩條邊的中點，這樣才能拼出一個長方形，如左下圖．方法二：因為由平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形很簡單，所以只需要把三角形先分割、拼湊成平行四邊形，作三角形的中位線，旋轉(zhuǎn)180°即可轉(zhuǎn)化為平行四邊形，然后拼成長方形，如右下圖．方法一：方法二：【答案】方法一：方法二：課堂檢測課堂檢測把右圖剪成形狀、大小相等的8個小圖形，怎么剪？作出分出的小圖形．【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答總格數(shù)為12，用總格數(shù)除以8，得到每個小圖形應(yīng)該是一個半小正方形，根據(jù)平均一個小圖形的格數(shù)作圖，如下圖．【答案】一個正三角形形狀的土地上有四棵大樹(如下圖所示)，現(xiàn)要把這塊正三角形的土地分成和它形狀相同的四小塊，并且要求每塊地中都要有一棵大樹．應(yīng)怎樣分？【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答由于土地的形狀為正三角形，由題意可知，把大三角形的面積分成四份，每一塊占一份，且形狀與原三角形相同，于是我們想到取大正三角形的各邊中點，依次連接各邊中點，即可將這塊大正三角形的土地分成與它相等的四份，如下圖所示．【總結(jié)】本題若死守三角形面積等于底高的一半，則無以下手，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換一下思考角度，取原三角形各邊中點，將原三角形分成面積相等的四部分，問題即可解決．【答案】試將任意一個矩形分成兩塊，然后拼成一個三角形．【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答方法一：考慮到矩形沿對角線可以分成兩個相同的三角形，兩個完全相同的三角形即可拼成一個大的三角形，如左上圖所示．方法二：連接矩形一個角與一邊中點的連線，將分割出的三角形沿中點處旋轉(zhuǎn)180°即可，如右上圖所示．方法一：方法二：【答案】方法一：方法二：家庭作業(yè)家庭作業(yè)如何把下圖中的三個圖形分割成兩個相同的部分(除了沿正方形的邊進(jìn)行分割外，還可沿正方形的對角線進(jìn)行分割)．【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答要把圖形分成兩個相同的部分，首先要保證分得的兩部分面積相同，其次要保證分得的兩部分形狀相同，從面積入手進(jìn)行分割會使問題更容易解決．第一個圖形一共有6個小正方形，2個三角形，要分割成兩塊完全相同的部分，每一部分都要有3個正方形、1個三角形，這樣很容易就可以解決這個問題了；同樣，對第二個圖形，一共有7個正方形，2個三角形，因為正方形的個數(shù)是奇數(shù)，所以，肯定有一個正方形被分成相同的兩塊，對于這個圖形，我們很容易看出有一個正方形的位置很特殊，在最中間，所以考慮將它分成兩部分，由對稱的原則，從對角線分開；第三個圖形更復(fù)雜一些，一共有6個正方形，6個三角形，分成的兩塊每一塊都要有3個正方形、3個三角形，因為最上面的兩個三角形組合成了一個大的三角形，所以右下方的兩個三角形不能分開，再根據(jù)對稱的原則，就容易解決這個問題了，具體分法見下圖．【答案】已知左下圖是由同樣大小的5個正方形組成的．試將圖形分割成4塊形狀、大小都一樣的圖形．【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答已知圖形是由同樣大小的5個正方形組成的，要分成4塊同樣大小的圖形，則每塊圖形是個正方形．由此想到，若把每個正方形都分成4等份，則分割成的每一塊中應(yīng)包含5份．再稍經(jīng)試驗，即得下圖的解(圖內(nèi)部的實線為分割線)．【答案】將下圖分割成大小、形狀相同的三塊，使每一小塊中都含有一個○．【考點】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答圖中一共有18個小方格，要求分割成大小、形狀相同的三塊，每一塊有：(塊)，而且分割成大小、形狀相同的三塊，可以看出圖形的中心點是，而且上面的部分是對稱的，但是只有5塊，需要對稱的再加上一塊，再由圖形的特點，可以判斷應(yīng)分為右下圖的三部分．【答案】下面哪些圖形自身用4次就能拼成一個正方形？【考點】圖形的分割與