2022-2023學(xué)年山東省濰坊市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省濰坊市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．D【分析】利用向量的運(yùn)算法則求解.【詳解】解：，，，，故選：D2．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1，則（

）A．0或2 B．1或2 C．0 D．2A【分析】由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求解.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1，所以，解得或故選：A3．已知向量與平行，則（

）A．1 B． C．3 D．B【分析】根據(jù)向量平行列方程，求得進(jìn)而求得.【詳解】由于向量與平行，注意到，所以，故.故選：B4．直線(xiàn)，的斜率是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B．C．與相交但不垂直 D．與的位置關(guān)系不確定B【分析】結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的斜率分別是，依題意，所以.故選：B5．在圓的方程的探究中，有四位同學(xué)分別給出了一個(gè)結(jié)論，甲：該圓的半徑為；乙：該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；丙：該圓的圓心為；丁：該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么這位同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁D【分析】通過(guò)假設(shè)的方法判斷出錯(cuò)誤的同學(xué).【詳解】設(shè).假設(shè)甲錯(cuò)誤，乙丙丁正確，，，矛盾，所以甲正確.假設(shè)乙錯(cuò)誤，甲丙丁正確，由甲、丙正確可知圓的方程為，不滿(mǎn)足上式，矛盾，所以乙正確.假設(shè)丙錯(cuò)誤，甲乙丁正確.由乙丁得，與半徑為矛盾，所以丙正確.假設(shè)丁錯(cuò)誤，甲乙丙正確，則由甲丙可知圓的方程為，滿(mǎn)足上式，符合題意.綜上所述，結(jié)論錯(cuò)誤的同學(xué)是丁.故選：D6．已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且的方向向量，則直線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．B【分析】先求出，設(shè)上一點(diǎn)為，其中與不重合，根據(jù)的方向向量，求出，進(jìn)而利用兩點(diǎn)式，求出直線(xiàn)方程.【詳解】對(duì)化簡(jiǎn)得，，得，解得，點(diǎn)，又直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且的方向向量，可設(shè)上一點(diǎn)為，其中與不重合，則，解得，故利用兩點(diǎn)式，可得的直線(xiàn)方程為：.故選：B7．正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，且已知與BF所成角的大小為60°，則直線(xiàn)與平面BCF之間的距離為（

）A． B． C． D．C【分析】由，可得，結(jié)合題干條件在中求解可得，由可得直線(xiàn)與平面BCF之間的距離即為點(diǎn)與平面BCF之間的距離，作可證明為點(diǎn)與平面BCF之間的距離，求解即可.【詳解】取為中點(diǎn)，連接不妨令相交于，由于點(diǎn)E為的中點(diǎn)，故，即四邊形為平行四邊形，故，故與BF所成角的大小與與所成角的大小相等，即，不妨設(shè)，故，由平面，平面，故，點(diǎn)為中點(diǎn)，故，又，故為等邊三角形，即，解得，即，連接，作于，由于，平面BCF，平面BCF，故平面BCF，則直線(xiàn)與平面BCF之間的距離即為點(diǎn)與平面BCF之間的距離，由平面，平面，故，又平面BCF，故平面BCF，即為點(diǎn)與平面BCF之間的距離，，故，即直線(xiàn)與平面BCF之間的距離為.故選：C8．已知直線(xiàn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)A的圓的最短弦所在直線(xiàn)為m，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．l與圓C相交，且 B．l與圓C相切，且C．l與圓C相離，且 D．l與圓C相離，且D【分析】由題可得，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，利用圓的性質(zhì)可得過(guò)點(diǎn)A的圓的最短弦與垂直，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，所以，所以圓心到直線(xiàn)的距離為，所以直線(xiàn)l與圓C相離，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A的圓的弦最短，此時(shí)，所以.故選：D.二、多選題9．已知a，b為不同的直線(xiàn)，，為不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，，BC【分析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，若，，，則可能異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由于，，所以，由于，所以，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由于，，所以，由于，所以，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若，，，，則可能，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10．關(guān)于直線(xiàn)，以下說(shuō)法正確的是（

）A．直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn) B．時(shí)，直線(xiàn)l過(guò)第二，三，四象限C．時(shí)，直線(xiàn)l不過(guò)第一象限 D．原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的最大值為1ABD【分析】由確定定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)a的符號(hào)判斷直線(xiàn)所過(guò)的象限，根據(jù)時(shí)原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的最大求最大距離.【詳解】由過(guò)定點(diǎn)，A正確；當(dāng)，過(guò)定點(diǎn)，斜率為負(fù)，故過(guò)第二、三、四象限，B正確；當(dāng)，過(guò)定點(diǎn)，且斜率為正，過(guò)一、二、三象限，故C錯(cuò)誤；要使原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的最大，只需，即距離等于，D正確.故選：ABD11．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，弦AB的中點(diǎn)為P，曲線(xiàn)D為點(diǎn)P組成的集合，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A．的最小值為2 B．可能為等腰直角三角形C．曲線(xiàn)D的方程為 D．曲線(xiàn)D與圓O沒(méi)有公共點(diǎn)BCD【分析】由題意求的軌跡方程，再由圓的性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，【詳解】由題意得，設(shè)，則，即曲線(xiàn)D的方程為，故C正確，對(duì)于A(yíng)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，為等腰直角三角形，故B正確，對(duì)于D，曲線(xiàn)D的圓心，半徑，則，兩圓無(wú)公共點(diǎn)，故D正確，故選：BCD12．如圖，在四棱錐的平面展開(kāi)圖中，四邊形為直角梯形，，，．在四棱錐中，以下結(jié)論正確的是（

）A．平面平面B．C．三棱錐的外接球表面積為D．平面與平面所成的銳二面角的余弦值為ABD【分析】由平面圖還原立體圖，由面面的垂直的判定定理判斷選項(xiàng)A，根據(jù)勾股定理計(jì)算判斷選項(xiàng)B，先計(jì)算底面三角形外接圓的半徑，再由勾股定理計(jì)算外接球半徑，代入球的面積公式計(jì)算即可判斷選項(xiàng)C，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)，計(jì)算平面的法向量，利用空間向量夾角計(jì)算公式求解判斷選項(xiàng)D.【詳解】由四棱錐的平面展開(kāi)圖還原立體圖，可得平面，，，又平面，所以，，在直角梯形中，，，所以，即，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；因?yàn)?，，所以，故B正確；由題意，的外接圓半徑為，所以三棱錐的外接球半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，故C錯(cuò)誤；由題意，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)?，，，平面，所以平面，所以平面的法向量為，又，，設(shè)平面的法向量為，則，得，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，故D正確.故選：ABD三、填空題13．直線(xiàn)的橫截距與縱截距的和為_(kāi)_____．##1.5【分析】根據(jù)直線(xiàn)方程直接求解橫縱截距，即可得橫截距與縱截距的和.【詳解】解：直線(xiàn)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則橫截距與縱截距的和為.故答案為.14．已知大小為的二面角的一個(gè)面內(nèi)有一點(diǎn)，它到二面角棱的距離為2，則這個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)面的距離為_(kāi)_____．【分析】首先根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，結(jié)合直角三角形即可求解.【詳解】如下圖，依據(jù)題意，設(shè)內(nèi)有一點(diǎn)C，過(guò)C作棱的垂線(xiàn)，垂足B，與的夾角即為二面角，即.又因?yàn)?，在中，，則有，解得.即這個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離為.故15．點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，直線(xiàn)分別與x軸，y軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，面積的最大值為_(kāi)_____．6【分析】先求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為圓心到直線(xiàn)的距離加半徑來(lái)求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，因此,由于長(zhǎng)度為定值，故面積的最大值時(shí)即為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大，而圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為圓心到直線(xiàn)的距離加半徑，又因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離為，又因?yàn)榘霃綖?，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大值為，因此面積的最大值為，故6.四、雙空題16．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A，M，N確定的平面為，當(dāng)點(diǎn)N為的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體的截面的面積為_(kāi)_____．點(diǎn)到平面的距離的最小值為_(kāi)_____．

##

【分析】當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，畫(huà)出截面，根據(jù)梯形面積公式求得截面面積.當(dāng)是棱上任意一點(diǎn)時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得到平面的距離的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值.【詳解】（1）當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，連接，由于，所以四點(diǎn)共面，所以平面即平面，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，四邊形是等腰梯形，，所以等腰梯形的高為，所以截面面積為.（2）當(dāng)是棱上任意一點(diǎn)時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，，所以到平面的距離為，，所以當(dāng)，時(shí)，到平面的距離取得最小值為.故；五、解答題17．已知向量，，且．(1)求c的值；(2)若與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值．(1)(2)【分析】（1）求出，根據(jù)向量模長(zhǎng)公式列出方程，求出；（2）分與兩種情況，根據(jù)向量垂直列出方程，求出實(shí)數(shù)k的值.【詳解】（1），所以，解得：；（2）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)榕c互相垂直，所以，解得：，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榕c互相垂直，所以，解得：，綜上.18．已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角是直線(xiàn)傾斜角的倍．(1)求直線(xiàn)的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)R在直線(xiàn)上，若三角形PQR的面積為，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．(1)(2)，或【分析】（1）求出直線(xiàn)的斜率、傾斜角可得，直線(xiàn)的傾斜角、斜率，再由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得答案；（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)可得，再求出，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離利用三角形的面積為，求出可得答案.【詳解】（1）因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以?xún)A斜角為，所以直線(xiàn)的傾斜角為，斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，即；（2）由解得，設(shè)，所以，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以三角形的面積為，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即點(diǎn)，或.19．已知圓，圓C過(guò)點(diǎn)且與圓O相切于點(diǎn)．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P是圓C上異于點(diǎn)N的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓O的兩條切線(xiàn)，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PAOB面積的最大值．(1)(2)【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)半徑相等列出方程，再由圓C與圓O相切，切點(diǎn)為，得到切點(diǎn)在直線(xiàn)上，求出直線(xiàn)方程，得到代入，得到方程，從而求出圓心和半徑，得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）通過(guò)分析得到當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，直角邊AP的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，此時(shí)四邊形PAOB面積取得最大值，作出輔助線(xiàn)，求出最長(zhǎng)為，進(jìn)而求出最大值，求出四邊形PAOB面積的最大值.【詳解】（1）設(shè)圓C的圓心為，由題意得：，化簡(jiǎn)得，因?yàn)閳AC與圓O相切，切點(diǎn)為，所以切點(diǎn)在直線(xiàn)上，直線(xiàn)為，將代入中，得，聯(lián)立與可得：，圓心為，故半徑為，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）四邊形PAOB面積可看作兩個(gè)全等的直角三角形PAO面積與POB面積之和，直角三角形PAO中直角邊AO長(zhǎng)度為，故只需另一條直角邊AP的長(zhǎng)度最長(zhǎng)即可，由勾股定理可知只需最長(zhǎng)即可，顯然連接并延長(zhǎng)，交圓C于點(diǎn)，此時(shí)最長(zhǎng)，為，此時(shí)最長(zhǎng)，為四邊形PAOB面積的最大值為.20．在三棱錐中，為等邊三角形，平面ABC，將三角形PAC繞PA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PAD位置（如圖），且二面角的大小為90°．(1)證明：A，B，C，D四點(diǎn)共面，且；(2)若，設(shè)G為PC的中點(diǎn)，求PB與平面ABG所成角的正弦值．(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）利用反證法，假設(shè)四點(diǎn)不共面，進(jìn)而證明假設(shè)不成立；再通過(guò)證明平面，可通過(guò)線(xiàn)面垂直證明得到線(xiàn)線(xiàn)垂直.（2）利用向量法，直接計(jì)算線(xiàn)面角的正弦值即可.【詳解】（1）證明：平面，且平面，平面，，，，又，平面，假設(shè)四點(diǎn)不共面，平面，平面，平面平面，與平面平面矛盾，故四點(diǎn)共面；又因?yàn)?，所以為二面角的平面角，，即，又，且，平面，又平面，?）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；，得，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，21．在邊長(zhǎng)為a的正方體上選擇四個(gè)頂點(diǎn)，然后將它們兩兩相連，且這四個(gè)頂點(diǎn)組成的幾何圖形為每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，記為四面體．(1)請(qǐng)?jiān)诮o出的正方體中畫(huà)出該四面體，并證明；(2)設(shè)的中心為O，關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)的四面體記為，求與的公共部分的體積．（注：到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)稱(chēng)為四面體的中心）(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析式，證明詳見(jiàn)解析（答案不唯一）(2)【分析】（1）根據(jù)正四面體、正方體的知識(shí)畫(huà)圖圖象，并進(jìn)行證明.（2）畫(huà)出與的公共部分，根據(jù)錐體體積公式求得正確答案.【詳解】（1）正方體的邊長(zhǎng)為，面對(duì)角線(xiàn)的邊長(zhǎng)為，每個(gè)面都是等邊三角形的四面體是正四面體，如圖所示四面體，它的每條棱長(zhǎng)都是，每個(gè)面都是等邊三角形，即四面體是正四面體.（2）依題意可知是正方體的中心，由（1）得對(duì)應(yīng)正四面體，則對(duì)應(yīng)正四面體，與的公共部分是正方體六個(gè)面的中心為頂點(diǎn)所得的正八面體，其棱長(zhǎng)為，所以體積為.22．已知曲線(xiàn)C是到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)組成的集合．(1)求曲線(xiàn)C的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l與C交于M，N兩點(diǎn)；問(wèn)在x軸上是否存在定