2022-2023學(xué)年廣東省鶴山市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省鶴山市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．A【分析】利用一般式下兩直線垂直的充要條件“”即可求解【詳解】由．故選：A．2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為N，已知點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．A先求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為N，所有點(diǎn)故選：A本題考查空間中點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系及兩點(diǎn)間的距離，屬于基礎(chǔ)題.3．設(shè)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．或D【分析】如圖，求出可得斜率的取值范圍.【詳解】由題設(shè)可得，因?yàn)橹本€與線段相交，則或，故選：D.4．如圖．空間四邊形中，，點(diǎn)M在上，且滿足，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．D【分析】由空間四邊形各棱的位置關(guān)系，結(jié)合空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義，用表示即可得結(jié)果.【詳解】由題圖，，而，，，所以.故選：D5．已知直線與圓相離，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．D【分析】由圓心到直線的距離大于半徑即可求解.【詳解】由，得，∵直線與圓相離，∴解得．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故選:D．6．如圖，下列正方體中，O為下底面的中心，M，N為正方體的頂點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線的是（

）A． B．C． D．B【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，再對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理作答.【詳解】在正方體中，對(duì)各選項(xiàng)建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，令正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，對(duì)于A，，，，與不垂直，A不是；對(duì)于B，，，，，B是；對(duì)于C，，，，與不垂直，C不是；對(duì)于D，，，，與不垂直，D不是.故選：B7．已知圓與圓的公共弦所在直線恒過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．D【分析】求出兩圓的公共弦方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出，再利用基本不等式可求得的取值范圍.【詳解】將圓與圓的方程相減得公共弦所在直線的方程為，即，由，得，即點(diǎn)，因此，，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的取值范圍是.故選：D.方法點(diǎn)睛：當(dāng)兩圓相交時(shí)，把兩圓方程（、項(xiàng)系數(shù)相同）相減便可得兩圓公共弦所在直線的方程.8．已知橢圓，P是橢圓C上的點(diǎn)，是橢圓C的左右焦點(diǎn)，若恒成立，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．A【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)后將用坐標(biāo)表示，結(jié)合在橢圓上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，二者聯(lián)立后化簡(jiǎn)即可得出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，在橢圓上，，，兩邊都乘以化簡(jiǎn)后得：，，，又因?yàn)闄E圓離心率，.故選：A.橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、多選題9．已知向量，，，則（

）A． B．C． D．BCD【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算一一計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，故C正確；因?yàn)?，，所以，所以，故D正確.故選：BCD10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程表示B．方程表示的直線斜率一定存在C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為D．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為BD【分析】根據(jù)直線方程、傾斜角、斜率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)中直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，但不能用表示，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，方程表示的直線斜率為，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)中若則直線斜率不存在，直線不能用點(diǎn)斜式表示，故C錯(cuò).D選項(xiàng)，結(jié)合直線方程兩點(diǎn)式可知，D選項(xiàng)正確.故選：BD11．已知,.則下列說(shuō)法中,正確的有（

）A．若在內(nèi),則B．當(dāng)時(shí),與共有兩條公切線C．若與存在公共弦,則公共弦所在直線過(guò)定點(diǎn)D．,使得與公共弦的斜率為BC【分析】關(guān)于選項(xiàng)A,將代入小于0即可,關(guān)于選項(xiàng)B,將代入兩圓的方程,判斷兩圓的位置關(guān)系,進(jìn)而判斷切線的個(gè)數(shù),關(guān)于選項(xiàng)C,存在公共弦,兩圓方程相減即可得到公共弦所在直線方程,即可判斷定點(diǎn)位置是否在直線上,關(guān)于選項(xiàng)D,由選項(xiàng)C,得到公共弦所在直線方程,判斷斜率是否為即可.【詳解】解:由題知,,關(guān)于選項(xiàng)A,將代入可知,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;關(guān)于選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),,,,與相交,,故與共有兩條公切線,故選項(xiàng)B正確;關(guān)于選項(xiàng)C,將兩圓的一般方程相減即可得公共弦所在直線方程:,將代入直線有:成立,故選項(xiàng)C正確;關(guān)于選項(xiàng)D,由選項(xiàng)C知,公共弦所在直線方程為,若直線方程的斜率為,則斜率存在,則有,解得,故不存在m使其斜率等于,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:BC12．已知正方體的邊長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．與所成角的余弦值為 D．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間夾角公式、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，所以，由平面，得，即，化簡(jiǎn)可得：，所以動(dòng)點(diǎn)P在直線上，對(duì)于選項(xiàng)A：，所以與不垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：平面平面，所以平面，B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D：動(dòng)點(diǎn)P在直線上，且P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，則P在線段上，，所以，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.三、填空題13．過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為_(kāi)__________.或.【分析】根據(jù)切線斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時(shí)設(shè)直線方程，由圓心到切線距離等于半徑求解．【詳解】已知圓圓心坐標(biāo)為，半徑為，易知直線是圓的切線，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，由，解得，切線方程為，即．故答案為或．14．直三棱柱中，，，，，則與所成的角的余弦值為_(kāi)__________.##【分析】分別以為建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求異面直線所成的角．【詳解】分別以為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，，，，因?yàn)?，，所以分別是的中點(diǎn)，所以，，，，所以與所成的角的余弦值為．故．15．已知圓，直線，，則直線截圓所得弦長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_________.【分析】求出直線所過(guò)定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)，數(shù)形結(jié)合知直線截圓所得弦長(zhǎng)最小時(shí)，弦心距最大，此時(shí)，利用斜率求出參數(shù)m，即可由勾股定理求出此時(shí)的弦長(zhǎng).【詳解】直線l可化為，令，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)，易知點(diǎn)A在圓C內(nèi)，所以直線截圓所得弦長(zhǎng)最小時(shí)，弦心距最大，此時(shí)，圓，圓心，半徑為5，，又，則，解得，，直線截圓所得弦長(zhǎng)的最小值為.故本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、求直線截圓所得弦長(zhǎng)，屬于中檔題.16．已知乃是橢圓的兩焦點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，從引外角平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)__________.【分析】根據(jù)題意，尋找點(diǎn)使得的中垂線為，進(jìn)而得到，利用三角形中位線定理，結(jié)合橢圓定義可得，進(jìn)而得到點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槭峭饨瞧椒志€，且，所以中，且為中點(diǎn)，因?yàn)闉闄E圓上一點(diǎn)，則，在中為的中點(diǎn)所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題為橢圓定義的綜合應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)在于尋找中垂線，轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用中位線定理使得點(diǎn)的軌跡能和橢圓的定義聯(lián)系起來(lái)，對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)，創(chuàng)新能力要求較高，屬于難題.四、解答題17．已知的頂點(diǎn).(1)求邊上的中線所在直線的方程；(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距和軸上的截距相等的直線的方程.(1)(2)或【分析】（1）先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段的中點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)式即可求出所求；（2）分類討論截距是否為0的情況，再利用截距式即可求得所求.【詳解】（1）線段的中點(diǎn)為，則中線所在直線方程為：，即.（2）設(shè)兩坐標(biāo)軸上的截距為，若，則直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，斜率，直線方程為，即；若，則設(shè)直線方程為，即，把點(diǎn)代入得，即，直線方程為；綜上，所求直線方程為或.18．已知空間中三點(diǎn)，設(shè)，．(1)若，且，求向量；(2)求向量與向量的夾角的余弦值．(1)或；(2)【分析】（1）根據(jù)向量的模和向量共線的坐標(biāo)表示，求解即可；（2）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式即可得出．【詳解】（1）根據(jù)題意，，因?yàn)?，則，又，則，則，則或；（2）因?yàn)?，所以?9．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(1)詳見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）利用線面平行的判定定理即得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的距離公式求解.【詳解】（1）由題可知，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，，直線到平面的距離為.20．已知圓M過(guò)C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點(diǎn)，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值.（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)圓的方程為：，由已知列出方程組，解之可得圓的方程；（2）由已知得四邊形的面積為，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案.【詳解】解：（1）設(shè)圓的方程為：，根據(jù)題意得，故所求圓M的方程為：；（2）如圖，四邊形的面積為，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離所以，四邊形面積的最小值為.21．已知三棱柱中，.(1)求證:平面平面.(2)若，在線段上是否存在一點(diǎn)使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.(1)證明見(jiàn)解析；(2)在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn).【分析】(1)連接，根據(jù)給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內(nèi)過(guò)C作，再以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算判斷作答.【詳解】（1）在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖，則有，因，，平面，于是得平面，而平面，則，由得，，平面，從而得平面，又平面，所以平面平面.（2）在平面內(nèi)過(guò)C作，由(1)知平面平面，平面平面，則平面，以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因，，則，假設(shè)在線段上存在符合要求的點(diǎn)P，設(shè)其坐標(biāo)為，則有，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令得，而平面的一個(gè)法向量，依題意，，化簡(jiǎn)整理得：而，解得，所以在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn)，使平面和平面所成角的余弦值為.22．已知直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的射影分別為點(diǎn).若，其中為原點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為離心率.(1)求橢圓的方程；(2)連接，試探索當(dāng)變化時(shí)，直線是否相交于一定點(diǎn).若交于定點(diǎn)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說(shuō)明理由.(1)(2)是，定點(diǎn)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)可得的值，再利用離心率結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可得到橢圓方程；（2）利用當(dāng)時(shí)猜想定點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，聯(lián)立橢圓方程和，利用韋達(dá)定理證明三點(diǎn)共線和三點(diǎn)共線即可.【詳解】（1）橢圓的方程為，過(guò)定點(diǎn)，