2022-2023學(xué)年海南省瓊山中學(xué)高二年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年海南省瓊山中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若直線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．C【分析】由兩直線垂直可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，解得.故選：C.2．已知為兩兩垂直的單位向量，則（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意知：，，，.故選：B.3．已知方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式即可.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，所以，解得.故選：D4．已知平行六面體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．C【分析】由空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】.故選：C.5．我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，有著十分豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這5部專著中3部產(chǎn)生于漢、魏晉、南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著均是漢、魏晉、南北朝時(shí)期專著的概率為（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算即可【詳解】解：從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件總數(shù)，設(shè)A={所選2部專著均是漢、魏晉、南北朝時(shí)期專著}則∴故選：A．6．已知空間向量，，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（

）A． B． C． D．B【分析】利用向量夾角余弦公式可求得，由同角三角函數(shù)關(guān)系得到，代入面積公式中即可求得結(jié)果.【詳解】，又，，以為鄰邊的平行四邊形的面積.故選：B.7．生活中的建筑模型多與立體幾何中的圖形有關(guān)聯(lián)，既呈現(xiàn)對稱美，也具有穩(wěn)定性.已知某涼亭的頂部可視為如圖所示的正四棱錐，其所有棱長都為6，且交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段上，且，則的重心G到直線的距離為（

）A． B． C． D．B【分析】首先以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.【詳解】以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)樗欣忾L都為6，所以，，所以，，，，，因?yàn)闉榈闹匦模?設(shè)，，，因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，，則G到直線的距離.故選：B8．已知直線過點(diǎn)且與軸?軸分別交于兩點(diǎn)，則當(dāng)最小時(shí)，直線的斜率為（

）A． B． C． D．A【分析】設(shè)，可分別求得坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式可將表示為，利用基本不等式可得最小值，由取等條件可得結(jié)果.【詳解】由題意知：直線斜率存在且不為，可設(shè)，令，解得：，即；令，解得：，即；，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），即當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：A.二、多選題9．最近幾個(gè)月，新冠肺炎疫情又出現(xiàn)反復(fù)，各學(xué)校均加強(qiáng)了疫情防控要求，學(xué)生在進(jìn)校時(shí)必須走測溫通道，每天早中晚都要進(jìn)行體溫檢測并將結(jié)果上報(bào)主管部門.某班級體溫檢測員對一周內(nèi)甲、乙兩名同學(xué)的體溫進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．甲同學(xué)體溫的極差為B．甲同學(xué)體溫的第75百分位數(shù)為C．乙同學(xué)體溫的眾數(shù)，中位數(shù)、平均數(shù)相等D．乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定ACD【分析】由折線圖計(jì)算甲同學(xué)體溫的極差，判斷A；將甲同學(xué)的體溫從小到大排成一列可計(jì)算出第75百分位數(shù)，判斷B;將乙同學(xué)體溫從小到大排成一列，計(jì)算出眾數(shù)，中位數(shù)、平均數(shù)，判斷C;比較甲乙兩人的體溫波動(dòng)情況，可判斷D.【詳解】觀察折線圖知甲同學(xué)體溫的極差為，A正確；將甲同學(xué)的體溫從小到大排成一列：，因?yàn)椋约淄瑢W(xué)體溫的第75百分位數(shù)為，B錯(cuò)誤；乙同學(xué)體溫從小到大排成一列：，乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，C正確；乙同學(xué)的體溫波動(dòng)較甲同學(xué)的小，極差為，也比甲同學(xué)的小，因此乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，D正確.故選：10．已知空間向量，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．與方向相同的單位向量為BC【分析】由向量模長、數(shù)量積運(yùn)算、垂直關(guān)系的向量表示和方向相同的單位向量的求法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，，，，A錯(cuò)誤；對于B，，B正確；對于C，，，解得：，C正確；對于D，，D錯(cuò)誤.故選：BC.11．袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則（

）A．“至少有一個(gè)白球”與“至少有一個(gè)黑球”是互斥事件B．“都是白球”與“都是黑球”是互斥事件C．“至少有一個(gè)白球”與“都是黑球”是對立事件D．“第一次摸到的是白球”與“第二次摸到的是黑球”相互獨(dú)立BC【分析】根據(jù)互斥，對立事件與相互獨(dú)立事件的定義逐個(gè)判斷即可【詳解】對A，“至少有一個(gè)白球”與“至少有一個(gè)黑球”均包含“一個(gè)白球一個(gè)黑球”的情況，故A錯(cuò)誤；對B，“都是白球”與“都是黑球”不能同時(shí)發(fā)生，且不是對立事件，故為互斥事件，故B正確；對C，“至少有一個(gè)白球”與“都是黑球”是對立事件，故C正確；對D，事件“第一次摸到的是白球”的概率，事件“第二次摸到的是黑球”的概率，又，因?yàn)椋省暗谝淮蚊降氖前浊颉迸c“第二次摸到的是黑球”不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤；故選：BC12．如圖，在四棱錐中，點(diǎn)在平面的投影為，底面為矩形，，，若為線段的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值不可能為（

）A． B． C． D．CD【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由線面角的向量求法，結(jié)合基本不等式可求得所求線面角正弦值的最大值為，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意知：平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，解得：，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），即直線與平面所成角的正弦值的最大值為，則直線與平面所成角的正弦值不可能為和.故選：CD.三、填空題13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ABO的外接圓的方程是__________.(x-1)2+(y-2)2=5【分析】由題意可知：，所以為直角三角形，其外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，半徑為斜邊長度的一半，進(jìn)而求解.【詳解】由題意可知:,故為直角三角形,的外接圓的圓心為的中點(diǎn)，半徑為,所以外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,故答案為:.14．若空間向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為___________.【分析】根據(jù)投影向量定義直接求解即可.【詳解】，，在上的投影向量為.故答案為.15．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為___________.##【分析】先求得向量，再利用公式即可求得點(diǎn)到平面的距離【詳解】由，，可得又點(diǎn)在平面內(nèi)，為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離故16．已知點(diǎn)，直線，若直線l與線段有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________.【分析】首先求出直線恒過定點(diǎn)，表示出直線的斜率，再結(jié)合圖形即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】∵，即，令，則，即直線過定點(diǎn)，且斜率，則，根據(jù)題意結(jié)合圖形可得或，即或.故答案為.四、解答題17．已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn).(1)若M為的中點(diǎn)，求直線的斜率；(2)求點(diǎn)C到直線的距離.(1)(2)【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，再由斜率公式即可求解；（2）由點(diǎn)斜式求出直線的方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解即可【詳解】（1）因?yàn)镸為的中點(diǎn)，且，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，又，所以直線的斜率為；（2）因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的方程為，即，所以點(diǎn)C到直線的距離為18．如圖所示，長方體中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段上，且.(1)求證：(2)求直線所成角的余弦值.(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為證明即可；（2）由線線角的向量公式求解即可.【詳解】（1）由長方體，故直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，故，，，即.（2）由（1），，故，不妨記直線所成角為，則,故直線所成角的余弦值是.19．某種產(chǎn)品的質(zhì)量按照其質(zhì)量指標(biāo)值M進(jìn)行等級劃分，具體如下表：質(zhì)量指標(biāo)值M等級三等品二等品一等品現(xiàn)從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100件作為樣本，對其質(zhì)量指標(biāo)值M進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）記A表示事件“一件這種產(chǎn)品為二等品或一等品”，試估計(jì)事件A的概率；（2）已知該企業(yè)的這種產(chǎn)品每件一等品、二等品、三等品的利潤分別為10元、6元、2元，試估計(jì)該企業(yè)銷售10000件該產(chǎn)品的利潤；（3）根據(jù)該產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值M的頻率分布直方圖，求質(zhì)量指標(biāo)值M的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）（1）0.84；（2）61200元；（3）.【分析】（1）記B表示事件“一件這種產(chǎn)品為二等品”，C表示事件“一件這種產(chǎn)品為一等品”，則事件B，C互斥，且由頻率分布直方圖估計(jì),用公式估計(jì)出事件A的概率；（2）由（1）可以求出任取一件產(chǎn)品是一等品、二等品的概率估計(jì)值，任取一件產(chǎn)品是三等品的概率估計(jì)值，這樣可以求出10000件產(chǎn)品估計(jì)有一等品、二等品、三等品的數(shù)量，最后估計(jì)出利潤；（3）求出質(zhì)量指標(biāo)值的頻率和質(zhì)量指標(biāo)值的頻率，這樣可以求出質(zhì)量指標(biāo)值M的中位數(shù)估計(jì)值.【詳解】解：（1）記B表示事件“一件這種產(chǎn)品為二等品”，C表示事件“一件這種產(chǎn)品為一等品”，則事件B，C互斥，且由頻率分布直方圖估計(jì)，，又，故事件A0.84..0.84..（2）由（1）知，任取一件產(chǎn)品是一等品、二等品的概率估計(jì)值分別為0.19，065，故任取一件產(chǎn)品是三等品的概率估計(jì)值為0.16，從而10000件產(chǎn)品估計(jì)有一等品、二等品、三等品分別為1900，6500，1600件，故利潤估計(jì)為元（3）因?yàn)樵诋a(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值M的頻率分布直方圖中，質(zhì)量指標(biāo)值的頻率為，質(zhì)量指標(biāo)值的頻率為，故質(zhì)量指標(biāo)值M的中位數(shù)估計(jì)值為.本題考查了頻率直方圖的應(yīng)用，考查了互斥事件的概率、和事件概率的求法，考查了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.20．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求A；(2)設(shè)向量，，求的最小值．(1)(2)【分析】（1）由已知利用正弦定理得，化簡再利用余弦定理即可得出；（2）由已知得，又，結(jié)合三角恒等變換得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】（1）由正弦定理，得，∴，即，由余弦定理得，∵，∴；（2）∵，又，∴，∵，∴，∴當(dāng)，即，時(shí)，取最小值．21．如圖，在道路邊安裝路燈，路面OD寬12m，燈柱OB高14m，燈桿AB與地面所成角為30°．路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線AC與燈桿AB垂直，軸線AC，燈桿AB都在燈柱OB和路面寬線OD確定的平面內(nèi)．（1）當(dāng)燈桿AB長度為多少時(shí)，燈罩軸線AC正好通過路面OD的中線？（2）如果燈罩軸線AC正好通過路面OD的中線，此時(shí)有一高2.5m的警示牌直立在C處，求警示牌在該路燈燈光下的影子長度．（1）當(dāng)燈桿AB長度為2m時(shí)，燈罩軸線AC正好通過路面OD的中線；（2）m.（1）分別以圖中OD、OB所在直線為x、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線和方程后可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得；（2）設(shè)警示牌為CM，由的大小得點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線方程，求得它與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，得影子長．【詳解】解：（1）分別以圖中OD、OB所在直線為x、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，燈桿AB與地面所成角為30°，B（0，14），AB方程為：y＝x+14，…①因?yàn)闊粽志€AC與燈桿AB垂直，可設(shè)的斜率為，則＝，又C（6，0），所以直線AC的方程為：y＝（x﹣6），…②由①②組成方程組，求得點(diǎn)A（，15）；所以|AB|＝＝2，即當(dāng)燈桿AB長度為2m時(shí)，燈罩軸線AC正好通過路面OD的中線；（2）設(shè)警示牌為CM，且CM⊥OD，則M（6，），A（，15），所以直線AM的方程為：y﹣15＝（x﹣），令yN＝0，解得xN＝7，所以CN＝7﹣6＝.所以警示牌在該路燈燈光下的影子長度為m．本題考查直線方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線方程，由直線方程得交點(diǎn)坐標(biāo)，得線段長．22．如圖所示，在直三棱柱中，，四邊形均為正方形，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)若，求平面與平面所成角的余弦值.(2)探究：在線段（不含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存