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文檔簡介
【新教材】5.2.2同角三角函數(shù)的基本關系(人教A版)1.理解并掌握同角三角函數(shù)基本關系式的推導及應用.2.會利用同角三角函數(shù)的基本關系式進行化簡、求值與恒等式證明.1.數(shù)學抽象:理解同角三角函數(shù)基本關系式;2.邏輯推理:“sinα±cosα”同“sinαcosα”間的關系;3.數(shù)學運算:利用同角三角函數(shù)的基本關系式進行化簡、求值與恒等式證明.重點:理解并掌握同角三角函數(shù)基本關系式的推導及應用;難點:會利用同角三角函數(shù)的基本關系式進行化簡、求值與恒等式證明.預習導入閱讀課本182-183頁,填寫。1.同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系:sin2α+cos2α=________.商數(shù)關系:eq\f(sinα,cosα)=________eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ+\f(π,2),k∈Z)).(2)語言敘述:同一個角α的正弦、余弦的________等于1,________等于角α的正切.思考:“同角”一詞的含義是什么?[提示]一是“角相同”,如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是對任意一個角(在使得函數(shù)有意義的前提下),關系式都成立,即與角的表達式形式無關,如sin215°+cos215°=1,sin2eq\f(π,19)+cos2eq\f(π,19)=1等.1.判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”.)(1)對任意角α,sin23α+cos23α=1都成立.()(2)對任意角α,eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))=taneq\f(α,2)都成立.()(3)若sinα=eq\f(1,2),則cosα=eq\f(\r(3),2).()2.化簡eq\r(,1-sin2\f(π,5))的結(jié)果是()A.coseq\f(π,5)B.-coseq\f(π,5)C.sineq\f(π,5)D.-sineq\f(π,5)3.若sinα=eq\f(4,5),且α是第二象限角,則tanα的值等于()A.-eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C.±eq\f(3,4)D.±eq\f(4,3)4.已知tanα=2,則eq\f(cosα-5sinα,3cosα+sinα)=________.題型一應用同角三角函數(shù)關系求值例1(1)若,求cosα,tanα的值;(2)已知cosα=-eq\f(8,17),求sinα,tanα的值.跟蹤訓練一1.已知sinα+3cosα=0,求sinα,cosα的值.題型二三角函數(shù)式的化簡、求值例2(1)化簡:eq\f(\r(1-2sin130°cos130°),sin130°+\r(1-sin2130°));(2)若角α是第二象限角,化簡:tanαeq\r(\f(1,sin2α)-1).跟蹤訓練二1.化簡:(1)eq\f(cos36°-\r(1-cos236°),\r(1-2sin36°cos36°));(2)eq\f(sinθ-cosθ,tanθ-1).題型三三角函數(shù)式的證明例3求證:.跟蹤訓練三1.求證:eq\f(1+2sinxcosx,cos2x-sin2x)=eq\f(1+tanx,1-tanx).題型四“sinα±cosα”同“sinαcosα”間的關系例4已知sinα+cosα=eq\f(1,5),且0<α<π.求:(1)sinαcosα的值;(2)求sinα-cosα的值.跟蹤訓練四1.已知sinα+cosα=eq\f(7,13),α∈(0,π),則tanα=.2.已知eq\f(sinα+cosα,sinα-cosα)=2,計算下列各式的值:(1)eq\f(3sinα-cosα,2sinα+3cosα);(2)sin2α-2sinαcosα+1.1.下列各式中成立的是()A.sin2α+cos2β=1 B.tanα=eq\f(sinα,cosα)(α任意)C.cos2eq\f(α,2)=1-sin2eq\f(α,2) D.sinα=eq\r(,1-cos2α)2.已知α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2),\f(5π,2))),cosα=eq\f(4,5),則tanα=()A.±eq\f(3,4) B.eq\f(3,4)C.-eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)3.已知tanα=-eq\f(1,2),則eq\f(2sinαcosα,sin2α-cos2α)的值是.4.已知sinα+cosα=eq\f(1,2),則sinαcosα=________.5.已知tanα=eq\f(4,3),且α是第三象限的角,求sinα,cosα的值.6.(1)化簡eq\r(sin2α-sin4α),其中α是第二象限角;(2)求證:1+tan2α=eq\f(1,cos2α).答案小試牛刀1.(1)√(2)×(3)×.2.A3.A4.-eq\f(9,5).自主探究例1【答案】(1)當α是第三象限角時,cosα=-eq\f(4,5),tanα=.α是第四象限角時,cosα=eq\f(4,5),tanα=-(2)如果α是第二象限角,那么sinα=eq\f(15,17),tanα=-eq\f(15,8).如果α是第三象限角,sinα=-eq\f(15,17),tanα=eq\f(15,8).【解析】(1)∵sinα=-eq\f(3,5),α是第三、第四象限角,當α是第三象限角時,cosα=-eq\r(1-sin2α)=-eq\f(4,5),tanα=eq\f(sinα,cosα)=.α是第四象限角時,cosα=eq\r(1-sin2α)=eq\f(4,5),tanα=eq\f(sinα,cosα)=-(2)∵cosα=-eq\f(8,17)<0,∴α是第二或第三象限的角.如果α是第二象限角,那么sinα=eq\r(1-cos2α)=eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(8,17)))\s\up12(2))=eq\f(15,17),tanα=eq\f(sinα,cosα)=eq\f(\f(15,17),-\f(8,17))=-eq\f(15,8).如果α是第三象限角,同理可得sinα=-eq\r(1-cos2α)=-eq\f(15,17),tanα=eq\f(15,8).跟蹤訓練一1.【答案】角α的終邊在第二象限時,cosα=-eq\f(\r(10),10),sinα=eq\f(3,10)eq\r(10);當角α的終邊在第四象限時,cosα=eq\f(\r(10),10),sinα=-eq\f(3,10)eq\r(10).【解析】∵sinα+3cosα=0,∴sinα=-3cosα.又sin2α+cos2α=1,∴(-3cosα)2+cos2α=1,即10cos2α=1,∴cosα=±eq\f(\r(10),10).又由sinα=-3cosα,可知sinα與cosα異號,∴角α的終邊在第二或第四象限.當角α的終邊在第二象限時,cosα=-eq\f(\r(10),10),sinα=eq\f(3,10)eq\r(10);當角α的終邊在第四象限時,cosα=eq\f(\r(10),10),sinα=-eq\f(3,10)eq\r(10).例2【答案】(1)1;(2)-1.【解析】(1)原式=eq\f(\r(sin2130°-2sin130°cos130°+cos2130°),sin130°+\r(cos2130°))=eq\f(|sin130°-cos130°|,sin130°+|cos130°|)=eq\f(sin130°-cos130°,sin130°-cos130°)=1.(2)原式=tanαeq\r(\f(1-sin2α,sin2α))=tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))=eq\f(sinα,cosα)×eq\f(|cosα|,|sinα|),因為α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,所以原式=eq\f(sinα,cosα)×eq\f(|cosα|,|sinα|)=eq\f(sinα,cosα)×eq\f(-cosα,sinα)=-1.跟蹤訓練二1.【答案】(1)1;(2)cosθ.【解析】(1)原式=eq\f(cos36°-\r(sin236°),\r(sin236°+cos236°-2sin36°cos36°))=eq\f(cos36°-sin36°,\r(cos36°-sin36°2))=eq\f(cos36°-sin36°,|cos36°-sin36°|)=eq\f(cos36°-sin36°,cos36°-sin36°)=1.(2)原式=eq\f(sinθ-cosθ,\f(sinθ,cosθ)-1)=eq\f(cosθsinθ-cosθ,sinθ-cosθ)=cosθ.例3【答案】見解析【解析】跟蹤訓練三1.【答案】見解析【解析】證明:右邊=eq\f(1+\f(sinx,cosx),1-\f(sinx,cosx))=eq\f(cosx+sinx,cosx-sinx)=eq\f(cosx+sinx2,cosx-sinxcosx+sinx)=eq\f(1+2sinxcosx,cos2x-sin2x)=左邊,∴原等式成立.例4【答案】(1)-eq\f(12,25);(2)eq\f(7,5).【解析】證明:(1)∵sinα+cosα=eq\f(1,5),∴(sinα+cosα)2=eq\f(1,25),∴1+2sinαcosα=eq\f(1,25),即sinαcosα=-eq\f(12,25).(2)∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+eq\f(24,25)=eq\f(49,25).又∵0<α<π,且sinαcosα<0,∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0,∴sinα-cosα=eq\f(7,5).跟蹤訓練四1、【答案】-eq\f(12,5).【解析】法一:(構(gòu)建方程組)因為sinα+cosα=eq\f(7,13),①所以sin2α+cos2α+2sinαcosα=eq\f(49,169),即2sinαcosα=-eq\f(120,169).因為α∈(0,π),所以sinα>0,cosα<0.所以sinα-cosα=eq\r((sinα-cosα)2)=eq\r(1-2sinαcosα)=eq\f(17,13).②由①②解得sinα=eq\f(12,13),cosα=-eq\f(5,13),所以tanα=eq\f(sinα,cosα)=-eq\f(12,5).法二:(弦化切)同法一求出sinαcosα=-eq\f(60,169),eq\f(sinαcosα,sin2α+cos2α)=-eq\f(60,169),eq\f(tanα,tan2α+1)=-eq\f(60,169),整理得60tan2α+169tanα+60=0,解得tanα=-eq\f(5,12)或tanα=-eq\f(12,5).由sinα+cosα=eq\f(7,13)>0知|sinα|>|cosα|,故tanα=-eq\f(12,5).2.【答案】(1)eq\f(8,9);(2)eq\f(13,10).【解析】由eq\f(sinα+cosα,sinα-cosα)=2,化簡得sinα=3cosα,所以tanα=3.(1)法一(換元)原式=eq\f(3×3cosα-cosα,2×3cosα+3cosα)=eq\f(8cosα,9cosα)=eq\f(8,9).法二(弦化切)原式=eq\f(3tanα-1,2tanα+3)=eq\f(3×3-1,2×3+3)=eq\f(8,9).(2)原式=eq\f(sin2α-2sinαcosα,sin2α+cos2α)+1=eq\f(tan2α-2tanα,tan2α+1)+1=eq\f(32-2×3,32+1)+1=eq\f(13,10).當堂檢測 1-2.CA3.eq\f(4,3)4.-eq\f(3,8)5.【答案】sinα=eq\f(4,3),cosα=-eq\f(4,5).【解析】由tanα=eq\f(sinα,cosα)=eq\f(4,3)得sinα=eq\f(4,3)cosα. ①又∵sin2α+cos2α=1, ②由①②得eq\f(16,9)cos2α+cos2α=
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