高一數(shù)學：《5-2 三角函數(shù)的概念》獲獎說課導學案

【新教材】5.2.2同角三角函數(shù)的基本關系（人教A版）1.理解并掌握同角三角函數(shù)基本關系式的推導及應用．2.會利用同角三角函數(shù)的基本關系式進行化簡、求值與恒等式證明．1.數(shù)學抽象：理解同角三角函數(shù)基本關系式；2.邏輯推理：“sinα±cosα”同“sinαcosα”間的關系；3.數(shù)學運算：利用同角三角函數(shù)的基本關系式進行化簡、求值與恒等式證明.重點：理解并掌握同角三角函數(shù)基本關系式的推導及應用；難點：會利用同角三角函數(shù)的基本關系式進行化簡、求值與恒等式證明．預習導入閱讀課本182-183頁，填寫。1．同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝________.商數(shù)關系：eq\f(sinα,cosα)＝________eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(2)語言敘述：同一個角α的正弦、余弦的________等于1，________等于角α的正切．思考：“同角”一詞的含義是什么？[提示]一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是對任意一個角(在使得函數(shù)有意義的前提下)，關系式都成立，即與角的表達式形式無關，如sin215°＋cos215°＝1，sin2eq\f(π,19)＋cos2eq\f(π,19)＝1等．1．判斷（正確的打“√”，錯誤的打“×”.）(1)對任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．()(2)對任意角α，eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝taneq\f(α,2)都成立．()(3)若sinα＝eq\f(1,2)，則cosα＝eq\f(\r(3),2).()2．化簡eq\r(,1－sin2\f(π,5))的結(jié)果是()A．coseq\f(π,5)B．－coseq\f(π,5)C．sineq\f(π,5)D．－sineq\f(π,5)3．若sinα＝eq\f(4,5)，且α是第二象限角，則tanα的值等于()A．－eq\f(4,3)B．eq\f(3,4)C．±eq\f(3,4)D．±eq\f(4,3)4．已知tanα＝2，則eq\f(cosα－5sinα,3cosα＋sinα)＝________.題型一應用同角三角函數(shù)關系求值例1(1)若，求cosα，tanα的值；(2)已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值．跟蹤訓練一1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．題型二三角函數(shù)式的化簡、求值例2(1)化簡：eq\f(\r(1－2sin130°cos130°),sin130°＋\r(1－sin2130°))；(2)若角α是第二象限角，化簡：tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1).跟蹤訓練二1．化簡：(1)eq\f(cos36°－\r(1－cos236°),\r(1－2sin36°cos36°))；(2)eq\f(sinθ－cosθ,tanθ－1).題型三三角函數(shù)式的證明例3求證：.跟蹤訓練三1．求證：eq\f(1＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx).題型四“sinα±cosα”同“sinαcosα”間的關系例4已知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，且0＜α＜π.求：(1)sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值．跟蹤訓練四1.已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，則tanα＝．2.已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，計算下列各式的值：(1)eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；(2)sin2α－2sinαcosα＋1.1．下列各式中成立的是()A．sin2α＋cos2β＝1 B．tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α任意)C．cos2eq\f(α,2)＝1－sin2eq\f(α,2) D．sinα＝eq\r(,1－cos2α)2．已知α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,2)))，cosα＝eq\f(4,5)，則tanα＝()A．±eq\f(3,4) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)3．已知tanα＝－eq\f(1,2)，則eq\f(2sinαcosα,sin2α－cos2α)的值是．4．已知sinα＋cosα＝eq\f(1,2)，則sinαcosα＝________.5．已知tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限的角，求sinα，cosα的值．6．(1)化簡eq\r(sin2α－sin4α)，其中α是第二象限角；(2)求證：1＋tan2α＝eq\f(1,cos2α).答案小試牛刀1．（1）√（2）×（3）×.2．A3．A4.－eq\f(9,5).自主探究例1【答案】(1)當α是第三象限角時，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝.α是第四象限角時，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝-(2)如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\f(15,17)，tanα＝－eq\f(15,8).如果α是第三象限角，sinα＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).【解析】(1)∵sinα＝－eq\f(3,5)，α是第三、第四象限角，當α是第三象限角時，cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝.α是第四象限角時，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝-(2)∵cosα＝－eq\f(8,17)＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))\s\up12(2))＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).跟蹤訓練一1．【答案】角α的終邊在第二象限時，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3,10)eq\r(10)；當角α的終邊在第四象限時，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3,10)eq\r(10).【解析】∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±eq\f(\r(10),10).又由sinα＝－3cosα，可知sinα與cosα異號，∴角α的終邊在第二或第四象限．當角α的終邊在第二象限時，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3,10)eq\r(10)；當角α的終邊在第四象限時，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3,10)eq\r(10).例2【答案】（1）1；（2）-1.【解析】(1)原式＝eq\f(\r(sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°),sin130°＋\r(cos2130°))＝eq\f(|sin130°－cos130°|,sin130°＋|cos130°|)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1.(2)原式＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)×eq\f(|cosα|,|sinα|)，因為α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以原式＝eq\f(sinα,cosα)×eq\f(|cosα|,|sinα|)＝eq\f(sinα,cosα)×eq\f(－cosα,sinα)＝－1.跟蹤訓練二1．【答案】(1)1；(2)cosθ.【解析】(1)原式＝eq\f(cos36°－\r(sin236°),\r(sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°))＝eq\f(cos36°－sin36°,\r(cos36°－sin36°2))＝eq\f(cos36°－sin36°,|cos36°－sin36°|)＝eq\f(cos36°－sin36°,cos36°－sin36°)＝1.(2)原式＝eq\f(sinθ－cosθ,\f(sinθ,cosθ)－1)＝eq\f(cosθsinθ－cosθ,sinθ－cosθ)＝cosθ.例3【答案】見解析【解析】跟蹤訓練三1．【答案】見解析【解析】證明：右邊＝eq\f(1＋\f(sinx,cosx),1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(cosx＋sinx2,cosx－sinxcosx＋sinx)＝eq\f(1＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝左邊，∴原等式成立．例4【答案】(1)－eq\f(12,25)；(2)eq\f(7,5).【解析】證明：(1)∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,25)，∴1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，即sinαcosα＝－eq\f(12,25).(2)∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).又∵0＜α＜π，且sinαcosα＜0，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝eq\f(7,5).跟蹤訓練四1、【答案】－eq\f(12,5).【解析】法一：(構(gòu)建方程組)因為sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(49,169)，即2sinαcosα＝－eq\f(120,169).因為α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝eq\r(（sinα－cosα）2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(17,13).②由①②解得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).法二：(弦化切)同法一求出sinαcosα＝－eq\f(60,169)，eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(60,169)，eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(60,169)，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－eq\f(5,12)或tanα＝－eq\f(12,5).由sinα＋cosα＝eq\f(7,13)＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－eq\f(12,5).2.【答案】（1）eq\f(8,9)；(2)eq\f(13,10).【解析】由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化簡得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.（1）法一(換元)原式＝eq\f(3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq\f(8cosα,9cosα)＝eq\f(8,9).法二(弦化切)原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9).(2)原式＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq\f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＋1＝eq\f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq\f(13,10).當堂檢測 1-2．CA3．eq\f(4,3)4．－eq\f(3,8)5．【答案】sinα＝eq\f(4,3)，cosα＝－eq\f(4,5).【解析】由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)得sinα＝eq\f(4,3)cosα. ①又∵sin2α＋cos2α＝1， ②由①②得eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝