【教學(xué)設(shè)計(jì)】不等式2

第二講不等式1．不等式的基本性質(zhì)1對(duì)稱性：a>b?bb，b>c?a>c3加法法則：a>b?a＋c>b＋c4乘法法則：a>b，c>0?ac>bca>b，cb，c>d?a＋c>b＋d6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd7乘方法則：a>b>0?an>bnn∈N，n≥1．8開方法則：a>b>0?eq\rn,a>eq\rn,bn∈N，n≥2．2．一元二次不等式的解法解一元二次不等式a2＋b＋c>0a≠0或a2＋b＋c40Δ＝0Δ0的圖象一元二次方程a2＋b＋c＝0a>0的根有兩相異實(shí)根1，210a>0的解集{|>2或0的解集{|10，b>0利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”．4．二元一次不等式組和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃1線性規(guī)劃問(wèn)題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等；2解不含實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：①畫出可行域；②根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點(diǎn)；③求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值．5．不等式的恒成立，能成立，恰成立等問(wèn)題1恒成立問(wèn)題若不等式f>A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上fmin>A；若不等式fA成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上fma>A；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式fA在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式f>A的解集為D；若不等式f\f1,2，則f10>0的解集為A．{|－g2}B．{|－1－g2}D．{|g>0B．in＋eq\f1,in≥2≠π，∈ZC．2＋1≥2||∈R\f1,2＋1>1∈R答案C解析當(dāng)>0時(shí)，2＋eq\f1,4≥2··eq\f1,2＝，所以geq\b\c\\rc\\a\v4\a\co12＋\f1,4≥g>0，故選項(xiàng)A不正確；當(dāng)≠π，∈Z時(shí)，in的正負(fù)不定，故選項(xiàng)B不正確；由基本不等式可知，選項(xiàng)C正確；當(dāng)＝0時(shí)，有eq\f1,2＋1＝1，故選項(xiàng)D不正確．3．最新·浙江設(shè)＝＋，其中實(shí)數(shù)，滿足eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1＋－2≥0，,－2＋4≥0，,2－－4≤0若的最大值為12，則實(shí)數(shù)＝________答案2解析作出可行域如圖陰影部分所示：由圖可知當(dāng)0≤－3c9c9c3c9c3c3c9c3c9c0，∵≥0時(shí)，f＝2－4，∴f－＝－2－4－＝2＋4，又f為偶函數(shù)，∴f－＝f，∴0，①或eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1－1≥0，,2＋1∧q為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A．－∞，－2B．[－2,0C．－2,0D．[0,2]答案C解析4f3，那么的取值范圍為\b\c\\rc\\a\v4\a\co10，\f1,2\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,2，2\b\c\\rc\]\a\v4\a\co1\f1,2，1∪2，＋∞\b\c\\rc\\a\v4\a\co10，\f1,8∪eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,2，2答案B解析由已知可得當(dāng)≥0時(shí)，f是減函數(shù)．又f為偶函數(shù)，∴f＝f||．由f||>eq\f3,4＝feq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,3，得||1，在約束條件eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1≥，,≤m，,＋≤1下，目標(biāo)函數(shù)＝＋m的最大值小于2，則m的取值范圍為A．1,1＋eq\r2B．1＋eq\r2，＋∞C．1,3D．3，＋∞審題破題1將eq\oOA,\\u的不等式求得m的取值范圍．答案1C2A解析1作出可行域，如圖所示，由題意eq\oOA,\\uin＝－1＋1＝0；過(guò)點(diǎn)0,2時(shí)有最大值，ma＝0＋2＝2，∴eq\oOA,\\u＋eq\f,m，由于m>1，所以－12m350，b>0，函數(shù)f＝2＋ab－a－4b＋ab是偶函數(shù)，則f的圖象與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為________．2已知正數(shù)，滿足＋2eq\r2≤λ＋恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為A．1B．2C．3D審題破題1由f為偶函數(shù)得出a，b的關(guān)系式，再利用基本不等式，列出關(guān)于ab乘積的不等關(guān)系，求ab乘積的最小值．2求λ的最小值，即求eq\f＋2\r2,＋的最大值．答案1162B解析1根據(jù)函數(shù)f是偶函數(shù)可得ab－a－4b＝0，函數(shù)f－a－4b＝0，得ab＝a＋4b≥4eq\rab，解得ab≥16當(dāng)且僅當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)等號(hào)成立，即f的圖象與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為162∵>0，>0，∴＋2≥2eq\r2當(dāng)且僅當(dāng)＝2時(shí)取等號(hào)．又由＋2eq\r2≤λ＋可得λ≥eq\f＋2\r2,＋，而eq\f＋2\r2,＋≤eq\f＋＋2,＋＝2，∴當(dāng)且僅當(dāng)＝2時(shí)，eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f＋2\r2,＋ma＝2∴λ的最小值為2反思?xì)w納在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”即條件要求中字母為正數(shù)、“定”不等式的另一邊必須為定值、“等”等號(hào)取得的條件的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知條件適當(dāng)進(jìn)行添拆項(xiàng)，創(chuàng)造應(yīng)用基本不等式的條件．變式訓(xùn)練3設(shè)a>0，b>0，若eq\r3是3a與3b的等比中項(xiàng)，則eq\f1,a＋eq\f1,b的最小值為A．8B．4C．1\f1,4答案B解析因?yàn)?a·3b＝3，所以a＋b＝eq\f1,a＋eq\f1,b＝a＋beq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,a＋\f1,b＝2＋eq\fb,a＋eq\fa,b≥2＋2eq\r\fb,a·\fa,b＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\fb,a＝eq\fa,b，即a＝b＝eq\f1,2時(shí)“＝”成立．典例最新·福建若函數(shù)＝2圖象上存在點(diǎn)，滿足約束條件eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1＋－3≤0，,－2－3≤0，,≥m，則實(shí)數(shù)m的最大值為\f1,2B．1\f3,2D．2解析在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)＝2的圖象及eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1＋－3≤0，,－2－3≤0所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示．由圖可知，當(dāng)m≤1時(shí)，函數(shù)＝2的圖象上存在點(diǎn)，滿足約束條件，故m的最大值為1答案B得分技巧由運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)讓目標(biāo)函數(shù)所表示的曲線過(guò)可行域上的某點(diǎn)，求線性約束條件中的某一參數(shù)值，是逆向思維，用數(shù)形結(jié)合的思想方法，即可破解．閱卷老師提醒本題要正確理解“存在”這個(gè)關(guān)鍵詞，只要函數(shù)＝2和可行域有公共點(diǎn)即可．1．最新·湖北已知全集為R，集合A＝eq\b\c\{\rc\}\a\v4\a\co1|\f1,2≤1，B＝eq\b\c\{\rc\}\a\v4\a\co1|2－6＋8≤0，則A∩?RB等于A．{|≤0}B．{|2≤≤4}C．{|0≤4}D．{|04或4}．2．已知og＋＋4eq\f1,2eq\f1,23＋－eq\f1,2eq\f1,2畫出可行域如圖，設(shè)＝－，易知的范圍是－∞，10，故λ≥103．若函數(shù)f＝＋eq\f1,－2>2在＝a處取最小值，則a等于A．1＋eq\r2B．1＋eq\r3C．3D．4答案C解析∵>2，∴f＝＋eq\f1,－2＝－2＋eq\f1,－2＋2≥2eq\r－2×\f1,－2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)－2＝eq\f1,－2，即＝3時(shí)，即a＝3，fmin＝44．最新·陜西小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和baeq\fa2－a2,a＋b＝0，∴v>a5．若對(duì)任意>0，eq\f,2＋3＋1≤a恒成立，則a的取值范圍是________．答案eq\b\c\[\rc\\a\v4\a\co1\f1,5，＋∞解析∵a≥eq\f,2＋3＋1＝eq\f1,＋\f1,＋3對(duì)任意>0恒成立，設(shè)u＝＋eq\f1,＋3，∴只需a≥eq\f1,u恒成立即可．∵>0，∴u≥5當(dāng)且僅當(dāng)＝1時(shí)取等號(hào)．由u≥5知02a42a2a2m0，>0，所以eq\f2,＋eq\f8,≥2eq\r16＝8要使原不等式恒成立，只需m2＋2m2，n＝－2≥eq\f1,2，則m與n之間的大小關(guān)系為A．mnC．m≥nD．m≤n答案C解析m＝a＋eq\f1,a－2＝a－2＋eq\f1,a－2＋2≥4a>2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝3時(shí)，等號(hào)成立．由≥eq\f1,2得2≥eq\f1,4，∴n＝－2＝eq\f1,2≤4即n∈0,4]，∴m≥n8．設(shè)，滿足約束條件eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co13－－6≤0，,－＋2≥0，,≥0，≥0，若目標(biāo)函數(shù)＝a＋ba>0，b>0的最大值為12，則eq\f3,a＋eq\f2,b的最小值為\f25,6\f8,3\f11,3D．4答案A解析不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當(dāng)直線a＋b＝a>0，b>0過(guò)直線－＋2＝0與直線3－－6＝0的交點(diǎn)4,6時(shí)，目標(biāo)函數(shù)＝a＋ba>0，b>0取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以eq\f2,a＋eq\f3,b＝eq\f2,a＋eq\f3,b·eq\f2a＋3b,6＝eq\f13,6＋eq\fb,a＋eq\fa,b≥eq\f13,6＋2＝eq\f25,6，故選A二、填空題9．若正實(shí)數(shù)，滿足2＋＋6＝，則的最小值是________．答案18解析∵>0，>0,2＋＋6＝，∴2eq\r2eq\r＋6≤，即－2eq\r2eq\r－6≥0，解得≥1810．最新·陜西若點(diǎn)，位于曲線＝|－1|與＝2所圍成的封閉區(qū)域，則2－的最小值為________．答案－4解析如圖，曲線＝|－1|與＝2所圍成的封閉區(qū)域如圖中陰影部分，令＝2－，則＝2－，作直線＝2，在封閉區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng)直線＝2，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)－1,2時(shí)，取得最小值，此時(shí)＝2×－1－2＝－411．若關(guān)于的不等式2－124a0，且有4－a>0，故0的解集為{|－2}，求的值；2對(duì)任意>0，f≤t恒成立，求t的取值范圍．解1f>?2－2＋6－2}是其解集，得2－2＋6＝0的兩根是－3，－2由根與系數(shù)的關(guān)系可知－2＋－3＝eq\f2,，即＝－eq\f2,52∵>0，f＝eq\f2,2＋6＝eq\f2,＋\f6,≤eq\f2,2\r6＝eq\f\r6,6由已知f≤t對(duì)任意>0恒成立，故t≥eq\f\r6,6即t的取值范圍為eq\b\c\[\rc\\a\v4\a\co1\f\r6,6，＋∞14．最新·江蘇如圖，建立平面直角坐標(biāo)系O，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程＝－eq\f1,201＋22>0表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．1求炮的最大射程．2設(shè)在第一象限有一飛行物忽略其大小，其飛行高度為千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不