線性代數(shù)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)階段測(cè)試五

一、單項(xiàng)選擇題（共20題）1.下列矩陣中不是二次型的矩陣的是（）

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】2.n元實(shí)二次型正定的充分必要條件是（）

A.該二次型的秩＝n

B.該二次型的負(fù)慣性指數(shù)＝n

C.該二次型的正慣性指數(shù)＝它的秩

D.該二次型的正慣性指數(shù)＝n【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】二次型正定的充分必要條件是二次型的正慣性指數(shù)＝n3.下列條件不能保證n階實(shí)對(duì)稱陣A為正定的是()

A.A-1正定

B.A沒(méi)有負(fù)的特征值

C.A的正慣性指數(shù)等于n

D.A合同于單位陣【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】A-1正定表明存在可逆矩陣C使CTA-1C=In，兩邊求逆得到

C-1A（CT）-1=C-1A（C-1）T=In

即A合同于In，A正定，因此不應(yīng)選A。

C是A正定的定義，也不是正確的選擇。

D表明A的正慣性指數(shù)等于n，故A是正定陣，于是只能B。

事實(shí)上，一個(gè)矩陣沒(méi)有負(fù)的特征值，但可能有零特征值，而正定陣的特征值必須全是正數(shù)。4.矩陣的特征值為()

A.1，1

B.2，2

C.1，2

D.0，0【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】

得到特征值是1，1。5.已知相似，則有（）

【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】6.設(shè)矩陣相似.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】根據(jù)相似矩陣的性質(zhì)判斷B錯(cuò)誤.7.設(shè)A為3階矩陣，且已知，則A必有一個(gè)特征值為（）

【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】8.已知3階矩陣A的特征值為1，2，3，則|A-4E|=()

A.2

B.-6

C.6

D.24【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】∵3階矩陣A的特征值為1,2,3

∴|λE-A|展開(kāi)式含有三個(gè)因子乘積：（λ-1）（λ-2）（λ-3）

∵|λE-A|展開(kāi)式λ3項(xiàng)系數(shù)為1

∴|λE-A|=（λ-1）（λ-2）（λ-3）

∵A為3階矩陣

∴|A-λE|=（-1）3|λE-A|=（-1）3（λ-1）（λ-2）（λ-3）

將4代入上式得到-6。9.設(shè)（）

A.線性無(wú)關(guān)

B.線性相關(guān)

C.對(duì)應(yīng)分量成比例

D.可能有零向量【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】A屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).10.A為三階矩陣，為它的三個(gè)特征值.其對(duì)應(yīng)的特征向量為.設(shè)，則下列等式錯(cuò)誤的是（）

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】11.設(shè)A，B為正定陣，則()

A.AB，A+B都正定

B.AB正定，A+B非正定

C.AB非正定，A+B正定

D.AB不一定正定，A+B正定【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】∵A、B正定

∴對(duì)任何元素不全為零的向量X永遠(yuǎn)有XTAX＞0；同時(shí)XTBX＞0。

因此A+B正定，AB不一定正定，甚至AB可能不是對(duì)稱陣。12.設(shè)A是n階矩陣，C是n階正交陣，且B=CTAC，則下述結(jié)論()不成立。

A.A與B相似

B.A與B等價(jià)

C.A與B有相同的特征值

D.A與B有相同的特征向量【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】∵C是正交陣，所以CT=C-1,B=C-1AC，因此A與B相似，A對(duì)。

C是正交陣|C|不等于0，CTAC相當(dāng)對(duì)A實(shí)行若干次初等行變換和初等列變換，A與B等價(jià)，B對(duì)。

兩個(gè)相似矩陣A、B有相同的特征值，C對(duì)。

（λE-A）X=0,（λE-B）X=0是兩個(gè)不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個(gè)方程的非零解常常不同，所以只有D不對(duì)，選D。13.已知A是一個(gè)三階實(shí)對(duì)稱正定的矩陣，那么A的特征值可能是（）

【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，故A，C都不正確；又因?yàn)檎ň仃嚨奶卣髦稻鶠檎龜?shù)，故B也不正確；應(yīng)用排除法，知答案為D.14.下列命題錯(cuò)誤的是()

A.屬于不同特征值的特征向量必線性無(wú)關(guān)

B.屬于同一特征值的特征向量必線性相關(guān)

C.相似矩陣必有相同的特征值

D.特征值相同的矩陣未必相似【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】屬于同一特征值的特征向量未必線性相關(guān)，比如單位陣的特征值全是1，但它有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此應(yīng)選擇B。15.二次型f=xTAx經(jīng)過(guò)滿秩線性變換x=Py可化為二次型yTBy，則矩陣A與B()

A.一定合同

B.一定相似

C.即相似又合同

D.即不相似也不合同【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】f=xTAx=（Py）TA（Py）=yT（PTAP）y=yTBy，即B=PTAP，所以矩陣A與B一定合同。只有當(dāng)P是正交矩陣時(shí)，由于PT=P-1，所以A與B即相似又合同。16.二次型的矩陣為（）

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】17.設(shè)

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】主對(duì)角線元素對(duì)應(yīng)x1，x2，x3平方項(xiàng)系數(shù)：1，1，1。a13和a31系數(shù)的和對(duì)應(yīng)x1x3的系數(shù)218.二次型的矩陣為（）

【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】二次型的矩陣的定義19.實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩等于r，又它有t個(gè)正特征值，則它的符號(hào)差為()

A.r

B.t-r

C.2t-r

D.r-t【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】A的正慣性指數(shù)為t，負(fù)慣性指數(shù)為r-t，因此符號(hào)差等于2t-r。20.設(shè)A的特征值為1，-1，向量α是屬于1的特征向量，β是屬于-1的特征向量，則下列論斷正確的是()

A.α和β線性無(wú)關(guān)

B.α+β是A的特征向量

C.α與β線性相關(guān)

D.α與β必正交【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】屬于不同特征值的特征向量必線性無(wú)關(guān)，因此選擇A。一、單項(xiàng)選擇題（共20題）1.設(shè)（）

A.線性無(wú)關(guān)

B.線性相關(guān)

C.對(duì)應(yīng)分量成比例

D.可能有零向量【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】A屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).2.二次型的矩陣為（）

【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】二次型的矩陣的定義3.二次型f=xTAx經(jīng)過(guò)滿秩線性變換x=Py可化為二次型yTBy，則矩陣A與B()

A.一定合同

B.一定相似

C.即相似又合同

D.即不相似也不合同【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】f=xTAx=（Py）TA（Py）=yT（PTAP）y=yTBy，即B=PTAP，所以矩陣A與B一定合同。只有當(dāng)P是正交矩陣時(shí)，由于PT=P-1，所以A與B即相似又合同。4.已知A是一個(gè)三階實(shí)對(duì)稱正定的矩陣，那么A的特征值可能是（）

【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，故A，C都不正確；又因?yàn)檎ň仃嚨奶卣髦稻鶠檎龜?shù)，故B也不正確；應(yīng)用排除法，知答案為D.5.設(shè)矩陣相似.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】根據(jù)相似矩陣的性質(zhì)判斷B錯(cuò)誤.6.設(shè)A，B為正定陣，則()

A.AB，A+B都正定

B.AB正定，A+B非正定

C.AB非正定，A+B正定

D.AB不一定正定，A+B正定【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】∵A、B正定

∴對(duì)任何元素不全為零的向量X永遠(yuǎn)有XTAX＞0；同時(shí)XTBX＞0。

因此A+B正定，AB不一定正定，甚至AB可能不是對(duì)稱陣。7.n元實(shí)二次型正定的充分必要條件是（）

A.該二次型的秩＝n

B.該二次型的負(fù)慣性指數(shù)＝n

C.該二次型的正慣性指數(shù)＝它的秩

D.該二次型的正慣性指數(shù)＝n【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】二次型正定的充分必要條件是二次型的正慣性指數(shù)＝n8.λ1,λ2都是n階矩陣A的特征值，λ1≠λ2，且x1與x2分別是對(duì)應(yīng)于λ1與λ2的特征向量，當(dāng)()時(shí)，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量。

A.k1=0且k2=0

B.k1≠0且k2≠0

C.k1·k2=0

D.k1≠0而k2=0【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】A的特征向量不能是零向量，所以k1、k2不同時(shí)為零，所以A、C不對(duì)；x1、x2是兩個(gè)不同的方程組的解，兩個(gè)方程的兩個(gè)非零向量解之和不再是其中一個(gè)方程的解，所以A的特征向量不選B。選D是因?yàn)閗2=0，k1≠0，x=k1x1仍然是A的特征向量。9.的一個(gè)特征值.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】根據(jù)特征值，特征向量的定義和性質(zhì)判斷A錯(cuò)誤.10.二次型的矩陣為（）

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】11.f（x1,x2,x3）=x12-2x1x2+4x32對(duì)應(yīng)的矩陣是()

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】x1，x2，x3平方項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)主對(duì)角線元素：1，0，4。x1x2系數(shù)-2，對(duì)應(yīng)a12和a21系數(shù)的和，a12=-1,a21=-1。12.已知3階矩陣A的特征值為1，2，3，則|A-4E|=()

A.2

B.-6

C.6

D.24【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】∵3階矩陣A的特征值為1,2,3

∴|λE-A|展開(kāi)式含有三個(gè)因子乘積：（λ-1）（λ-2）（λ-3）

∵|λE-A|展開(kāi)式λ3項(xiàng)系數(shù)為1

∴|λE-A|=（λ-1）（λ-2）（λ-3）

∵A為3階矩陣

∴|A-λE|=（-1）3|λE-A|=（-1）3（λ-1）（λ-2）（λ-3）

將4代入上式得到-6。13.已知相似，則有（）

【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】14.已知f（x）=x2+x+1方陣A的特征值1,0,-1,則f（A）的特征值為()

A.3，1，1

B.2，-1，-2

C.3，1，-1

D.3，0，1【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】設(shè)A的特征值是λ，則f（A）的特征值就是f（λ），把1,0,-1依次代入，得到3，1，1。15.設(shè)A是n階矩陣，C是n階正交陣，且B=CTAC，則下述結(jié)論()不成立。

A.A與B相似

B.A與B等價(jià)

C.A與B有相同的特征值

D.A與B有相同的特征向量【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】∵C是正交陣，所以CT=C-1,B=C-1AC，因此A與B相似，A對(duì)。

C是正交陣|C|不等于0，CTAC相當(dāng)對(duì)A實(shí)行若干次初等行變換和初等列變換，A與B等價(jià)，B對(duì)。

兩個(gè)相似矩陣A、B有相同的特征值，C對(duì)。

（λE-A）X=0,（λE-B）X=0是兩個(gè)不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個(gè)方程的非零解常常不同，所以只有D不對(duì)，選D。16.已知矩陣有一個(gè)特征值為0，則()

A.x=2.5

B.x=1

C.x=-2.5

D.x=0【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】|A|=5-2x，A有零特征值，得|A|=0，故x=2.5，顯然應(yīng)選A。17.設(shè)3階矩陣A與B相似，且已知A的特征值為2，2，3.則（）

【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】18.下列矩陣必相似于對(duì)角矩陣的是()

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】C是對(duì)稱陣，必相似于對(duì)角陣，故選C。19.設(shè)A為3階矩陣，且已知，則A必有一個(gè)特征值為（）

【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】20.設(shè)α是矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量，P為可逆矩陣，則下列向量中()是P-1AP對(duì)應(yīng)于λ的特征向量。

A.α

B.Pα

C.P-1αP

D.P-1α【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】∵設(shè)P-1AP=B∴A=PBP-1

又∵Aα=λ0α∴PBP-1α=λ0α

∴B（P-1α）=λ0(P-1α)一、單項(xiàng)選擇題（共20題）1.二次型f（x1,x2,x3）=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列說(shuō)法正確的是()

A.是正定的

B.其矩陣可逆

C.其秩為1

D.其秩為2【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】二次型的矩陣

所以r（A）=1，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)A，B，D都不正確。2.二次型f=xTAx經(jīng)過(guò)滿秩線性變換x=Py可化為二次型yTBy，則矩陣A與B()

A.一定合同

B.一定相似

C.即相似又合同

D.即不相似也不合同【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】f=xTAx=（Py）TA（Py）=yT（PTAP）y=yTBy，即B=PTAP，所以矩陣A與B一定合同。只有當(dāng)P是正交矩陣時(shí)，由于PT=P-1，所以A與B即相似又合同。3.已知矩陣有一個(gè)特征值為0，則()

A.x=2.5

B.x=1

C.x=-2.5

D.x=0【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】|A|=5-2x，A有零特征值，得|A|=0，故x=2.5，顯然應(yīng)選A。4.二次型的矩陣為（）

【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】二次型的矩陣的定義5.實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩等于r，又它有t個(gè)正特征值，則它的符號(hào)差為()

A.r

B.t-r

C.2t-r

D.r-t【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】A的正慣性指數(shù)為t，負(fù)慣性指數(shù)為r-t，因此符號(hào)差等于2t-r。6.下列矩陣必相似于對(duì)角矩陣的是()

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】C是對(duì)稱陣，必相似于對(duì)角陣，故選C。7.設(shè)f=XTAX，g=XTBX是兩個(gè)n元正定二次型，則()未必是正定二次型。

A.XT（A+B）X

B.XTA-1X

C.XTB-1X

D.XTABX【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】因?yàn)閒是正定二次型，A是n階正定陣，

所以A的n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn都大于零，

|A|＞0，設(shè)APj=λjPj，則A-1Pj=Pj，A-1的n個(gè)特征值，j=1,2,…,n，必都大于零，

這說(shuō)明A-1為正定陣，XTA-1X為正定二定型，同理，XTB-1X為正定二次型，

對(duì)任意n維非零列向量X都有XT（A+B）X=XTAX+XTBX＞0。

這說(shuō)明XT（A+B）X為正定二次型，

由于兩個(gè)同階對(duì)稱陣的乘積未必為對(duì)稱陣，所以XTABX未必為正定二次型。8.已知相似，則有（）

【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】9.f（x1,x2,x3）=x12-2x1x2+4x32對(duì)應(yīng)的矩陣是()

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】x1，x2，x3平方項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)主對(duì)角線元素：1，0，4。x1x2系數(shù)-2，對(duì)應(yīng)a12和a21系數(shù)的和，a12=-1,a21=-1。10.設(shè)A是n階矩陣，C是n階正交陣，且B=CTAC，則下述結(jié)論()不成立。

A.A與B相似

B.A與B等價(jià)

C.A與B有相同的特征值

D.A與B有相同的特征向量【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】∵C是正交陣，所以CT=C-1,B=C-1AC，因此A與B相似，A對(duì)。

C是正交陣|C|不等于0，CTAC相當(dāng)對(duì)A實(shí)行若干次初等行變換和初等列變換，A與B等價(jià)，B對(duì)。

兩個(gè)相似矩陣A、B有相同的特征值，C對(duì)。

（λE-A）X=0,（λE-B）X=0是兩個(gè)不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個(gè)方程的非零解常常不同，所以只有D不對(duì)，選D。11.λ1,λ2都是n階矩陣A的特征值，λ1≠λ2，且x1與x2分別是對(duì)應(yīng)于λ1與λ2的特征向量，當(dāng)()時(shí)，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量。

A.k1=0且k2=0

B.k1≠0且k2≠0

C.k1·k2=0

D.k1≠0而k2=0【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】A的特征向量不能是零向量，所以k1、k2不同時(shí)為零，所以A、C不對(duì)；x1、x2是兩個(gè)不同的方程組的解，兩個(gè)方程的兩個(gè)非零向量解之和不再是其中一個(gè)方程的解，所以A的特征向量不選B。選D是因?yàn)閗2=0，k1≠0，x=k1x1仍然是A的特征向量。12.下列條件不能保證n階實(shí)對(duì)稱陣A為正定的是()

A.A-1正定

B.A沒(méi)有負(fù)的特征值

C.A的正慣性指數(shù)等于n

D.A合同于單位陣【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】A-1正定表明存在可逆矩陣C使CTA-1C=In，兩邊求逆得到

C-1A（CT）-1=C-1A（C-1）T=In

即A合同于In，A正定，因此不應(yīng)選A。

C是A正定的定義，也不是正確的選擇。

D表明A的正慣性指數(shù)等于n，故A是正定陣，于是只能B。

事實(shí)上，一個(gè)矩陣沒(méi)有負(fù)的特征值，但可能有零特征值，而正定陣的特征值必須全是正數(shù)。13.設(shè)A為3階矩陣，且已知，則A必有一個(gè)特征值為（）

【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】14.設(shè)

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】主對(duì)角線元素對(duì)應(yīng)x1，x2，x3平方項(xiàng)系數(shù)：1，1，1。a13和a31系數(shù)的和對(duì)應(yīng)x1x3的系數(shù)215.設(shè)（）

A.線性無(wú)關(guān)

B.線性相關(guān)

C.對(duì)應(yīng)分量成比例

D.可能有零向量【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】A屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).16.下列矩陣中不是二次型的矩陣的是（）

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】17.設(shè)矩陣相似.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】根據(jù)相似矩陣的性質(zhì)判斷B錯(cuò)誤.18.設(shè)3階矩陣A與B相似，且已知A的特征值為2，2，3.則（）

【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】19.n元實(shí)二次型正定的充分必要條件是（）

A.該二次型的秩＝n

B.該二次型的負(fù)慣性指數(shù)＝n

C.該二次型的正慣性指數(shù)＝它的秩

D.該二次型的正慣性指數(shù)＝n【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】二次型正定的充分必要條件是二次型的正慣性指數(shù)＝n20.A為三階矩陣，為它的三個(gè)特征值.其對(duì)應(yīng)的特征向量為.設(shè)，則下列等式錯(cuò)誤的是（）

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】一、單項(xiàng)選擇題（共20題）1.已知A是一個(gè)三階實(shí)對(duì)稱正定的矩陣，那么A的特征值可能是（）

【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，故A，C都不正確；又因?yàn)檎ň仃嚨奶卣髦稻鶠檎龜?shù)，故B也不正確；應(yīng)用排除法，知答案為D.2.已知相似，則有（）

【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】3.二次型f（x1,x2,x3）=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列說(shuō)法正確的是()

A.是正定的

B.其矩陣可逆

C.其秩為1

D.其秩為2【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】二次型的矩陣

所以r（A）=1，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)A，B，D都不正確。4.設(shè)A為3階矩陣，且已知，則A必有一個(gè)特征值為（）

【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】5.設(shè)（）

A.線性無(wú)關(guān)

B.線性相關(guān)

C.對(duì)應(yīng)分量成比例

D.可能有零向量【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】A屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).6.下列條件不能保證n階實(shí)對(duì)稱陣A為正定的是()

A.A-1正定

B.A沒(méi)有負(fù)的特征值

C.A的正慣性指數(shù)等于n

D.A合同于單位陣【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】A-1正定表明存在可逆矩陣C使CTA-1C=In，兩邊求逆得到

C-1A（CT）-1=C-1A（C-1）T=In

即A合同于In，A正定，因此不應(yīng)選A。

C是A正定的定義，也不是正確的選擇。

D表明A的正慣性指數(shù)等于n，故A是正定陣，于是只能B。

事實(shí)上，一個(gè)矩陣沒(méi)有負(fù)的特征值，但可能有零特征值，而正定陣的特征值必須全是正數(shù)。7.下列矩陣中不是二次型的矩陣的是（）

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】8.設(shè)A的特征值為1，-1，向量α是屬于1的特征向量，β是屬于-1的特征向量，則下列論斷正確的是()

A.α和β線性無(wú)關(guān)

B.α+β是A的特征向量

C.α與β線性相關(guān)

D.α與β必正交【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】屬于不同特征值的特征向量必線性無(wú)關(guān)，因此選擇A。9.已知3階矩陣A的特征值為1，2，3，則|A-4E|=()

A.2

B.-6

C.6

D.24【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】∵3階矩陣A的特征值為1,2,3

∴|λE-A|展開(kāi)式含有三個(gè)因子乘積：（λ-1）（λ-2）（λ-3）

∵|λE-A|展開(kāi)式λ3項(xiàng)系數(shù)為1

∴|λE-A|=（λ-1）（λ-2）（λ-3）

∵A為3階矩陣

∴|A-λE|=（-1）3|λE-A|=（-1）3（λ-1）（λ-2）（λ-3）

將4代入上式得到-6。10.已知f（x）=x2+x+1方陣A的特征值1,0,-1,則f（A）的特征值為()

A.3，1，1

B.2，-1，-2

C.3，1，-1

D.3，0，1【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】設(shè)A的特征值是λ，則f（A）的特征值就是f（λ），把1,0,-1依次代入，得到3，1，1。11.A為三階矩陣，為它的三個(gè)特征值.其對(duì)應(yīng)的特征向量為.設(shè)，則下列等式錯(cuò)誤的是（）

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】12.的一個(gè)特征值.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】根據(jù)特征值，特征向量的定義和性質(zhì)判斷A錯(cuò)誤.13.下列矩陣必相似于對(duì)角矩陣的是()

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】C是對(duì)稱陣，必相似于對(duì)角陣，故選C。14.設(shè)f=XTAX，g=XTBX是兩個(gè)n元正定二次型，則()未必是正定二次型。

A.XT（A+B）X

B.XTA-1X

C.XTB-1X

D.XTABX【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】因?yàn)閒是正定二次型，A是n階正定陣，

所以A的n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn都大于零，

|A|＞0，設(shè)APj=λjPj，則A-1Pj=Pj，A-1的n個(gè)特征值，j=1,2,…,n，必都大于零，

這說(shuō)明A-1為正定陣，XTA-1X為正定二定型，同理，XTB-1X為正定二次型，

對(duì)任意n維非零列向量X都有XT（A+B）X=XTAX+XTBX＞0。

這說(shuō)明XT（A+B）X為正定二次型，

由于兩個(gè)同階對(duì)稱陣的乘積未必為對(duì)稱陣，所以XTABX未必為正定二次型。15.n元實(shí)二次型正定的充分必要條件是（）

A.該二次型的秩＝n

B.該二次型的負(fù)慣性指數(shù)＝n

C.該二次型的正慣性指數(shù)＝它的秩

D.該二次型的正慣性指數(shù)＝n【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】二次型正定的充分必要條件是二次型的正慣性指數(shù)＝n16.已知矩陣有一個(gè)特征值為0，則()

A.x=2.5

B.x=1

C.x=-2.5

D.x=0【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】|A|=5-2x，A有零特征值，得|A|=0，故x=2.5，顯然應(yīng)選A。17.二次型的矩陣為（）

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】18.下列命題錯(cuò)誤的是()

A.屬于不同特征值的特征向量必線性無(wú)關(guān)

B.屬于同一特征值的特征向量必線性相關(guān)

C.相似矩陣必有相同的特征值

D.特征值相同的矩陣未必相似【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】屬于同一特征值的特征向量未必線性相關(guān)，比如單位陣的特征值全是1，但它有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此應(yīng)選擇B。19.設(shè)3階矩陣A與B相似，且已知A的特征值為2，2，3.則（）

【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】20.λ1,λ2都是n階矩陣A的特征值，λ1≠λ2，且x1與x2分別是對(duì)應(yīng)于λ1與λ2的特征向量，當(dāng)()時(shí)，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量。

A.k1=0且k2=0

B.k1≠0且k2≠0

C.k1·k2=0

D.k1≠0而k2=0【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】A的特征向量不能是零向量，所以k1、k2不同時(shí)為零，所以A、C不對(duì)；x1、x2是兩個(gè)不同的方程組的解，兩個(gè)方程的兩個(gè)非零向量解之和不再是其中一個(gè)方程的解，所以A的特征向量不選B。選D是因?yàn)閗2=0，k1≠0，x=k1x1仍然是A的特征向量。一、單項(xiàng)選擇題（共20題）1.n元實(shí)二次型正定的充分必要條件是（）

A.該二次型的秩＝n

B.該二次型的負(fù)慣性指數(shù)＝n

C.該二次型的正慣性指數(shù)＝它的秩

D.該二次型的正慣性指數(shù)＝n【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】二次型正定的充分必要條件是二次型的正慣性指數(shù)＝n2.二次型的矩陣為（）

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】3.設(shè)A，B為正定陣，則()

A.AB，A+B都正定

B.AB正定，A+B非正定

C.AB非正定，A+B正定

D.AB不一定正定，A+B正定【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】∵A、B正定

∴對(duì)任何元素不全為零的向量X永遠(yuǎn)有XTAX＞0；同時(shí)XTBX＞0。

因此A+B正定，AB不一定正定，甚至AB可能不是對(duì)稱陣。4.下列矩陣中不是二次型的矩陣的是（）

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】5.二次型的矩陣為（）

【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】二次型的矩陣的定義6.設(shè)f=XTAX，g=XTBX是兩個(gè)n元正定二次型，則()未必是正定二次型。

A.XT（A+B）X

B.XTA-1X

C.XTB-1X

D.XTABX【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】因?yàn)閒是正定二次型，A是n階正定陣，

所以A的n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn都大于零，

|A|＞0，設(shè)APj=λjPj，則A-1Pj=Pj，A-1的n個(gè)特征值，j=1,2,…,n，必都大于零，

這說(shuō)明A-1為正定陣，XTA-1X為正定二定型，同理，XTB-1X為正定二次型，

對(duì)任意n維非零列向量X都有XT（A+B）X=XTAX+XTBX＞0。

這說(shuō)明XT（A+B）X為正定二次型，

由于兩個(gè)同階對(duì)稱陣的乘積未必為對(duì)稱陣，所以XTABX未必為正定二次型。7.A為三階矩陣，為它的三個(gè)特征值.其對(duì)應(yīng)的特征向量為.設(shè)，則下列等式錯(cuò)誤的是（）

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】8.λ1,λ2都是n階矩陣A的特征值，λ1≠λ2，且x1與x2分別是對(duì)應(yīng)于λ1與λ2的特征向量，當(dāng)()時(shí)，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量。

A.k1=0且k2=0

B.k1≠0且k2≠0

C.k1·k2=0

D.k1≠0而k2=0【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】A的特征向量不能是零向量，所以k1、k2不同時(shí)為零，所以A、C不對(duì)；x1、x2是兩個(gè)不同的方程組的解，兩個(gè)方程的兩個(gè)非零向量解之和不再是其中一個(gè)方程的解，所以A的特征向量不選B。選D是因?yàn)閗2=0，k1≠0，x=k1x1仍然是A的特征向量。9.設(shè)矩陣相似.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】根據(jù)相似矩陣的性質(zhì)判斷B錯(cuò)誤.10.設(shè)（）

A.線性無(wú)關(guān)

B.線性相關(guān)

C.對(duì)應(yīng)分量成比例

D.可能有零向量【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】A屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).11.設(shè)

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】主對(duì)角線元素對(duì)應(yīng)x1，x2，x3平方項(xiàng)系數(shù)：1，1，1。a13和a31系數(shù)的和對(duì)應(yīng)x1x3的系數(shù)212.已知矩陣有一個(gè)特征值為0，則()

A.x=2.5

B.x=1

C.x=-2.5

D.x=0【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】|A|=5-2x，A有零特征值，得|A|=0，故x=2.5，顯然應(yīng)選A。13.已知相似，則有（）

【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】14.已知3階矩陣A的特征值為1，2，3，則|A-4E|=()

A.2

B.-6

C.6

D.24【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】∵3階矩陣A的特征值為1,2,3

∴|λE-A|展開(kāi)式含有三個(gè)因子乘積：（λ-1）（λ-2）（λ-3）

∵|λE-A|展開(kāi)式λ3項(xiàng)系數(shù)為1

∴|λE-A|=（λ-1）（λ-2）（λ-3）

∵A為3階矩陣

∴|A-λE|=（-1）3|λE-A|=（-1）3（λ-1）（λ-2）（λ-3）

將4代入上式得到-6。15.f（x1,x2,x3）=x12-2x1x2+4x32對(duì)應(yīng)的矩陣是()

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】x1，x2，x3平方項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)主對(duì)角線元素：1，0，4。x1x2系數(shù)-2，對(duì)應(yīng)a12和a21系數(shù)的和，a12=-1,a21=-1。16.的一個(gè)特征值.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】根據(jù)特征值，特征向量的定義和性質(zhì)判斷A錯(cuò)誤.17.下列命題錯(cuò)誤的是()

A.屬于不同特征值的特征向量必線性無(wú)關(guān)

B.屬于同一特征值的特征向量必線性相關(guān)

C.相似矩陣必有相同的特征值

D.特征值相同的矩陣未必相似【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】屬于同一特征值的特征向量未必線性相關(guān)，比如單位陣的特征值全是1，但它有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此應(yīng)選擇B。18.下列條件不能保證n階實(shí)對(duì)稱陣A為正定的是()

A.A-1正定

B.A沒(méi)有負(fù)的特征值

C.A的正慣性指數(shù)等于n

D.A合同于單位陣【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】A-1正定表明存在可逆矩陣C使CTA-1C=In，兩邊求逆得到

C-1A（CT）-1=C-1A（C-1）T=In

即A合同于In，A正定，因此不應(yīng)選A。

C是A正定的定義，也不是正確的選擇。

D表明A的正慣性指數(shù)等于n，故A是正定陣，于是只能B。

事實(shí)上，一個(gè)矩陣沒(méi)有負(fù)的特征值，但可能有零特征值，而正定陣的特征值必須全是正數(shù)。19.矩陣的特征值為()

A.1，1

B.2，2

C.1，2

D.0，0【正確答案】A【您的答案】A【答案正確】【答案解析】

得到特征值是1，1。20.設(shè)α是矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量，P為可逆矩陣，則下列向量中()是P-1AP對(duì)應(yīng)于λ的特征向量。

A.α

B.Pα

C.P-1αP

D.P-1α【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】∵設(shè)P-1AP=B∴A=PBP-1

又∵Aα=λ0α∴PBP-1α=λ0α

∴B（P-1α）=λ0(P-1α)一、單項(xiàng)選擇題（共20題）1.設(shè)矩陣相似.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

【正確答案】B【您的答案】A【答案解析】根據(jù)相似矩陣的性質(zhì)判斷B錯(cuò)誤.2.二次型f（x1,x2,x3）=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列說(shuō)法正確的是()

A.是正定的

B.其矩陣可逆

C.其秩為1

D.其秩為2【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】二次型的矩陣

所以r（A）=1，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)A，B，D都不正確。3.設(shè)A是n階矩陣，C是n階正交陣，且B=CTAC，則下述結(jié)論()不成立。

A.A與B相似

B.A與B等價(jià)

C.A與B有相同的特征值

D.A與B有相同的特征向量【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】∵C是正交陣，所以CT=C-1,B=C-1AC，因此A與B相似，A對(duì)。

C是正交陣|C|不等于0，CTAC相當(dāng)對(duì)A實(shí)行若干次初等行變換和初等列變換，A與B等價(jià)，B對(duì)。

兩個(gè)相似矩陣A、B有相同的特征值，C對(duì)。

（λE-A）X=0,（λE-B）X=0是兩個(gè)不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個(gè)方程的非零解常常不同，所以只有D不對(duì)，選D。4.已知相似，則有（）

【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】5.設(shè)f=XTAX，g=XTBX是兩個(gè)n元正定二次型，則()未必是正定二次型。

A.XT（A+B）X

B.XTA-1X

C.XTB-1X

D.XTABX【正確答案】D【您的答案】A【答案解析】因?yàn)閒是正定二次型，A是n階正定陣，

所以A的n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn都大于零，

|A|＞0，設(shè)APj=λjPj，則A-1Pj=Pj，A-1的n個(gè)特征值，j=1,2,…,n，必都大于零，

這說(shuō)明A-1為正定陣，XTA-1X為正定二定型，同理，XTB-1X為正定二次型，

對(duì)任意n維非零列向量X都有XT（A+B）X=XTAX+XTBX＞0。

這說(shuō)明XT（A+B）X為正定二次型，

由于兩個(gè)同階對(duì)稱陣的乘積未必為對(duì)稱陣，所以XTABX未必為正定二次型。6.f（x1,x2,x3）=x12-2x1x2+4x32對(duì)應(yīng)的矩陣是()

【正確答案】C【您的答案】A【答案解析】x1，x2，x3平方項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)主對(duì)角線元素：1，0，4。x1x2