導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用課件

一、函數(shù)變化率----邊際函數(shù)二、成本三、收益四、函數(shù)的相關(guān)變化率----函數(shù)的彈性4.8變化率及相對變化率在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用-----邊際分析與彈性分析介紹一、函數(shù)變化率----邊際函數(shù)4.8變化率及相對變化率在11、邊際函數(shù)

設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)也稱為邊際函數(shù)。 稱為在內(nèi)的平均變化率，它表示在內(nèi)的平均變化速度。

1、邊際函數(shù)設(shè)函數(shù)可2在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)稱為在點(diǎn)處的變化率，也稱為在點(diǎn)處的邊際函數(shù)值。它表示在點(diǎn)處的變化速度。在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)3

在點(diǎn)處，從改變一個單位，相應(yīng)改變的真值應(yīng)為。但當(dāng)x改變的“單位”很小時，或x的“一個單位”與值相對來比很小時，則有

當(dāng)時，標(biāo)志著由減少一個單位在點(diǎn)處，從改變一個單位，4

這說明在點(diǎn)處，當(dāng)產(chǎn)生一個單位的改變時，近似改變個單位。在應(yīng)用問題中解釋邊際函數(shù)值的具體意義時我們略去“近似”二字這說明在點(diǎn)處，當(dāng)5

例1函數(shù)，在點(diǎn)處的邊際函數(shù)值，它表示當(dāng)時,改變一個單位，（近似）改變20個單位。例1函數(shù)6例2設(shè)某產(chǎn)品成本函數(shù)C=C(Q)(C為總成本，Q為產(chǎn)量），其變化率稱為邊際成本。稱為當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到時的邊際成本。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家對它的解釋是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到時，生產(chǎn)前最后一個單位產(chǎn)品所增添的成本。例2設(shè)某產(chǎn)品成本函數(shù)C=C(Q)(C為總72、成本

某產(chǎn)品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源投入（勞力、原料、設(shè)備等）的價格或費(fèi)用總額。它由固定成本與可變成本組成。

平均成本是生產(chǎn)一定量產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品的成本。

邊際成本是總成本的變化率，即總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、成本某產(chǎn)品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需8設(shè)C為總成本,為固定成本,為可變成本，為平均成本，為邊際成本，Q為產(chǎn)量，則有總成本函數(shù)

平均成本函數(shù)邊際成本函數(shù)設(shè)C為總成本,為固定成本,9例1已知某產(chǎn)品的成本函數(shù)為求：當(dāng)Q=10時的總成本、平均成本及邊際成本。例2例1中的商品，當(dāng)產(chǎn)量Q為多少時，平均成本最??？例1已知某產(chǎn)品的成本函數(shù)為求：當(dāng)Q=10時的總103、收益總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入。平均收益是生產(chǎn)者出售一定量的產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品所得到的收入。即單位商品的售價。邊際收益為總收益的變化率。3、收益總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全11總收益，平均收益，邊際收益均為產(chǎn)量的函數(shù)設(shè)P為商品價格，Q為商品量，R為總收益，為邊際收益。則有需求函數(shù)P=P(Q)總收益函數(shù)R=R(Q)平均收益函數(shù)邊際收益函數(shù)總收益，平均收益，邊際收益均為產(chǎn)量的函數(shù)設(shè)P為商品價格12需求與收益的關(guān)系有：需求與收益的關(guān)系有：13

總收益與平均收益的關(guān)系為：總收益與邊際收益的關(guān)系為：總收益與平均收益的關(guān)系為：總收益與邊際收益的關(guān)系為：14例1設(shè)某產(chǎn)品的價格與銷售量的關(guān)系為P=10-Q/5，求銷售量為30時的總收益、平均收益與邊際收益。例1設(shè)某產(chǎn)品的價格與銷售量的關(guān)系為P=115下面討論最大利潤原則：設(shè)總利潤為L，則

L=L(Q)=R(Q)-C(Q)L(Q)取得最大值的必要條件為：，即

于是可取得最大利潤的必要條件是：邊際收益等于邊際成本。下面討論最大利潤原則：設(shè)總利潤為L，則L=L(Q)=16

L(Q)取得最大值的充分條件為：

即

于是可取得最大利潤的充分條件是：邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率。L(Q)取得最大值的充分條件為：于是可取17例2已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為P=10-Q/5，成本函數(shù)為C=50+2Q,求產(chǎn)量為多少時總利潤L最大？并驗(yàn)證是否符合最大利潤原則。

例2已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為P=10-Q/5，成18例3某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元。已知總收益R是年產(chǎn)量Q的函數(shù)

問每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時，總利潤最大？此時總利潤是多少？例3某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，固定成本為20000元，194、函數(shù)的相關(guān)變化率----函數(shù)的彈性前面所談的函數(shù)改變量與函數(shù)變化率是絕對改變量與絕對變化率，但是從實(shí)踐中可看到，僅僅研究此是不夠的。比如，商品a每單位價格10元，漲價1元；商品b每單位價格是1000元，也漲價1元，兩種商品價格的絕對改變量都是1元，但各自與其原價相比，兩者漲價的百分比卻有很大的不同，商品a漲了10%，而商品b漲了0.1%。因此有必要研究函數(shù)的相對改變量與相對變化率。4、函數(shù)的相關(guān)變化率----函數(shù)的彈性前面所談20從到兩點(diǎn)間的相對變化

定義4.5設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)的相對改變量，與自變量的相對改變量之比，稱為函數(shù)率，或稱為兩點(diǎn)間的彈性。從到21當(dāng)時，的極限稱為在處的相對變化率，也就是相對導(dǎo)數(shù)，或稱彈性。即=記作，或當(dāng)時，22對一般的x，若f(x)可導(dǎo)，則有是x的函數(shù)，稱為f(x)的彈性函數(shù)。函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的彈性反映隨x的變化f(x)變化幅度的大小，也就是f(x)對x變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度或靈敏度。對一般的x，若f(x)可導(dǎo)，則有是x的函數(shù)，稱為f(x)的彈23表示在點(diǎn)處，當(dāng)x產(chǎn)生1%的改變時，f(x)近似改變%。在應(yīng)用問題中解釋彈性的具體意義時，我們也略去“近似”二字。注意：兩點(diǎn)間的彈性是有方向性的，因?yàn)椤跋鄬π浴笔菍Τ跏贾刀缘?。表示在點(diǎn)處，當(dāng)24例1求函數(shù)在處的彈性。例2求函數(shù)的彈性函數(shù)及例3求冪函數(shù)（為常數(shù)）的彈性函數(shù)。（該函數(shù)稱為不變彈性函數(shù)）例1求函數(shù)在255、需求函數(shù)與供給函數(shù)

“需求”指在一定價格條件下，消費(fèi)者愿意購買并且有支付能力購買的商品量。

消費(fèi)者對某種商品的需求是多種因素決定的,商品的價格是影響需求的一個主要因素,但還有許多其他因素,如消費(fèi)者收入的增減,其它代用品的價格等都會影響需求。我們現(xiàn)在不考慮價格以外的其它因素（把其它因素對需求的影響看作不變的），只研究需求與價格的關(guān)系。（1）需求函數(shù)5、需求函數(shù)與供給函數(shù)“需求”指在一定價格條件下，26設(shè)P表示商品價格，Q表示需求量，那么有Q=f(P)(P為自變量，Q為因變量)稱為需求函數(shù)

一般說來，商品價格低，需求大；商品價高，需求小。因此需求函數(shù)Q=f(P)是單調(diào)減少函數(shù)。

因Q=f(P)

單調(diào)減少，所以有反函數(shù)，也稱為需求函數(shù)。設(shè)P表示商品價格，Q表示需求量，那么有Q=f(P)(P27用D來表示需求曲線用D來表示需求曲線28

需求函數(shù)的邊際函數(shù)稱為邊際需求。例若已知需求函數(shù)為則邊際需求函數(shù)為

當(dāng)P=4時，稱為P=4時的邊際需求，它的經(jīng)濟(jì)含義表示：當(dāng)價格P=4時，價格上漲（或下跌）1個單位時，需求將減少（或增加）4個單位。需求函數(shù)的邊29（2）供給函數(shù)

“供給”指在一定條價格條件下，生產(chǎn)者愿意出售并且有可供出售的商品量。

供給也是由多種因素決定的，這里略去價格以外的其它因素，只討論供給與價格的關(guān)系。設(shè)P表示商品價格,Q表示供給量,那么有(P為自變量,Q為因變量)稱為供給函數(shù).（2）供給函數(shù)“供給”指在一定條價格條件下，生產(chǎn)30

一般說來,商品價格低，生產(chǎn)者不愿意生產(chǎn)，供給少；商品價格高，供給多。因此一般供給函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù)。所以有反函數(shù)，也稱為供給函數(shù)。一般說來,商品價格低，生產(chǎn)者不愿意生產(chǎn)，供給少；31（1）均衡價格

均衡價格是市場上需求量與供給量相等時的價格，此時需求量與供給量稱為均衡商品量。（1）均衡價格均衡價格是市場上需求量與供給量相等32

當(dāng)時，此時消費(fèi)者購買的商品量會大于生產(chǎn)者愿意出賣的商品量，市場上出現(xiàn)“供不應(yīng)求”，商品短缺，會形成搶購、黑市等情況，這種狀況不會持久，必然導(dǎo)致價格上漲。當(dāng)

時，此時消費(fèi)者購買的商品量會小于生產(chǎn)者愿意出賣的商品量，市場上出現(xiàn)“供過于求”，商品滯銷。這種狀況不會持久，必然導(dǎo)致價格下跌?？傊?，市場上的商品價格將圍繞均衡價格擺動。當(dāng)時，此時消費(fèi)者336、需求彈性與供給彈性

定義4.6某商品需求函數(shù)在處可導(dǎo)，稱為該商品在與兩點(diǎn)間的需求彈性。記作6、需求彈性與供給彈性定義4.6某商品需求函34稱為該商品在處的需求彈性。記作稱為該商品在處的需求彈性。記作35例1已知某商品需求函數(shù)，求（1）從P=30到P=20，50各點(diǎn)間的需求彈性；（2）P=30時的需求彈性，并指出其經(jīng)濟(jì)含義。例1已知某商品需求函數(shù)36例2設(shè)某商品需求函數(shù)為，求（1）需求彈性函數(shù)；（2）P=3，P=5，P=6時的需求彈性，并指出其經(jīng)濟(jì)含義。例2設(shè)某商品需求函數(shù)為，37定義4.7某商品供給函數(shù)在處可導(dǎo)，稱為該商品在與兩點(diǎn)間的供給彈性。記作定義4.7某商品供給函數(shù)38稱為該商品在處的供給彈性。記作稱為該商品在處的供給彈性。記作397、用需求彈性分析總收益（或市場銷售總額）的變化總收益R是商品價格P與銷售量Q的乘積，即7、用需求彈性分析總收益（或市場銷售總額）的變化總收益R是商40（1）若，需求變動的幅度小于價格變動的幅度，此時，，遞增。即價格上漲，總收益增加；價格下跌，總收益減少。（2）若，需求變動的幅度大于價格變動的幅度，此時，，遞減。即價格上漲，總收益減少；價格下跌，總收益增加。（3）若，需求變動的幅度等于價格變動的幅度，此時，取得最大值。（1）若，需求變動的幅度小于價41

由上所述，總收益的變化受需求彈性的制約，隨商品需求彈性的變化而變化，其關(guān)系如下圖所示由上所述，總收益的變化受需求彈性的制約，隨商品42例設(shè)某商品需求函數(shù)為(1)求需求彈性函數(shù);(2)求P=6時的需求彈性;(3)在P=6時,若價格上漲1%,總收益增加還是減少?將變化百分之幾?(4)P為何值時,總收益最大?最大的總收益是多少?例設(shè)某商品需求函數(shù)為(1)求需求彈性函數(shù);43一、函數(shù)變化率----邊際函數(shù)二、成本三、收益四、函數(shù)的相關(guān)變化率----函數(shù)的彈性4.8變化率及相對變化率在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用-----邊際分析與彈性分析介紹一、函數(shù)變化率----邊際函數(shù)4.8變化率及相對變化率在441、邊際函數(shù)

設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)也稱為邊際函數(shù)。 稱為在內(nèi)的平均變化率，它表示在內(nèi)的平均變化速度。

1、邊際函數(shù)設(shè)函數(shù)可45在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)稱為在點(diǎn)處的變化率，也稱為在點(diǎn)處的邊際函數(shù)值。它表示在點(diǎn)處的變化速度。在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)46

在點(diǎn)處，從改變一個單位，相應(yīng)改變的真值應(yīng)為。但當(dāng)x改變的“單位”很小時，或x的“一個單位”與值相對來比很小時，則有

當(dāng)時，標(biāo)志著由減少一個單位在點(diǎn)處，從改變一個單位，47

這說明在點(diǎn)處，當(dāng)產(chǎn)生一個單位的改變時，近似改變個單位。在應(yīng)用問題中解釋邊際函數(shù)值的具體意義時我們略去“近似”二字這說明在點(diǎn)處，當(dāng)48

例1函數(shù)，在點(diǎn)處的邊際函數(shù)值，它表示當(dāng)時,改變一個單位，（近似）改變20個單位。例1函數(shù)49例2設(shè)某產(chǎn)品成本函數(shù)C=C(Q)(C為總成本，Q為產(chǎn)量），其變化率稱為邊際成本。稱為當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到時的邊際成本。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家對它的解釋是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到時，生產(chǎn)前最后一個單位產(chǎn)品所增添的成本。例2設(shè)某產(chǎn)品成本函數(shù)C=C(Q)(C為總502、成本

某產(chǎn)品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源投入（勞力、原料、設(shè)備等）的價格或費(fèi)用總額。它由固定成本與可變成本組成。

平均成本是生產(chǎn)一定量產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品的成本。

邊際成本是總成本的變化率，即總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、成本某產(chǎn)品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需51設(shè)C為總成本,為固定成本,為可變成本，為平均成本，為邊際成本，Q為產(chǎn)量，則有總成本函數(shù)

平均成本函數(shù)邊際成本函數(shù)設(shè)C為總成本,為固定成本,52例1已知某產(chǎn)品的成本函數(shù)為求：當(dāng)Q=10時的總成本、平均成本及邊際成本。例2例1中的商品，當(dāng)產(chǎn)量Q為多少時，平均成本最??？例1已知某產(chǎn)品的成本函數(shù)為求：當(dāng)Q=10時的總533、收益總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入。平均收益是生產(chǎn)者出售一定量的產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品所得到的收入。即單位商品的售價。邊際收益為總收益的變化率。3、收益總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全54總收益，平均收益，邊際收益均為產(chǎn)量的函數(shù)設(shè)P為商品價格，Q為商品量，R為總收益，為邊際收益。則有需求函數(shù)P=P(Q)總收益函數(shù)R=R(Q)平均收益函數(shù)邊際收益函數(shù)總收益，平均收益，邊際收益均為產(chǎn)量的函數(shù)設(shè)P為商品價格55需求與收益的關(guān)系有：需求與收益的關(guān)系有：56

總收益與平均收益的關(guān)系為：總收益與邊際收益的關(guān)系為：總收益與平均收益的關(guān)系為：總收益與邊際收益的關(guān)系為：57例1設(shè)某產(chǎn)品的價格與銷售量的關(guān)系為P=10-Q/5，求銷售量為30時的總收益、平均收益與邊際收益。例1設(shè)某產(chǎn)品的價格與銷售量的關(guān)系為P=158下面討論最大利潤原則：設(shè)總利潤為L，則

L=L(Q)=R(Q)-C(Q)L(Q)取得最大值的必要條件為：，即

于是可取得最大利潤的必要條件是：邊際收益等于邊際成本。下面討論最大利潤原則：設(shè)總利潤為L，則L=L(Q)=59

L(Q)取得最大值的充分條件為：

即

于是可取得最大利潤的充分條件是：邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率。L(Q)取得最大值的充分條件為：于是可取60例2已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為P=10-Q/5，成本函數(shù)為C=50+2Q,求產(chǎn)量為多少時總利潤L最大？并驗(yàn)證是否符合最大利潤原則。

例2已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為P=10-Q/5，成61例3某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元。已知總收益R是年產(chǎn)量Q的函數(shù)

問每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時，總利潤最大？此時總利潤是多少？例3某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，固定成本為20000元，624、函數(shù)的相關(guān)變化率----函數(shù)的彈性前面所談的函數(shù)改變量與函數(shù)變化率是絕對改變量與絕對變化率，但是從實(shí)踐中可看到，僅僅研究此是不夠的。比如，商品a每單位價格10元，漲價1元；商品b每單位價格是1000元，也漲價1元，兩種商品價格的絕對改變量都是1元，但各自與其原價相比，兩者漲價的百分比卻有很大的不同，商品a漲了10%，而商品b漲了0.1%。因此有必要研究函數(shù)的相對改變量與相對變化率。4、函數(shù)的相關(guān)變化率----函數(shù)的彈性前面所談63從到兩點(diǎn)間的相對變化

定義4.5設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)的相對改變量，與自變量的相對改變量之比，稱為函數(shù)率，或稱為兩點(diǎn)間的彈性。從到64當(dāng)時，的極限稱為在處的相對變化率，也就是相對導(dǎo)數(shù)，或稱彈性。即=記作，或當(dāng)時，65對一般的x，若f(x)可導(dǎo)，則有是x的函數(shù)，稱為f(x)的彈性函數(shù)。函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的彈性反映隨x的變化f(x)變化幅度的大小，也就是f(x)對x變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度或靈敏度。對一般的x，若f(x)可導(dǎo)，則有是x的函數(shù)，稱為f(x)的彈66表示在點(diǎn)處，當(dāng)x產(chǎn)生1%的改變時，f(x)近似改變%。在應(yīng)用問題中解釋彈性的具體意義時，我們也略去“近似”二字。注意：兩點(diǎn)間的彈性是有方向性的，因?yàn)椤跋鄬π浴笔菍Τ跏贾刀缘摹１硎驹邳c(diǎn)處，當(dāng)67例1求函數(shù)在處的彈性。例2求函數(shù)的彈性函數(shù)及例3求冪函數(shù)（為常數(shù)）的彈性函數(shù)。（該函數(shù)稱為不變彈性函數(shù)）例1求函數(shù)在685、需求函數(shù)與供給函數(shù)

“需求”指在一定價格條件下，消費(fèi)者愿意購買并且有支付能力購買的商品量。

消費(fèi)者對某種商品的需求是多種因素決定的,商品的價格是影響需求的一個主要因素,但還有許多其他因素,如消費(fèi)者收入的增減,其它代用品的價格等都會影響需求。我們現(xiàn)在不考慮價格以外的其它因素（把其它因素對需求的影響看作不變的），只研究需求與價格的關(guān)系。（1）需求函數(shù)5、需求函數(shù)與供給函數(shù)“需求”指在一定價格條件下，69設(shè)P表示商品價格，Q表示需求量，那么有Q=f(P)(P為自變量，Q為因變量)稱為需求函數(shù)

一般說來，商品價格低，需求大；商品價高，需求小。因此需求函數(shù)Q=f(P)是單調(diào)減少函數(shù)。

因Q=f(P)

單調(diào)減少，所以有反函數(shù)，也稱為需求函數(shù)。設(shè)P表示商品價格，Q表示需求量，那么有Q=f(P)(P70用D來表示需求曲線用D來表示需求曲線71

需求函數(shù)的邊際函數(shù)稱為邊際需求。例若已知需求函數(shù)為則邊際需求函數(shù)為

當(dāng)P=4時，稱為P=4時的邊際需求，它的經(jīng)濟(jì)含義表示：當(dāng)價格P=4時，價格上漲（或下跌）1個單位時，需求將減少（或增加）4個單位。需求函數(shù)的邊72（2）供給函數(shù)

“供給”指在一定條價格條件下，生產(chǎn)者愿意出售并且有可供出售的商品量。

供給也是由多種因素決定的，這里略去價格以外的其它因素，只討論供給與價格的關(guān)系。設(shè)P表示商品價格,Q表示供給量,那么有(P為自變量,Q為因變量)稱為供給函數(shù).（2）供給函數(shù)“供給”指在一定條價格條件下，生產(chǎn)73

一般說來,商品價格低，生產(chǎn)者不愿意生產(chǎn)，供給少；商品價格高，供給多。因此一般供給函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù)。所以有反函數(shù)，也稱為供給函數(shù)。一般說來,商品價格低，生產(chǎn)者不愿意生產(chǎn)，供給少；74（1）均衡價格

均衡價格是市場上需求量與供給量相等時的價格，此時需求量與供給量稱為均衡商品量。（1）均衡價格均衡價格是市場上需求量與供給量相等75

當(dāng)時，此時消費(fèi)者購買的商品量會大于生產(chǎn)者愿意出賣的商品量，市場上出現(xiàn)“供不應(yīng)求”，商品短缺，會形成搶購、黑市等情況，這種狀況不會持久，必然導(dǎo)致價格上漲。當(dāng)

時，此時消費(fèi)者購買的商品量會小于生產(chǎn)者愿意出賣的商品量，市場上出現(xiàn)“供