2020高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) .1. 函數(shù)的奇偶性練習(xí)（含解析）第一冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE19-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。1.3最新課程標準：結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義。知識點偶、奇函數(shù)1．偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y＝f（x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x,都有－x∈D，且f(－x)＝f（x)，則稱y＝f（x）為偶函數(shù)．2．奇函數(shù)一般地,設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f（x),則稱y＝f（x）為奇函數(shù)．3．奇、偶函數(shù)的圖像特征（1）奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖像是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．（2)偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱,則這個函數(shù)是偶函數(shù)．eq\x(狀元隨筆）奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，反之，若定義域不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)一定不具有奇偶性．[基礎(chǔ)自測］1．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．f（－x)＋f(x）＝0B．f（－x)－f（x)＝0C．f(x)·f(－x）<0D．f（0）＝0解析:由偶函數(shù)的定義知f（－x)＝f(x),所以f（－x）－f(x）＝0,f(－x）＋f(x)＝0不一定成立．f（－x)·f（x）＝[f(x）]2≥0，f(0)＝0不一定成立．故選B.答案：B2．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(）A．y＝｜x|B．y＝3－xC．y＝eq\f(1，x3）D．y＝－x2＋14解析:A、D兩項，函數(shù)均為偶函數(shù)，B項中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而C項中函數(shù)為奇函數(shù)．答案：C3．若函數(shù)y＝f(x），x∈［－2，a］是偶函數(shù)，則a的值為（）A．－2B．2C．0D．不能確定解析：因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以－2＋a＝0，所以a＝2.答案：B4．下列圖像表示的函數(shù)是奇函數(shù)的是________，是偶函數(shù)的是________．(填序號)解析：(1）(3)關(guān)于y軸對稱是偶函數(shù)，(2)（4)關(guān)于原點對稱是奇函數(shù)．答案:(2)(4）（1）（3)題型一函數(shù)奇偶性的判斷[教材P102例1]例1判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性:(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f（x）＝x2＋1；（3)f（x)＝x＋1；（4)f（x)＝x2，x∈［－1，3］．【解析】（1)因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，－x∈R.又因為f（－x)＝(－x)＋（－x）3＋（－x）5＝－(x＋x3＋x5）＝－f（x),所以函數(shù)f(x）＝x＋x3＋x5是奇函數(shù)．(2)因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，－x∈R.又因為f(－x）＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f（x)，所以函數(shù)f（x）＝x2＋1是偶函數(shù)．(3）因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時,－x∈R.又因為f（－1)＝0，f（1)＝2，所以f（－1）≠f（1)且f(－1)≠－f（1），因此函數(shù)f(－x）＝－x＋1既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)．(4)因為函數(shù)的定義域為[－1,3]，而3∈［－1，3］，但－3?［－1,3］，所以函數(shù)f(x）＝x2，x∈［－1,3］既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).教材反思函數(shù)奇偶性判斷的方法（1）定義法：(2)圖像法：若函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱,則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)．此法多用在解選擇、填空題中．跟蹤訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x）＝x2（x2＋2)；(2)f（x)＝|x＋1|－|x－1|；(3）f(x）＝eq\f（\r（1－x2)，x);(4）f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1，x>0，,－x＋1,x〈0。))解析:（1）∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝（－x）2[（－x）2＋2］＝x2（x2＋2)＝f（x），∴f(x)為偶函數(shù)．(2）∵x∈R，∴－x∈R。又∵f（－x）＝|－x＋1|－｜－x－1|＝｜x－1｜－｜x＋1|＝－(|x＋1｜－|x－1｜)＝－f（x）,∴f（x）為奇函數(shù)．(3)f（x)的定義域為［－1,0）∪(0，1］．即有－1≤x≤1且x≠0,則－1≤－x≤1，且－x≠0,又∵f(－x)＝eq\f(\r（1－－x2)，－x）＝－eq\f（\r（1－x2），x）＝－f（x)，∴f(x)為奇函數(shù)．（4)f（x）的定義域是(－∞，0）∪(0，＋∞），關(guān)于原點對稱．當x>0時,－x<0，f（－x)＝1－（－x)＝1＋x＝f(x)；當x〈0時，－x>0，f(－x)＝1＋（－x)＝1－x＝f（x)．綜上可知，對于x∈(－∞,0）∪（0,＋∞），都有f（－x）＝f(x）,f（x)為偶函數(shù)．先求函數(shù)定義域，再根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷．題型二函數(shù)奇偶性的圖像特征［經(jīng)典例題］例2設(shè)奇函數(shù)f(x）的定義域為[－5，5］，若當x∈[0,5]時，f（x）的圖像如圖，則不等式f（x）〈0的解集是________．【解析】由奇函數(shù)的性質(zhì)知，其圖像關(guān)于原點對稱，則f(x)在定義域[－5，5］上的圖像如圖，由圖可知不等式f（x）〈0的解集為{x|－2〈x<0或2〈x≤5｝．【答案】{x｜－2<x〈0或2<x≤5}根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱作圖，再求出f(x)<0的解集．方法歸納根據(jù)奇偶函數(shù)在原點一側(cè)的圖像求解與函數(shù)有關(guān)的值域、定義域、不等式問題時，應(yīng)根據(jù)奇偶函數(shù)圖像的對稱性作出函數(shù)在定義域另一側(cè)的圖像，根據(jù)圖像特征求解問題．跟蹤訓(xùn)練2如圖，給出了偶函數(shù)y＝f（x)的局部圖像，試比較f（1)與f(3)的大?。馕觯悍椒ㄒ灰蚝瘮?shù)f（x)是偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于y軸對稱，補全圖如圖．由圖像可知f(1）〈f（3）．方法二由圖像可知f(－1)〈f（－3)．又函數(shù)y＝f（x)是偶函數(shù)，所以f（－1)＝f（1),f（－3）＝f(3），故f(1)〈f（3)．方法一是利用偶函數(shù)補全圖像，再比較f（1)與f（3）的大小;方法二f(1)＝f(－1）,f（3）＝f(－3），觀察圖像判斷大小．題型三利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)[經(jīng)典例題］例3(1)設(shè)函數(shù)f（x)＝eq\f（x＋1x＋a，x)為奇函數(shù),則a＝________；(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x>0,,ax2＋x，x<0))是奇函數(shù)，則a＝________?！窘馕觥浚?）方法一(定義法)由已知f(－x)＝－f(x），即eq\f(－x＋1－x＋a，－x）＝－eq\f(x＋1x＋a,x)。顯然x≠0得，x2－（a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1）x＋a,故a＋1＝0，得a＝－1.方法二（特值法)由f（x）為奇函數(shù)得f（－1）＝－f（1)，即eq\f(－1＋1－1＋a，－1）＝－eq\f(1＋11＋a,1），整理得a＝－1.（2)(特值法)由f(x)為奇函數(shù),得f(－1)＝－f（1)，即a×(－1）2＋（－1）＝－(－12＋1）,整理得a－1＝0，解得a＝1.【答案】(1)－1（2）1利用定義法求a,也可利用特值法f(－1)＝－f(1）．方法歸納由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)應(yīng)注意兩點(1)函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)的奇偶性的一種方法，也是在已知函數(shù)奇偶性時可以運用的一個性質(zhì),要注意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用．(2)利用常見函數(shù)如一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)具有奇偶性的條件也可求得參數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3(1）若函數(shù)f（x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域為［a－2，2a］，則a＝________，（2)已知函數(shù)f（x）＝ax2＋2x是奇函數(shù),則實數(shù)a＝________。解析:(1)由f（x)為偶函數(shù)知，其定義域關(guān)于原點對稱，故有a－2＋2a＝0，解得a＝eq\f（2，3）.又f（x)為偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于y軸對稱，即－eq\f(b,2a）＝0，解得b＝0。（2）由f（x）為奇函數(shù)得f（－x）＝－f（x），即f(－x）＋f（x）＝0，所以a(－x）2＋2（－x）＋ax2＋2x＝0.即2ax2＝0，所以a＝0。答案：（1）eq\f（2,3)0（2）0(1）函數(shù)具有奇偶性,定義域必須關(guān)于（0,0）對稱．（2）f（0）＝0?題型四函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用[經(jīng)典例題]例4已知奇函數(shù)y＝f（x)，x∈（－1，1），在(－1，1）上是減函數(shù)，解不等式f（1－x）＋f（1－3x）<0?！窘馕觥俊遹＝f（x)，x∈(－1，1）是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f（x），∴f(1－x)＋f（1－3x)〈0可化為f（1－x)<－f(1－3x），即f（1－x）〈f(3x－1)．又∵y＝f(x）在（－1,1)上是減函數(shù)，∴f(1－x）<f（3x－1）?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－1<1－x<1，，－1〈1－3x<1，,1－x>3x－1））?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x〈2，，0〈3x<2,，x<\f(1,2)）)?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0〈x〈2，，0<x<\f(2,3），，x〈\f(1,2）,））∴0〈x〈eq\f(1,2）.即不等式解集為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(1,2）))。eq\x（狀元隨筆)1.由奇函數(shù)得f（－x）＝－f(x)．2．函數(shù)單調(diào)遞減，若f（x1）<f(x2)得x1>x2.3．定義域易忽略.方法歸納1．函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系(1）若f（x）是奇函數(shù)，且f（x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x）在[－b，－a］上也為單調(diào)函數(shù),且具有相同的單調(diào)性．（2)若f(x)是偶函數(shù)，且f（x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f（x)在[－b，－a]上也為單調(diào)函數(shù)，且具有相反的單調(diào)性．2．利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法（1)充分利用已知的條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f（x1)>f（x2)或f(x1）〈f（x2）的形式，再利用單調(diào)性脫掉“f”求解．(2）在對稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，求解即可，同時要注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響．跟蹤訓(xùn)練4(1)已知函數(shù)y＝f（x）在定義域[－1,1］上是奇函數(shù)，又是減函數(shù),若f（1－a2)＋f（1－a)〈0,求實數(shù)a的取值范圍．（2)定義在［－2，2]上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0,2］上單調(diào)遞減，若f（1－m）〈f（m)，求實數(shù)m的取值范圍．解析:（1)由f(1－a2）＋f(1－a)<0，得f(1－a2）〈－f(1－a）．∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函數(shù)，∴－f(1－a)＝f(a－1），∴f(1－a2）<f（a－1)．又f（x)在［－1,1]上單調(diào)遞減，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－1≤1－a2≤1，,－1≤1－a≤1，,－1≤a－1≤1，，1－a2〉a－1,))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a2≤2，，0≤a≤2，，－2〈a〈1。）)∴0≤a〈1.∴a的取值范圍是[0,1)．（2)∵函數(shù)f(x）是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(｜x｜）．∴f(1－m）＝f(｜1－m|)，f(m）＝f（|m|)．∴原不等式等價于eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，，－2≤m≤2，,｜1－m|〉｜m|，)）解得－1≤m<eq\f（1,2）.∴實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1，2))).eq\x(狀元隨筆)(1）可利用奇偶性把所給的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小關(guān)系,再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的關(guān)系．（2）兩個自變量1－m，m不一定屬于同一單調(diào)區(qū)間，可考慮用絕對值表示來處理．課時作業(yè)18一、選擇題1．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A．y＝2x2－3B．y＝x3C．y＝x2,x∈[0,1］D．y＝x解析：對于A，f（－x）＝2(－x）2－3＝2x2－3＝f(x）,∴f(x）是偶函數(shù)，B，D都為奇函數(shù)，C中定義域不關(guān)于原點對稱,函數(shù)不具備奇偶性，故選A。答案:A2．函數(shù)f(x)＝eq\f（1,x)－x的圖像（）A．關(guān)于y軸對稱B．關(guān)于直線y＝x對稱C．關(guān)于坐標原點對稱D．關(guān)于直線y＝－x對稱解析：∵f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞），關(guān)于原點對稱，且f(－x)＝－eq\f（1,x)－（－x）＝x－eq\f(1,x)＝－f(x)，∴f(x）是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱．答案：C3．如圖,給出奇函數(shù)y＝f（x)的局部圖像,則f(－2)＋f(－1）的值為()A．－2B．2C．1D．0解析:由圖知f(1）＝eq\f(1,2)，f（2)＝eq\f(3，2），又f(x）為奇函數(shù)，所以f（－2）＋f(－1）＝－f（2）－f(1)＝－eq\f（3,2）－eq\f（1,2）＝－2.故選A.答案：A4．已知f（x）＝ax3＋bx＋1(ab≠0），若f（2019)＝k,則f（－2019)＝(）A．kB．－kC．1－kD．2－k解析：∵f(2019)＝a·20193＋b·2019＋1＝k，∴a·20193＋b·2019＝k－1，則f（－2019）＝a(－2019）3＋b·(－2019）＋1＝－[a·20193＋b·2019]＋1＝2－k.答案：D二、填空題5．已知f(x）＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a］上的偶函數(shù)，那么a＋b解析：∵f(x）＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a∴a－1＋2a＝0，∴a＝eq\f（1，3）。又f（－x）＝f（x），∴b＝0,∴a＋b＝eq\f（1,3)。答案：eq\f(1，3）6．已知y＝f（x)是奇函數(shù)，當x〈0時，f（x)＝x2＋ax，且f（3)＝6，則a的值為________．解析：因為f(x)是奇函數(shù),所以f（－3）＝－f（3）＝－6，所以(－3）2＋a（－3)＝－6，解得a＝5.答案：57．定義在R上的奇函數(shù)y＝f（x)在（0，＋∞）上遞增,且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2))）＝0,則滿足f(x）>0的x的集合為____________．解析：由奇函數(shù)y＝f（x)在(0，＋∞)上遞增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）））＝0，得函數(shù)y＝f(x）在(－∞，0）上遞增，且feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2))）＝0，∴x>eq\f（1,2)或－eq\f（1，2）〈x〈0。答案：eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x－\f(1，2）〈x<0或x>\f(1,2)))三、解答題8．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)＝eq\f（x3－x2，x－1);（2）f（x)＝x2－x3；(3）f(x）＝｜x－2|－｜x＋2｜；（4)f(x）＝x2＋eq\f（a,x）（x≠0，a∈R）．解析：(1）∵函數(shù)f(x)＝eq\f(x3－x2，x－1）的定義域為{x|x∈R且x≠1｝,定義域不關(guān)于原點對稱,∴該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（2）f（x）的定義域為R，是關(guān)于原點對稱的．∵f(－x)＝(－x）2－（－x）3＝x2＋x3,又－f(x）＝－x2＋x3，∴f（－x）既不等于f（x），也不等于－f(x)．故f（x）＝x2－x3既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（3）方法一(定義法）函數(shù)f（x)＝|x－2|－｜x＋2|的定義域為R,關(guān)于原點對稱．∵f（－x)＝|－x－2|－｜－x＋2|＝|x＋2｜－|x－2｜＝－(|x－2|－|x＋2|）＝－f(x），∴函數(shù)f(x）＝｜x－2|－｜x＋2｜是奇函數(shù)．方法二(根據(jù)圖像進行判斷)f(x）＝｜x－2|－|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－4，x≥2,,－2x，－2〈x<2，,4，x≤－2，)）畫出圖像如圖所示,圖像關(guān)于原點對稱,因此函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．（4)當a＝0時，f(x）＝x2為偶函數(shù)．當a≠0時，f（x)＝x2＋eq\f（a，x）（x≠0),取x＝±1，得f（－1)＋f（1）＝2≠0,f（－1）－f（1)＝－2a≠0,即f(－1)≠－f（1)，f(－1)≠f(1)，∴函數(shù)