2020高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) .1.1 函數(shù)及其表示方法（第課時）分段函數(shù)教師用書 第一冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第3課時分段函數(shù)考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)分段函數(shù)求值理解分段函數(shù)的概念，會求分段函數(shù)的函數(shù)值數(shù)學(xué)運(yùn)算分段函數(shù)的圖像能畫出分段函數(shù)的圖像,并會應(yīng)用解決問題直觀想象問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P90－P92的內(nèi)容,思考以下問題：1．什么是分段函數(shù)?2．分段函數(shù)是一個函數(shù)還是多個函數(shù)?1．分段函數(shù)如果一個函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應(yīng)方式,則稱其為分段函數(shù)．■名師點(diǎn)撥（1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)．處理分段函數(shù)問題時，要先確定自變量的取值在哪個區(qū)間，從而選取相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系．（2)分段函數(shù)在書寫時要用大括號把各段函數(shù)合并寫成一個函數(shù)的形式，并且必須指明各段函數(shù)自變量的取值范圍．(3)分段函數(shù)的定義域是所有自變量取值區(qū)間的并集，分段函數(shù)的定義域只能寫成一個集合的形式，不能分開寫成幾個集合的形式．(4)分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)在對應(yīng)自變量的取值范圍內(nèi)值域的并集．2．分段函數(shù)的圖像分段函數(shù)有幾段，它的圖像就由幾條曲線組成．在同一直角坐標(biāo)系中,根據(jù)每段的定義區(qū)間和表達(dá)式依次畫出圖像，要注意每段圖像的端點(diǎn)是空心點(diǎn)還是實心點(diǎn)，組合到一起就得到整個分段函數(shù)的圖像．■名師點(diǎn)撥在畫每一段函數(shù)圖像時，可以先不管定義域的限制，用虛線作出其圖像，再用實線保留其在該段定義區(qū)間內(nèi)的相應(yīng)圖像即可，即“分段作圖”．3．常數(shù)函數(shù)值域只有一個元素的函數(shù)，通常稱為常數(shù)函數(shù)．判斷正誤（正確的打“√”,錯誤的打“×”）（1)分段函數(shù)由幾個函數(shù)構(gòu)成．（）（2）函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1,x≥0，,－1，x〈0)）是分段函數(shù)．()(3)分段函數(shù)的定義域是各段上自變量取值的并集．()答案:(1)×(2)√（3)√下列給出的式子是分段函數(shù)的是（)①f（x）＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x2＋1，1≤x≤5，，2x，x<1。））②f（x）＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＋1，x∈R，,x2，x≥2.)）③f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3,1≤x≤5，,x2，x≤1.)）④f(x）＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x2＋3，x〈0，，x－1，x≥5.））A．①② B．①④C．②④ D．③④答案:B已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)，x<－1，，\r(x－1)，x〉1,））則f（2）等于()A．0 B．eq\f(1,3）C．1 D．2解析：選C.f（2)＝eq\r(2－1）＝1。函數(shù)y＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x2，x>0，,－2,x〈0））的定義域為______________，值域為______________．答案：(－∞,0)∪(0，＋∞）｛－2}∪（0，＋∞）分段函數(shù)的定義域、值域(1)已知函數(shù)f（x）＝eq\f(|x|，x),則其定義域為()A．R B．（0，＋∞）C．（－∞，0） D．（－∞,0）∪（0，＋∞）（2）函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（－x2＋1，0<x<1,，0，x＝0，，x2－1，－1<x<0）)的定義域為________,值域為________．【解析】(1)要使f(x）有意義，需x≠0，故定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞）．(2)由已知得,f(x）的定義域為{x｜0<x<1｝∪{0｝∪{x|－1<x<0｝＝{x｜－1〈x〈1｝，即(－1,1），又0〈x〈1時，0〈－x2＋1<1，－1<x<0時，－1〈x2－1<0，x＝0時，f(x）＝0，故值域為（－1，0)∪｛0}∪（0，1）＝（－1，1）．【答案】(1)D（2)(－1，1)（－1，1）eq\a\vs4\al（)（1)分段函數(shù)定義域、值域的求法①分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集；②分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的并集．（2）絕對值函數(shù)的定義域、值域通常要轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來解決．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x2，－1≤x≤1，，1，x〉1或x〈－1，))則函數(shù)的定義域為________，值域為________．解析：由已知得，f(x)的定義域為[－1，1]∪(1，＋∞)∪（－∞,－1)＝R,又x∈［－1，1］時,x2∈［0，1],故函數(shù)的值域為［0，1]．答案：R［0，1］分段函數(shù)的求值問題已知函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＋1,x≤－2，,x2＋2x，－2<x〈2,,2x－1，x≥2。）)試求f(－5)，f（－eq\r（3)）,feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（5，2））））)的值．【解】由－5∈（－∞，－2］，－eq\r（3)∈（－2，2），－eq\f（5,2）∈（－∞,－2］，知f(－5）＝－5＋1＝－4，f(－eq\r（3))＝(－eq\r（3))2＋2（－eq\r（3））＝3－2eq\r(3）.因為feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（5，2)））＝－eq\f（5，2）＋1＝－eq\f(3,2），－2〈－eq\f（3,2)<2，所以feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(f\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2）)))）＝feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(3,2)))＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(3,2）））eq\s\up12(2)＋2×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（3，2)))＝eq\f(9，4）－3＝－eq\f(3，4).（變問法)本例條件不變，若f(a）＝3，求實數(shù)a的值．解:①當(dāng)a≤－2時，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2〉－2不合題意，舍去．②當(dāng)－2〈a〈2時,a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0，所以（a－1)(a＋3）＝0,所以a＝1或a＝－3。因為1∈（－2,2)，－3?（－2，2）,所以a＝1符合題意．③當(dāng)a≥2時，2a－1＝3，所以a＝2符合題意．綜合①②③知，當(dāng)f(a)＝3時，a＝1或a＝2。eq\a\vs4\al()(1）分段函數(shù)求函數(shù)值的方法①確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間;②代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)f（f（x0))的形式時,應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2）已知函數(shù)值求字母取值的步驟①先對字母的取值范圍分類討論;②然后代入到不同的解析式中；③通過解方程求出字母的值;④檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)．1．已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2，x〈2，，f（x－1）,x≥2，))則f（2）＝（)A．－1 B．0C．1 D．2解析:選A.f(2）＝f（2－1）＝f(1)＝1－2＝－1。2．已知f(x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＋2,x≥－2，，－x－2,x〈－2。）)若f（x）〉2,求x的取值范圍．解:當(dāng)x≥－2時，f(x)＝x＋2，由f（x)〉2,得x＋2〉2,解得x〉0,故x>0；當(dāng)x〈－2時，f（x)＝－x－2，由f（x)>2，得－x－2〉2,解得x〈－4，故x<－4。綜上可得:x>0或x<－4。分段函數(shù)的圖像及應(yīng)用角度一分段函數(shù)圖像的識別（2019·濟(jì)南檢測）函數(shù)y＝eq\f（x2，|x|)的圖像的大致形狀是（)【解析】因為y＝eq\f（x2,|x|)＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x，x〉0,,－x，x〈0，）)所以函數(shù)的圖像為選項A.【答案】A角度二分段函數(shù)圖像的畫法分別作出下列分段函數(shù)的圖像，并寫出定義域及值域．(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0〈x〈1,,x，x≥1.）)（2)y＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(3，x<－2，，－3x，－2≤x＜2，，－3，x≥2.))【解】各函數(shù)對應(yīng)圖像如圖所示：由圖像知，（1）的定義域是（0，＋∞)，值域是[1,＋∞)；(2）的定義域是（－∞,＋∞），值域是（－6,6］．角度三分段函數(shù)圖像的應(yīng)用某地區(qū)的電力緊缺，電力公司為鼓勵市民節(jié)約用電，采取按月用電量分段收費(fèi)辦法，若某戶居民每月應(yīng)交電費(fèi)y(元)關(guān)于用電量x(度）的函數(shù)圖像是一條折線（如圖所示），根據(jù)圖像解下列問題：(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2)利用函數(shù)關(guān)系式,說明電力公司采取的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)；（3）若該用戶某月用電62度，則應(yīng)交費(fèi)多少元?若該用戶某月交費(fèi)105元，則該用戶該月用了多少度電？【解】(1）當(dāng)0≤x≤100時，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y＝kx。將x＝100，y＝65代入,得k＝0。65，所以y＝0。65x。當(dāng)x〉100時,設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y＝ax＋b。將x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入,得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(100a＋b＝65,,130a＋b＝89，））解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a＝0。8,，b＝－15.))所以y＝0.8x－15.綜上可得y＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(0。65x,0≤x≤100，，0。8x－15，x〉100。)）（2)由(1)知電力公司采取的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：用戶月用電量不超過100度時，每度電0.65元；超過100度時，超出的部分,每度電0。80元．（3）當(dāng)x＝62時,y＝62×0。65＝40。3（元)；當(dāng)y＝105時，因為0。65×100＝65<105,故x〉100，所以105＝0。8x－15，x＝150。即若用戶月用電62度時,則用戶應(yīng)交費(fèi)40.3元;若用戶月交費(fèi)105元，則該用戶該月用了150度電．eq\a\vs4\al(）分段函數(shù)圖像的畫法(1）對含有絕對值的函數(shù)，要作出其圖像，首先應(yīng)根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖像．(2)作分段函數(shù)的圖像時，分別作出各段的圖像,在作每一段圖像時，先不管定義域的限制,作出其圖像,再保留定義域內(nèi)的一段圖像即可,作圖時要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實,保證不重不漏．已知函數(shù)f（x）＝eq\f（｜x｜－x，2）＋1（－2<x≤2)．（1)利用絕對值及分段函數(shù)知識，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)；(2)在坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖像，并寫出函數(shù)的值域．解：（1）①當(dāng)0≤x≤2時，f(x）＝eq\f（x－x，2)＋1＝1.②當(dāng)－2<x<0時，f（x）＝eq\f（－x－x,2）＋1＝－x＋1。故f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1,0≤x≤2，，－x＋1，－2〈x〈0.))(2)函數(shù)f（x)的圖像如圖所示：由圖可知，函數(shù)f(x)的值域為[1，3)．1．函數(shù)f（x）＝y(tǒng)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（2x2，0≤x≤1，,2，1〈x<2，，3，x≥2）)的值域是（)A．R B．［0,＋∞）C．[0,3］ D．｛y｜0≤y≤2或y＝3｝解析：選D。值域為[0，2］∪｛2｝∪｛3}＝{y｜0≤y≤2或y＝3｝．2．已知函數(shù)y＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x2＋1，x≤0，，－2x,x〉0,））則使函數(shù)值為5的x的值是(）A．－2 B．2或－eq\f（5,2)C．2或－2 D．2或－2或－eq\f(5,2）解析：選A.當(dāng)x≤0時，x2＋1＝5，x＝－2。當(dāng)x>0時，－2x<0，不合題意．故x＝－2。3．函數(shù)y＝x＋eq\f(|x|,x)的圖像是(）解析:選C.對于y＝x＋eq\f(|x｜，x），當(dāng)x〉0時，y＝x＋1；當(dāng)x<0時，y＝x－1.即y＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＋1,x>0,，x－1，x〈0,)）故其圖像應(yīng)為C.4．已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x2－4，0≤x≤2，，2x，x>2.)）(1）求f(2),f（f(2))的值；（2)若f（x0)＝8，求x0的值．解：(1）因為0≤x≤2時,f(x）＝x2－4，所以f(2)＝22－4＝0,f(f（2））＝f(0）＝02－4＝－4.（2)當(dāng)0≤x0≤2時，由xeq\o\al（2,0）－4＝8，得x0＝±2eq\r（3）(舍去）；當(dāng)x0〉2時，由2x0＝8，得x0＝4。所以x0＝4。[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．一列貨運(yùn)火車從某站出發(fā)，勻加速行駛一段時間后開始勻速行駛,過了一段時間，火車到達(dá)下一站停車，裝完貨以后,火車又勻加速行駛，一段時間后再次勻速行駛,下列圖像可以近似地刻畫出這列火車的速度變化情況的是（）解析:選B。根據(jù)題意,知這列火車從靜止開始勻加速行駛,所以排除A,D。然后勻速行駛一段時間后又停止了一段時間，排除C，故選B。2．設(shè)函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1,，\f（2，x），x〉1，)）則f(f（3））＝(）A.eq\f(1，5) B．3C.eq\f（2，3） D。eq\f(13,9)解析：選D。f(3)＝eq\f（2,3)，f（f(3))＝feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2,3）））＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2,3)））eq\s\up12(2)＋1＝eq\f(4,9)＋1＝eq\f(13,9).3．（2019·廣東深圳中學(xué)期中考試）已知函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＋2,x≤0，，x2，0〈x≤3，））若f（x）＝3,則x的值是()A.eq\r(3） B．9C．－1或1 D．－eq\r（3)或eq\r（3)解析：選A.依題意，若x≤0，則x＋2＝3，解得x＝1，不合題意，舍去．若0〈x≤3，則x2＝3,解得x＝－eq\r(3)（舍去）或x＝eq\r（3).故選A.4．函數(shù)f（x）＝x2－2|x|的圖像是（)解析：選C。f(x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，，x2＋2x，x〈0，））分段畫出，應(yīng)選C。5．已知函數(shù)f（x)的圖像是兩條線段(如圖所示，不含端點(diǎn)),則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（f\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))等于(）A．－eq\f（1,3) B。eq\f(1,3)C．－eq\f（2,3) D。eq\f(2，3）解析:選B.由題圖可知，函數(shù)f(x）的解析式為f（x）＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x－1,0<x〈1，，x＋1,－1〈x<0，)）所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，3））)＝eq\f(1，3）－1＝－eq\f（2,3），所以feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（f\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）)））)＝feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))）＝－eq\f（2,3)＋1＝eq\f(1，3).6．已知f(n）＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（n－3，n≥10,,f（f(n＋5)),n〈10，））則f(8）＝________．解析：因為8〈10,所以代入f(n)＝f（f(n＋5)），即f(8）＝f(f（13））．因為13>10，所以代入f（n）＝n－3，得f(13)＝10，故得f（8)＝f(10）＝10－3＝7.答案：77．已知函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(3x＋2,x<1,,x2－ax，x≥1,）)若f(f（0))＝a,則實數(shù)a＝________．解析：依題意知f（0）＝3×0＋2＝2，則f（f（0））＝f（2)＝22－2a＝a，求得a＝eq\f(4，3）。答案：eq\f(4，3）8．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定:每位職工每月用水量不超過10立方米的，按每立方米m元收費(fèi);用水量超過10立方米的,超過部分按每立方米2m元收費(fèi)．某職工某月交水費(fèi)16m元,則該職工這個月實際用水量為________立方米．解析：該單位職工每月應(yīng)交水費(fèi)y與實際用水量x滿足的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x＞10。）)由y＝16m,可知x＞10。令2mx－10m＝16m，解得x＝13.答案：139．已知f(x）＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，，1，x>1或x<－1。））(1）畫出f(x）的圖像；（2）若f（x)≥eq\f（1，4)，求x的取值范圍；（3)求f（x）的值域．解：(1）利用描點(diǎn)法，作出f(x)的圖像,如圖所示．（2)由于feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（±\f(1,2))）＝eq\f(1,4)，結(jié)合此函數(shù)圖像可知，使f（x)≥eq\f(1,4）的x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2），＋∞））.（3）由圖像知,當(dāng)－1≤x≤1時，f（x)＝x2的值域為[0，1］，當(dāng)x>1或x〈－1時，f(x)＝1。所以f(x）的值域為[0，1]．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＋4,x≤0，，x2－2x，0〈x≤4,,－x＋2，x〉4。））（1)求f（f(f（5)）)的值；(2)畫出函數(shù)f(x）的圖像．解：(1)因為5>4，所以f（5）＝－5＋2＝－3。因為－3〈0，所以f（f(5))＝f(－3）＝－3＋4＝1.因為0〈1<4，所以f(f（f(5)））＝f（1）＝12－2×1＝－1，即f(f(f（5))）＝－1.（2)圖像如圖所示．［B能力提升]11．已知f(x）＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(1,x≥0，,0,x<0，))則不等式xf（x)＋x≤2的解集是（）A．｛x|x≤1} B．｛x|x≤2}C．｛x|0≤x≤1｝ D．{x|x<0｝解析:選A。當(dāng)x≥0時，f(x)＝1,xf（x)＋x≤2?x≤1，所以0≤x≤1;當(dāng)x〈0時，f（x)＝0，xf(x）＋x≤2?x≤2，所以x<0.綜上,x≤1.12．已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，，－x－2a,x≥1，))若f（1－a)＝f（1＋a)，則a的值為________．解析：當(dāng)a>0時，1－a〈1，1＋a〉1，由f（1－a)＝f(1＋a）可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－eq\f(3，2)，不合題意；當(dāng)a<0時，1－a>1，1＋a<1，由f(1－a）＝f(1＋a）可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－eq\f(3,4）。答案：－eq\f（3,4)13．如圖，△OAB是邊長為4的正三角形，記△OAB位于直線x＝t（0〈t〈6)左側(cè)的圖形的面積為f（t），求函數(shù)f（t)的解析式．解：當(dāng)0<t≤2時，f（t)＝eq\f（1，2)×t×eq\r（3）t＝eq\f（\r（3）t2，2）；當(dāng)2<t≤4時，f(t）＝eq\f（1,2)×4×2eq\r(3）－eq\f(1，2)(4－t)×eq\r(3）(4－t)＝－eq\f（\r（3），2）t2＋4eq\r（3）t－4eq\r(3)；當(dāng)4<t〈6時，f（t)＝eq\f(1，2）×4×2eq\r（3)＝4eq\r（3）.所以函數(shù)f(t)的解析式為f（t)＝eq\b\lc\{(\a\vs