【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第12知識塊第1講 合情推理與演繹推理隨堂訓(xùn)練 文 新人教A版

第十二知識塊 推理與證明第1講合情推理與演繹推理一、選擇題1．下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”解析：由類比推理的特點(diǎn)，知C正確．答案：C2．(2010·模擬精選)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如：他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)，下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A．289B．1024C．1225解析：根據(jù)圖形的規(guī)律可知第n個(gè)三角形數(shù)為an＝eq\f(n(n＋1),2)，第n個(gè)正方形數(shù)為bn＝n2，由此可排除D(1378不是平方數(shù))．將A、B、C選項(xiàng)代入到三角形數(shù)表達(dá)式中檢驗(yàn)可知，符合題意的是C選項(xiàng)．答案：C3．觀察等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝eq\f(3,4)，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝eq\f(3,4)和sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝eq\f(3,4)，…，由此得出以下推廣命題不正確的是()A．sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝eq\f(3,4)B．sin2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cosα＝eq\f(3,4)C．sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝eq\f(3,4)D．sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4)解析：觀察已知等式不難發(fā)現(xiàn)，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，從而推斷錯(cuò)誤的命題為A.答案：A4．(2009·南京第一次調(diào)研)把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表．設(shè)aij(i，j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如a42＝8.若aij＝2009，則i與j的和為()A．105B．106C．107D．108解析：由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，2009＝2×1005－1，所以2009為第1005個(gè)奇數(shù)，又前31個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)的和為961，前32個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)的和為1024，故2009在第32個(gè)奇數(shù)行內(nèi)，所以i＝63，因?yàn)榈?3行的第一個(gè)數(shù)為2×962－1＝1923，2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.答案：C二、填空題5．(2009·青島二檢)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案：則第n個(gè)圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是________．解析：白色地面磚的塊數(shù)構(gòu)成以6為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，故第n個(gè)圖案中有白色地面磚6＋4(n－1)＝4n＋2(塊)．答案：4n＋26．(2010·廣東深圳調(diào)研)給出下列不等式：….請將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣，使上述不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為________．解析：由“23＋53＞22·5＋2·52”，“24＋54＞23·5＋2·可得推廣形式的最基本的印象：應(yīng)具有“□□＋□□＞□□·□□＋□□·□□”的形式．再分析底數(shù)間的關(guān)系，可得較細(xì)致的印象：應(yīng)具有“a□＋b□＞a□·b□＋a□·b□”的形式．再分析指數(shù)間的關(guān)系，可得準(zhǔn)確的推廣形式：am＋n＋bm＋n＞ambn＋anbm(a，b＞0，a≠b，m，n＞0)．答案：am＋n＋bm＋n＞ambn＋anbm(a，b＞0，a≠b，m，n＞0)7．對于等差數(shù)列{an}有如下命題：“若{an}是等差數(shù)列，a1＝0，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有(s－1)at＝(t－1)as”．類比此命題，給出等比數(shù)列{bn}相應(yīng)的一個(gè)正確命題是：“______________________________________________”．答案：若{bn}是等比數(shù)列，b1＝1，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有beq\o\al(s－1,t)＝beq\o\al(t－1,s)8．(2010·山東聊城調(diào)研)橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對偶性質(zhì)，如對于橢圓有如下命題：AB是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的不平行于對稱軸且不過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2).那么對于雙曲線則有如下命題：AB是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的不平行于對稱軸且不過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則kOM·kAB＝________.解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2),y0＝\f(y1＋y2,2))).∵eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.兩式相減得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)，即eq\f((x1－x2)(x1＋x2),a2)＝eq\f((y1－y2)(y1＋y2),b2)，即eq\f((y1－y2)(y1＋y2),(x1－x2)(x1＋x2))＝eq\f(b2,a2)，即kOM·kAB＝eq\f(b2,a2).答案：eq\f(b2,a2)三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,a2－1)(ax－a－x)，a＞1.(1)用a表示f(2)，f(3)，并化簡；(2)比較f(2)－2與f(1)－1，f(3)－3與f(2)－2的大小，并由此歸納出一個(gè)更一般的結(jié)論(不要求寫出證明過程)．解：(1)f(2)＝a＋eq\f(1,a)，f(3)＝a2＋eq\f(1,a2)＋1.(2)因?yàn)閒(1)－1＝0，f(2)－2＝a＋eq\f(1,a)－2＞0，所以f(2)－2＞f(1)－1.因?yàn)閒(3)－3－[f(2)－2]＝eq\f((a－1)(a3－1),a2)＞0，所以f(3)－3＞f(2)－2.一般地，f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(n∈N*)．10．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2).通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并給出證明．解：一般性的命題為sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝eq\f(3,2).證明如下：左邊＝eq\f(1－cos(2α－120°),2)＋eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1－cos(2α＋120°),2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos(2α－120°)＋cos2α＋cos(2α＋120°)]＝eq\f(3,2)＝右邊．∴結(jié)論正確．1．(★★★★)設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，將此結(jié)論類比到空間四面體：設(shè)四面體S—ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，體積為V，則四面體的內(nèi)切球半徑r＝________.答案：eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)2．(2010·創(chuàng)新題)在計(jì)算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”時(shí)，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：先改寫第k項(xiàng)：k(k＋1)＝eq\f(1,3)[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得1×2＝eq\f(1,3)(1×2×3－0×1×2)，2×3＝eq\f(1,3)(2×3×4－1×2×3)．…n(n＋1)＝eq\f(1,3)[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝eq\f(1,3)n(n＋1)(n＋2)．類比上述方法，請你計(jì)算“1×3＋2×4＋…＋n(n＋2)”，其結(jié)果寫成關(guān)于n的一次因式的積的形式為________．解析：∵k(k＋2)＝eq\f(1,6)[k(k＋2)(k＋4)－(k－2)k(k＋2)]，∴1×3＋2×4＋3×5＋4×6＋5×7＋6×8＋…＋n(n＋2)＝eq\f(1,6)[1×3×5－(－1)×1×3＋2×4×6－0×2×4＋3×5×7－