高二數(shù)學(xué)：專題4-4 數(shù)列的求和（B卷提升篇）【解析版】

專題4.4數(shù)列的求和（B卷提升篇）（人教A版第二冊,浙江專用）參考答案與試題解析第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．（2020·全國高二課時練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的前n項和為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，因此，所以.故選:D2．（2020·成都市實驗外國語學(xué)校（西區(qū)）高一期中）已知函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前項和的公式的方法，可求得（）.A．25 B．26 C．13 D．【答案】C【解析】，，即，設(shè)，①則，②則①＋②得：，故.故選：C.3．（2020·廣東揭陽市·高二期中）已知函數(shù)且，則等于（）A．0 B．100 C．-100 D．10200【答案】B【解析】由已知條件知，即是奇數(shù)）故選：B．4．（2020·浙江寧波市·高三期中）公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名數(shù)學(xué)家）以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即，，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等學(xué)科都有著十分廣泛的應(yīng)用。若將此數(shù)列的各項除以2后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項的和為；若數(shù)列滿足：，設(shè)數(shù)列的前項的和為，則（）A．1348 B．1347 C．674 D．673【答案】B【解析】“兔子數(shù)列”的各項為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，此數(shù)列被2除后的余數(shù)依次為：1，1，0，1，1，0，1，1，0，，即，，，，，，，數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，，由題意知，由于，所以，所以．則．故選：B5．（2020·河南商丘市·高三其他模擬（理））定義表示不超過的最大整數(shù)，如，．若數(shù)列的通項公式為，為數(shù)列的前項和，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，當(dāng)時，，即（共1項）；當(dāng)時，，即（共2項）；當(dāng)時，，即（共4項）；…當(dāng)時，，即（共項），由，得．即，所以．所以，則，兩式相減得，．故選：D．6．（2020·全國高三月考（文））已知數(shù)列的前項和為，且，現(xiàn)有如下說法：①；②；③.則正確的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】因為，所以，所以，，聯(lián)立得：，所以，故，從而，，，則，故，，，故①②③正確.故選：D7．（2020·江蘇南通市·高三期中）已知數(shù)列的前n項和為，，當(dāng)時，，，則S2019的值為（）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】C【解析】當(dāng)時，，①可得，②由②－①得，，整理得，又由所以.故選：C.8．（2020·廣東廣州市·增城中學(xué)）已知的前項和為，，當(dāng)時，，則的值為（）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】C【解析】由題意，當(dāng)時，可得，因為，所以，即，當(dāng)時，兩式相減，可得，即，所以，所以.故選：C.9．（2020·廣東深圳市·深圳外國語學(xué)校高三月考）已知數(shù)列滿足：，，用表示不超過的最大整數(shù)，則的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由，得，∴，，，由，得，，知從以后都大于1，∴，∴，則，故選：A.10．（2020·山西高三期中（理））若數(shù)列的通項公式為，在一個行列的數(shù)表中，第行第列的元素為，則滿足的的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】數(shù)列的通項公式為，在一個行列的數(shù)表中，第行第列的元素為，所以．令，則，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時，所有的元素之和為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的最大值為，故選：B．第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．（2020·四川雅安市·雅安中學(xué)高一期中）數(shù)列的通項公式為，其前2020項的和為______.【答案】【解析】，∴，，，，，，，，由上可知，數(shù)列的奇數(shù)項為-1，偶數(shù)項，，.故答案為：．12．（2020·山西省榆社中學(xué)高三月考（理））已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和為，則使得的最小正整數(shù)n的值為______．【答案】13【解析】當(dāng)時，的所有非空子集為：，，，所以.當(dāng)時，.當(dāng)時，當(dāng)最小值為時，每個元素都有或無兩種情況，共有個元素，共有個非空子集，.當(dāng)最小值為時，不含，含，共有個元素，有個非空子集，.……所以…….因為，，即.所以使得的最小正整數(shù)的值為.故答案為：.13．（2020·上海市洋涇中學(xué)高三期中）已知公比大于的等比數(shù)列滿足，記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，的前項和為，則__________.【答案】【解析】設(shè)的公比為，由得或（舍去）所以在區(qū)間上，，在區(qū)間上上，個1在區(qū)間上，，個2在區(qū)間上，，個3，…歸納得當(dāng)時，所以令則兩式相減，整理得所以故答案為：14．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列，是公比為c的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前10項和為__________，數(shù)列的前10項和為__________（用c表示）．【答案】100【解析】因為是等差數(shù)列，，所以，解得，所以，所以因為是公比為c的等比數(shù)列，且，所以，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上,故答案為：100；15．（2020·江蘇蘇州市·周市高級中學(xué)高二月考）已知數(shù)列的前項和為，滿足，則數(shù)列的通項公式______.設(shè)，則數(shù)列的前項和______.【答案】【解析】因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合的情況，所以；因為，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，綜上可知.故答案為：；.16．（2020·海南高三期中）已知數(shù)列的前項和為，且，，則______；若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】由，，得，，所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，，.又，所以恒成立，即，恒成立.令，則，所以是遞減數(shù)列，所以，，即，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.17．（2020·福建莆田二中高二月考）“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個著名數(shù)列，從第三項開始每一項都是數(shù)列中前兩項之和.這個數(shù)列是斐波那契在他的《算盤書》的“兔子問題”中提出的.在問題中他假設(shè)如果一對兔子每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔在它出生后的第三個月，又能開始生小兔，如果沒有死亡，由一對剛出生的小兔開始，一年后一共會有多少對兔子？即斐波那契數(shù)列中，，,，則______；若，則數(shù)列的前項和是_______（用表示）.【答案】144【解析】由，,，依次可求出的值，利用用累加法可求出數(shù)列的前項和【詳解】解：因為，,，所以，同理，因為，,，所以……以上累加得，，所以，故答案為：144；三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．（2020·威遠中學(xué)校高三月考（理））已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項和為，且.（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，又，所以，由，解得，所以，解得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得，，，兩式相減得，，所以.19．（2020·湖南衡陽市一中高三期中）設(shè)數(shù)列的前n項和為，從條件①，②，③中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前n項和為，，____.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n和.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】選條件①時，（1）時，整理得，所以.（2）由（1）得：，設(shè)，其前項和為，所以①，②，①②得：，故，所以.選條件②時，（1）由于，所以①，當(dāng)時，②，①②得：，，整理得，所以.（2）由（1）得：，設(shè)，其前項和為，所以①，②，①②得：，故，所以.選條件③時，由于，①②①②時，，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.所以.（2）由（1）得：，設(shè)，其前項和為，所以①，②，①②得：，故，所以.20．（2020·四川雅安市·雅安中學(xué)高一期中）設(shè)數(shù)列的前項和為.已知，，.（1）求通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2），，.【解析】（1）由題意得，則，又當(dāng)時，由，得，且，所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，所以，數(shù)列的通項公式為，.（2）設(shè)，，，.當(dāng)時，由于，故，.設(shè)數(shù)列的前項和為，則，.當(dāng)時，，所以，，，.21．（2020·浙江高三月考）已知數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）若數(shù)列滿足且對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）本題首先可根據(jù)得出，然后兩式相減，得出，（1）因為，，所以，則，即，，因為，，所以數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，，因為，所以，即，則.（2），令，則，因為對任意恒成立，所以對任意恒成立，即，令，，則，當(dāng)時，即當(dāng)時取到最小值，故，實數(shù)的取值范圍為.22．（2020·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中（理））已知各項都是正數(shù)的數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設(shè)數(shù)列滿足