人教中考數(shù)學(xué)備考之圓的綜合壓軸突破訓(xùn)練∶培優(yōu)篇附答案

一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖，以0為圓心，4為半徑的圓與x軸交于點A,C在CJO上，ZOAC=60°.（1）求ZAOC的度數(shù)；（2）P為x軸正半軸上一點，且PA=OA,連接PC,試判斷PC與OO的位置關(guān)系，并說明理由；（3）有一動點M從A點出發(fā)，在C?0上按順時針方向運動一周，當(dāng)SAmao=Sacao時，求動點M所經(jīng)過的弧長，并寫出此時M點的坐標(biāo).【答案】⑴60。；（2）見解析；（3）對應(yīng)的M點坐標(biāo)分別為：M"2,-2^3）.M2（-2,-2^3）、M3（?2,2的）、M4（2,2的）.【解析】【分析】（1）由于ZOAC=60°,易證得△OAC是等邊三角形，即可得ZAOC=60°.（2）由（1）的結(jié)論知：OA=AC,因此OA=AC=AP,即OP邊上的中線等于OP的一半，由此可證得厶OCP是直角三角形，且ZOCP=90%由此可判斷出PC與＜30的位置關(guān)系.（3）此題應(yīng)考慮多種情況，若△MAO、AOAC的面積相等，那么它們的高必相等，因此有四個符合條件的M點，即：C點以及C點關(guān)于x軸、y軸、原點的對稱點，可據(jù)此進(jìn)行求解.【詳解】（1）OA=OC,ZOAC=60°,/.△OAC是等邊三角形，故ZAOC=60°.（2）由（1）知：AC=OA,己知PA=OA,即OA=PA=AC；.?.AU丄OP,因此△OCP是直角三角形,且ZOCP=90°,2而0C是oo的半徑，故PC與O0的位置關(guān)系是相切.（3）如圖；有三種情況:33此時M點的坐標(biāo)為：Mi20):(2,心*此時M點的坐標(biāo)為：Mi20):(2,心*川I八丄60^x44龍劣弧MA的k為：=180②取C點關(guān)于原點的對稱點，-2^3)：3此點也符合M點的要求,此時M點的坐標(biāo)為：M2C2,劣弧MA的長為：120/7X41803此時M點的坐標(biāo)為：M3(-2,③取c點關(guān)于此時M點的坐標(biāo)為：M3(-2,八e從八240^x416兀優(yōu)弧MA的長為：一——=「一：④當(dāng)C、M重合時，C點符合M點的要求，此時W(2,2^/3):300^x420龍優(yōu)弧MA的長為：180綜上可知：當(dāng)S,MAO=S.CAO時，動點M所經(jīng)過的弧長為空，空，互，匹對應(yīng)的M點坐3333標(biāo)分別為：Mi(2,-2)、M2(?2,-2y/3)、M3(-2,2)、M4(2,2^3).【點睛】本題考查了切線的判定以及弧長的計算方法，注意分類討論思想的運用，不要漏解.2.如圖，AB是半圓的直徑，過圓心O作的垂線，與弦4C的延長線交于點D,點E在OD±.ZDCE=ZB.求證：CE是半圓的切線；2若CD=10,tanB=—,求半圓的半徑.r>【答案】（1）見解析；（2）4jn【解析】分析：（1）連接CO,由且OC=OB,得上DCE=ZOCE,利用同角的余角相等判斷出ZBCO+ZBCE=90°,即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AC=2x,由根據(jù)題目條件用x分別表示出OA、AD、AB,通過證明△AOD-aACB,列出等式即可.詳解：（I）證明：如圖，連接C0????AB是半圓的直徑，???ZACB=90\???ZDCB=180°-ZACB=90°????ZDCE+ZBCE=90°.???OC=OB,???ZOCB=ZB.??ZDCE=ZB，???ZOCB=ZDCE????ZOCE=ZDCB=90°????OC±CE????oc是半徑，???CE是半圓的切線.（2）解:設(shè)AC=2xtAC2???在RtAACB中,tailB=一-=一BC3BC=3x????AB=^（2x）2+（3x）2=a/13x.???OD±AB,???ZAOD=Z4CB=90°.???ZA二ZA,???△AOD-△ACB.

.ACAO"~AB~~AD'???04=丄AB=—X,AD=2x+10,2y/l3x2x+10解得x=8.???OA=—x8=4V13.2則半圓的半徑為4jn.點睛：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形.3.如圖1,將長為10的線段OA繞點0旋轉(zhuǎn)90。得到0B,點A的運動軌跡為AB,P是半徑OB上一動點，Q是43上的一動點，連接PQ發(fā)現(xiàn)：ZPOQ=時，PQ有最大值，最大值為；思考：（1）如圖2,若P是OB中點，且QP丄OB于點P,求B0的長；（2）如圖3,將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點B的對應(yīng)點B，恰好落在OA的延長線上，求陰影部分面積；探究：如圖4,將扇形OAB沿PQ折疊，使折疊后的弧QB飴好與半徑OA相切，切點為C,若OP=6,求點O到折痕PQ的距離.【答案】發(fā)現(xiàn)：90°,10^2【答案】發(fā)現(xiàn)：90°,10^2：思考：（1〉=y/T；（2）25ti-100Q+100；（3）點O到折痕PQ的距離為頂.【解析】分析：發(fā)現(xiàn)：先判斷出當(dāng)PQ取最人時，點Q與點A重合，點P與點B重合，即可得出結(jié)論；思考：（1）先判斷出ZP0060。，最后用弧長用弧長公式即可得出結(jié)論；（2）先在RtAB'OP中，OP2+（1072-10）2=（10-OP）2,解得0PTOjJ-lO,最后用面積的和差即可得出結(jié)論.探究：先找點0關(guān)于PQ的對稱點0，,連接OCT、C/B、CYC、0卩，證明四邊形0CCYB是矩形，由勾股定理求0B從而求出OCY的長，則OM=^OO=V30?詳解：發(fā)現(xiàn)：TP是半徑OB上一動點，Q是mb上的一動點,???當(dāng)PQ取最人時，點Q與點A重合，點P與點B重合，此時，ZPOQ=90°,PQnJoA'+OB，=1。邁；思考：(1)如圖，連接0Q,O???點P是0B的中點,11.??OP=-OB=-OQ.22???QP丄0B,???ZOPQ=90°OP1RtAOPQ中,cosZQOP==-???ZQOP=60°,60^x1010.■Ibq==—71;1803（2）由折疊的性質(zhì)可得,BP=B'P,AB，=AB=10羽,在RtAB'OP中，OP2+（10>/2-10）2=（10-OP）2解得OP=10JI-10,SPJH；=SAOB-2Saaop=2x—xlOxfl0>/T—10）3602=25n-10072+100;探究：如圖2,找點O關(guān)于PQ的對稱點g連接001OBOCOP則OM=OZM,OO」PQ,O4OP=3,點C是所在圓的圓心,圖1圖2???0ZC=OB=10,???折疊后的弧QB飴好與半徑OA相切于C點,???OZC±AO,???OZCIIOB,???四邊形OCCYB是矩形，

在RtAOZBP中，CTB二佃―，=20在REOBOK00丄J1()2_(2Q=2廁,???0M=丄00=丄x2^30=J30,22即0到折痕PQ的距離為屁.點睛：本題考查了折疊問題和圓的切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定，熟練掌握弧長公式|=巴竺(n為圓心角度數(shù)，R為圓半徑),明確過圓的切線垂直于過切點的半徑，這是常180考的性質(zhì)；對稱點的連線被對稱軸垂直平分.4.如圖.在AABC中，ZC=90°,AC=BC,AB=30cm.點P在人3上，AP=10cm.點E從點P出發(fā)沿線段PA以2cm/s的速度向點A運動，同時點F從點P出發(fā)沿線段PB以lcm/s的速度向點B運動，點E到達(dá)點A后立刻以原速度沿線段向點B運動，在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH,使它與4ABC在線段AB的同側(cè)，設(shè)點E、F運動的時間為r(s)(0<t<20)?當(dāng)點H落在ac邊上時，求r的值；設(shè)正方形EFGH與4ABC重疊部分的面積為S.①試求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式：②以點C為圓心，；十為半徑作OC,當(dāng)OC與GH所在的直線相切時，求此時S的值.29t2?(0<t<2)7【答案】(1)t=2s或10s；(2)①S=*--r+50r-50(2<r<10)；②lOOcm2.尸_40/+400?(10</<20)【解析】試題分析：(1)如圖1中,當(dāng)0<t<5時，由題意AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2；如圖2中,當(dāng)5<t<20時，AE=HE,2t-10=10-(2t-10)+t,t=10；(2)分四種切線討論a、如圖3中，當(dāng)0V住2時，重疊部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9巴b、如圖4中，當(dāng)2<t<5時，重疊部分是五邊形EFGA4/V.c、如圖5中，當(dāng)5<t<10時，重疊部分是五邊形EFGMN.〃、如圖6中，當(dāng)10VtV20時，重疊部分是正方形EFGH.分別計算即可；

②分兩種情形分別列出方程即町解決問題.試題解析：解：(1)如圖1中,當(dāng)0<t<5時,由題意得:AE二EH二EF,即10-2t=3t,t=2El如圖2中，當(dāng)5VtV20時，AE二HE,2t-10=10-(2—10)+匚=10.綜上所述:t=2s或10s時，點H落在AC邊上.團(tuán)2(2)①如圖3中，當(dāng)0V也時，重疊部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9f2圖3如圖4中，當(dāng)2<t<5時，重疊部分是五邊形EFGMN,S二⑶)2--(5—10)2=--^+50^50.2

04如圖5中，當(dāng)5<f<10時，重疊部分是五邊形EFGMN,S=(20-t)2-1(30-3t)2=?F+50r?50.2Bs如圖6中,當(dāng)10<f<20時，重疊部分是正方形EFGH.S=(20-t)2=t2-40t+400.圖09尸？(0<r<2)7綜上所述：S彳一一尸+50—50(2<7510).2尸_40/+400?(10<r<20)30②如圖7中，當(dāng)0<性5時，-f+3t=15,解得：t=—,此時S=100cm2,當(dāng)5<t<20時,7-1+20-t=15,解得：t=10,此時S=100.2團(tuán)7團(tuán)7綜上所述：當(dāng)OC與GH所在的直線相切時，求此時S的值為100cm2點睛：本題考查了圓綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，注意不能漏解，屬于中考壓軸題.5.己知：如圖1,ZACG=90°,AC=2,點B為CG邊上的一個動點，連接AB,將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到厶ADB,過點D作DF±CG于點F.（1）當(dāng)心巫時，判斷直線FD與以AB為直徑的O0的位置關(guān)系，并加以證明；3（2）如圖2,點B在CG±向點C運動，直線FD與以AB為直徑的O0交于D、H兩點，連接AH,當(dāng)ZCAB=ZBAD=ZDAH時，求BC的長.B32圉1B32【答案】（1）直線FD與以AB為直徑的O0相切，理由見解析；（2）2-72-2?【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知及切線的判定證明得，直線FD與以AB為直徑的O0相切;（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析，從而求得BC的長.試題解析：（1）判斷：直線FD與以AB為直徑的O0相切.證明：如圖，作以AB為直徑的OO；???△ADB是將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到的,???△ADB雯△ACB,???ZADB=ZACB=90°????0為AB的中點，連接DO,/.OD=OB今AB,???點D在O0上.2\斥在RtAACB中，BC=—匕AC=2；3/.tanZCAB=-^-=—,AC3???ZCAB=ZBAD=30°,???ZABC=ZABD=60°,△BOD是等邊三角形.???ZBOD=60°.???ZABC=ZBOD,???FCIIDO.???DF丄CG,???ZODF=ZBFD=90°,???OD丄FD,???FD為OO的切線.(2)延長AD交CG于點E,同(1)中的方法，可證點C在O0上；.?-四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形.???ZFBD=Z1+Z2?同理ZFDB=Z2+Z3.???Z1=Z2=Z3,???ZFBD=ZFDB,又/DFB=90°?.??EC=AC=2.設(shè)BC=x,則BD=BC=x,???ZEDB=90°,EB=\/2x????EB+BC=EC,Cx+x=2,解得x=2近-2,???BC=2@-2.6.如圖，AB是OO的直徑，D、D為＜30上兩點，CF±AB于點F,CE±AD交AD的延長線于點E,且CE=CF.（1）求證：CE是＜30的切線；（2）連接CD、CB,若AD=CD=a,求四邊形ABCD面積.【答案】（1）證明見解析：（2）翠/【解析】【分析】（1）連接OC,AC,可先證明AC平分ZBAE,結(jié)合圓的性質(zhì)可證明0CllAE,可得ZOCB=90。，可證得結(jié)論；（2）可先證得四邊形AOCD為平行四邊形，再證明△OCB為等邊三角形，可求得CF、AB,利用梯形的面積公式可求得答案.【詳解】（1）證明：連接OC,AC.TCF丄AB,CE丄AD,且CE=CF.???ZCAE=ZCAB.???OC=OA,???ZCAB=ZOCA????ZCAE=ZOCA????OCIIAE.???ZOCE+ZAEC=18O°,???zAEC=90°,???ZOCE=90°即OC丄CE,???OC是oo的半徑，點c為半徑外端，CE是OO的切線.（2）解：TAD=CD,???ZDAC=ZDCA=ZCAB,???DCIIAB,???ZCAE=ZOCA,???OCIIAD,???四邊形AOCD是平行四邊形，OC=AD=a,AB=2a,???ZCAE=ZCAB,.??CD=CB=a,???CB=OC=OB,△OCB是等邊三角形，a在RtACFB中，CF=、/C以-F慶=亍廬，???S四邊形ABCD=；（DC+AB）?CF=^Li2【點睛】本題主要考查切線的判定，掌握切線的兩種判定方法是解題的關(guān)鍵，即有切點時連接圓心和切點，然后證明垂直，沒有切點時，過圓心作垂直，證明圓心到直線的距離等于半徑.7.如圖1,是用量角器一個角的操作示意圖，量角器的讀數(shù)從M點開始（即A4點的讀數(shù)為0）,如圖2,把這個量角器與一塊30。（ZCAB=30。）角的三角板拼在一起，三角板的斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，現(xiàn)有射線C繞點C從CA開始沿順時針方向以每秒2。的速度旋轉(zhuǎn)到與CB,在旋轉(zhuǎn)過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E.連接BE.（1）當(dāng)射線CP經(jīng)過的中點時，點E處的讀數(shù)是,此時5BCE的形狀是；（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)x秒后，點E處的讀數(shù)為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)CP旋轉(zhuǎn)多少秒時，4BCE是等腰三角形？

【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角定理即可解決問題：⑵如圖2-2中，由題意ZACE=2x,ZAOE=y,根據(jù)圓周角定理可知ZA0E=2AACE,可得y=2x(0<x<45)；分兩種情形分別討論求解即可：【詳解】解：(1)如圖中，???ZACB=90°,OA=OB,0A—OB—0C???ZOCA=ZOAC=30\???ZAOE=60。，???點E處的讀數(shù)是60。，???ZE=ZBAC=30。，OE=OB.???ZOBE=ZE=30。，???ZEBC=ZOBE+Z/A8C=90°,???△EBC是直角三角形;故答案為60。，直角三角形；(2)如圖2?2中，

TZACE=2x9ZAOE=y9???ZA0E=2ZACE,???y=4x(0<x<45)?(3)①如圖2-3中，當(dāng)EB=EC時，EO垂直平分線段BC,???EOWAC.???ZAOE=ZBAC=30\1???ZEC4=-Z/AOE=15°,2/.x=7.5?②若2?4中，當(dāng)BE=BC時,易知ZBEC=ZBAC=ABCE=30q9???ZOBE=ZOBC=60。，???OE=OB,△OBF是等邊三角形，???ZBOE=60。,???ZAOB=120。，1ZACE=-ZACB=60°f2/.x=30,綜上所述，當(dāng)CP旋轉(zhuǎn)7.5秒或30秒時，\BCE是等腰三角形；【點睛】本題考查幾何變換綜合題、創(chuàng)新題目、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.&如圖，點A,B,C,D,E在O0±,AB丄CB于點B,tanD=3,BC=2,H為CE延長線上（1）求證：AH是＜30的切線；（2）若點D是弧CE的中點，且AD交CE于點F,求證：HF=HA；（3）在（2）的條件下，求EF的長.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）710-^【解析】【分析】（1）連接AC,由AB丄CB可知AC是OO的直徑，由圓周角定理可得ZC=ZD,于是得到tanC=3,故此可知AB=6,在RtAABC中,由勾股定理得:AC2=40,從而可得AC2+AH2=CH2,根據(jù)勾股定理的逆定理可得AC丄AH,問題得證；（2）連接DE、BE,由弦切角定理可知ZABD=ZHAD,由D是CE的中點，可得ZCED=ZEBD,再由圓周角定理可得ZABE=ZADE,結(jié)合三角形的外角即可證明ZHAF=ZAFH,從而可證得AH=HF；（3）由切割線定理可得EH=V2，由（2）可知AF=FH=JD,從而可得EF=FH-EH=7T0-忑.【詳解】（1）如圖1所示：連接AC.???AB丄CB,???AC是OO的直徑，???ZC=ZD,RC???AB=3BC=3x2=6,在RtAABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40,又?/AH2=10,CH2=50,.??ac2+ah2=ch2,???△ACH為直角三角形，???AC丄AH,???AH是圓0的切線；（2）如圖2所示:連接DE、BE,???ZABD=ZHAD,TD是CE的中點，???CD=ED，???ZCED=ZEBD,又ZABE=ZADE,???ZABE+ZEBD=ZADE+ZCED,???ZABD=ZAFE,.??zHAF=ZAFH,???AH=HF；（3）由切割線定理可知：AH2=EH*CH,即（應(yīng)）2=5V2EH,解得：EH=72?由（2）可af=fh=710,???EF=FH-EH=710->/2?【點睛】本題主要考查圓的綜合應(yīng)用，解答主要應(yīng)用了切線的判定定理、弦切角定理、切

割線定理、圓周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性質(zhì)等，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.9?如圖，已AB是＜30的直徑，BC是弦，弦8D平分AABC交AC于F,弦DE丄AB于H,交AC于G.求證：AG=GD,求BC的長.當(dāng)ZABC滿足什么條件時，ZFG求BC的長.（2）當(dāng)ZABC=60。時，“DFG是等邊三角形.理由見解析;（3）BC的長為〒??【解析】【分析】（1）首先連接AD,由DE丄AB,AB是OO的直徑，根據(jù)垂徑定理，即可得到AD=AE^然后根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，證得ZADE=ZABD,又由弦BD平分ZABC,可得ZDBC=ZABD,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì),即可證得AG=GD：（2）當(dāng)ZABU60。時，ADFG是等邊三角形，根據(jù)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角與三角形的外角的性質(zhì)，易求得ZDGF=ZDFG=60%即可證得結(jié)論；4（3）利用三角函數(shù)先求出tanZABD=-,cosZABD=-,再求出DF、BF,然后即可求出5BC?【詳解】證明：連接AD,TDE丄AB,AB是OO的直徑，???AD=AE^???ZADE=ZABD,???弦BD平分ZABC,???ZDBC=ZABD,???ZDBC=ZDAC,ZADE=ZDAC,???AG=GD：解:當(dāng)ZABC=60。時，△DFG是等邊三角形.理由：???弦BD平分ZABC,

???ZDBC=ZABD=30°,???AB是OO的直徑，???ZACB=90°,???ZCAB=90。ABC=30°,???ZDFG=ZFAB+ZDBA=60°,???DE±AB,???ZDGF=ZAGH=90°?ZCAB=60°,???△DGF是等邊三角形；(3)解：TAB是OO的直徑，???ZADB=ZACB=90°,ZDAC=ZDBC=ZABD,3AB=10,sinZABD=—,5???在RtAABD中，AD=AB?sinZABD=6,???BD=JaB'-BD'=&TOC\o"1-5"\h\zAD3BD4???tanZABD==—,cosZABD==—BD4AB5在RtAADF中，DF=AD<tanZDAF=AD>tanZABD=6x—=—,4297???BF=BD-DF=8--=227414在RtABCF中，BC=BF?cosZDBC=BF?cosZABD=—x—=一.255???BC???BC的長為：—.此題考查了圓周角定理、垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理等知識.此題綜合性較強(qiáng)，難度較人，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法.10.對于平面內(nèi)的OC和OC外一點Q,給出如下定義：若過點Q的直線與OC存在公共點，記為點A,B.設(shè)k=,則稱點A（或點B）是OC的"K相關(guān)依附點"，特別點，記為點A,B.地，當(dāng)點地，當(dāng)點A和點B重合時，規(guī)定AQ二BQ,k=^Q(或需).已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，Q(-l,0),C(l,0).OC的半徑為r.如圖1,當(dāng)廣=7◎時，若Ai(0,l)^OC的"k相關(guān)依附點"，求k的值.A2(l+JT,0)是否為OC的"2相關(guān)依附點若OC±存在"k相關(guān)依附點"點M,當(dāng)r",直線QM與OC相切時，求k的值.當(dāng)k仝時，求r的取值范圍.(3)若存在r的值使得直線y=-y/3x+b與OC有公共點，且公共點時OC的相關(guān)依附點"，直接寫出b的取值范圍.y八■—4—4—Qc-—備用圖【答案】⑴①②是；(2)①k二忑;②廠的取值范圍是Kr<2；(3)->/3<b<3>/3?【解析】(1)①如圖1中，連接(1)①如圖1中，連接4C、0人?首先證明0A是切線,根據(jù)*=箸計算即可