2020高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 .1 垂直關(guān)系的判定 第一課時(shí) 直線與平面垂直的判定學(xué)案 2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE14學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一課時(shí)直線與平面垂直的判定［學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解直線與平面垂直的定義．2。掌握直線與平面垂直的判定定理．3.會(huì)利用判定定理證明或判斷有關(guān)垂直的問題.【主干自填】1．直線與平面垂直的定義如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的eq\o(□,\s\up3（01)）任何一條直線都垂直,那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直．2．直線與平面垂直的判定定理【即時(shí)小測(cè)】1．思考下列問題(1)旗桿AB與地面內(nèi)任意一條不過旗桿底部B的直線B1C1提示：異面垂直．（2）如果平面外一條直線l與平面α的兩條相交直線垂直,那么l與α的位置關(guān)系是什么？提示:垂直．2．下列說法中正確的是()A．如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥αB．如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直,則l⊥αC．如果直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線D．如果直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直提示：D如圖所示，直線l與α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直．但l與α斜交，故A不正確；同理B也不正確;同樣由圖,l不垂直于α，但α內(nèi)有與l垂直的直線，且這樣的直線有無數(shù)條,故C不正確,D正確．3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是(）A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α,m∥β，則α∥βC．若m∥n,m⊥α,則n⊥αD．若m∥α,α⊥β，則m⊥β提示：C選項(xiàng)A中的m，n可以相交，可以平行,也可以異面，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中的α與β可以平行,也可以相交，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C是直線與平面垂直的重要結(jié)論，故C正確；選項(xiàng)D中的m與β的位置關(guān)系可以是平行、相交、m在β內(nèi),故D錯(cuò)誤．4．如果一條直線垂直于①三角形的兩邊，②梯形的兩邊，③圓的兩條直徑,④正六邊形的兩條邊,則能保證該直線與平面圖形所在平面垂直的是（)A．①③B．②C．②④D．①②④提示:A由直線與平面垂直的判定定理可知，①③能保證該直線與平面垂直，②④不能．因?yàn)樘菪魏驼呅沃杏衅叫械膬蓷l邊．例1如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1求證:(1)AC⊥平面B1D1DB；(2）BD1⊥平面ACB1.[證明］（1)∵BB1⊥平面ABCD，且AC平面ABCD,∴BB1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面B1D1DB.(2）連接A1B.由(1）知AC⊥平面B1D1DB，∵BD1平面B1D1DB，∴AC⊥BD1?！逜1D1⊥平面A1B1BA,AB1平面A1B1BA，∴A1D1⊥AB1.又∵A1B⊥AB1且A1B∩A1D1＝A1，∴AB1⊥平面A1D1B。∵BD1平面A1D1B，∴BD1⊥AB1，又∵AC∩AB1＝A，∴BD1⊥平面ACB1。類題通法線面垂直的判定定理實(shí)質(zhì)是由線線垂直推證線面垂直，途徑是找到一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.推證線線垂直時(shí)注意分析幾何圖形，尋找隱含條件.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練1]）如圖，Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S，且SA＝SB＝SC,點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)．(1）求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC,求證：BD⊥平面SAC.證明(1）∵SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC。在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD.又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS?！郤D⊥BD。又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2）∵BA＝BC，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC,∵BD平面ABC,∴SD⊥BD?！逜C∩SD＝D.∴BD⊥平面SAC.例2如圖，已知四棱錐S－ABCD中ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于點(diǎn)E,EF⊥SC于點(diǎn)F。(1）求證：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于點(diǎn)G，求證：AG⊥SD。［證明］(1）∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴SA⊥BC.∵四邊形ABCD為矩形，∴AB⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB?！郆C⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，∴AE⊥平面SBC.又∵SC平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E,∴SC⊥平面AEF.∵AF平面AEF,∴AF⊥SC。(2)∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥DC。又AD⊥DC，AD∩SA＝A,∴DC⊥平面SAD.又AG平面SAD，∴DC⊥AG.又由（1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF，∴SC⊥AG。又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC?！逽D平面SDC，∴AG⊥SD.類題通法線線垂直的證明方法(1）由線面垂直的定義，即l⊥α，aα?l⊥a.(2)平面幾何中的結(jié)論，如等腰三角形的底面的中線垂直于底邊、菱形的對(duì)角線互相垂直、勾股定理等．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練2])如圖,在空間四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求證：AC⊥BD.證明取BD中點(diǎn)為E，連接AE，CE.∵AB＝AD，∴AE⊥BD.又∵CB＝CD，∴CE⊥BD.而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC.又∵AC平面AEC，∴AC⊥BD。例3三棱錐P－ABC中，PO⊥平面ABC，PA⊥BC，PB⊥AC.求證：(1)O是△ABC的垂心；（2）PC⊥AB。[證明](1）連接OA，OB.∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC。又PA⊥BC，PO∩PA＝P，∴BC⊥平面PAO。又AO平面PAO，∴BC⊥AO,即O在△ABC的BC邊的高線上．同理，由PB⊥AC可得O在△ABC的AC邊的高線上．∴O是△ABC的垂心．（2)連接OC，由(1）可知OC⊥AB.又由PO⊥平面ABC得PO⊥AB，又OC∩PO＝O,∴AB⊥平面PCO。又PC平面PCO，∴AB⊥PC.類題通法根據(jù)直線和平面垂直的定義，可由線面垂直證明線線垂直；根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可由線線垂直證明線面垂直.本題的證明過程體現(xiàn)了線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化.eq\a\vs4\al（［變式訓(xùn)練3]）已知點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA＝PB＝PC，則點(diǎn)P在平面ABC上的射影一定是△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心答案B解析如圖所示，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC上的射影為O，連接OA，OB，OC.所以PO⊥平面ABC。因?yàn)镻A＝PB＝PC，OP＝OP＝OP,且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以∠APO＝∠BPO＝∠CPO，所以△PAO≌△PBO≌△PCO,所以AO＝BO＝CO。即點(diǎn)O到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)O為△ABC的外心．易錯(cuò)點(diǎn)?運(yùn)用線面垂直的判定定理時(shí)忽略條件［典例］在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，O為ABCD的中心，試判斷OB1與平面ABCD[錯(cuò)解]如下圖,連接BD,設(shè)AC∩BD＝O，連接OB1.∵AB1＝B1C，∴OB1⊥AC又AC平面ABCD，∴OB1⊥平面ABCD。［錯(cuò)因分析］錯(cuò)解在運(yùn)用線面垂直的判定定理時(shí),忽略了該定理的使用條件，從而致錯(cuò)．[正解]∵在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD∵OB1∩BB1＝B1,∴OB1不垂直于平面ABCD。課堂小結(jié)直線和平面垂直的判定方法（1)利用線面垂直的定義；（2)利用線面垂直的判定定理；（3)利用下面兩個(gè)結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β。1．下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()①若直線l與平面α內(nèi)一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)兩條直線垂直,則l⊥α；③若直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直，則l⊥α;④若直線l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直,則l⊥α；⑤若直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則l⊥α.A．1B．2C．3D．4答案B解析對(duì)①②⑤,不能斷定該直線與平面垂直，該直線與平面可能平行，可能斜交，也可能在平面內(nèi)，所以是錯(cuò)誤的．正確的是③④，故選B。2．已知直線m，n是異面直線,則過直線n且與直線m垂直的平面（)A．有且只有一個(gè) B．至多一個(gè)C．有一個(gè)或無數(shù)個(gè) D．不存在答案B解析若異面直線m，n垂直，則符合要求的平面有一個(gè)，否則不存在．3．PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,C為圓上異于A，B的任一點(diǎn),則下列關(guān)系不正確的是（）A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC答案C解析由已知得PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC，即選項(xiàng)A正確；又由已知AC⊥BC,且AC與PA交于點(diǎn)A，得BC⊥平面PAC，進(jìn)而BC⊥PC，即選項(xiàng)B、D正確；PA⊥平面ABC,可證得PA⊥AC，若AC⊥PB，得AC⊥平面PAB，故AC⊥AB，與已知矛盾，所以選項(xiàng)C不正