2020高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1.2 任意角的三角函數(shù)（二）學(xué)案（含解析）4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時任意角的三角函數(shù)（二）1.相關(guān)概念（1）單位圓：以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓．(2）有向線段:帶有方向（規(guī)定了起點和終點）的線段．規(guī)定：方向與x軸或y軸的正方向一致的為正值，反之為負值．2．三角函數(shù)線eq\x(狀元隨筆）(1)三角函數(shù)線的方向．正弦線由垂足指向角α的終邊與單位圓的交點，余弦線由原點指向垂足，正切線由切點指向切線與角α的終邊或其反向延長線的交點．(2）三角函數(shù)線的正負：三條有向線段凡與x軸或y軸同向的，為正值，與x軸或y軸反向的，為負值．[小試身手]1．判斷下列命題是否正確。(正確的打“√”，錯誤的打“×”)（1)角的三角函數(shù)線是直線．（）(2）角的三角函數(shù)值等于三角函數(shù)線的長度．（)（3)第二象限的角沒有正切線．（)答案：(1）×（2）×（3）×2．有下列四個說法：①α一定時，單位圓中的正弦線一定；②單位圓中，有相同正弦線的角相等；③α和α＋π有相同的正切線;④具有相同正切線的兩個角終邊相同．不正確說法的個數(shù)是()A．0個B．1個C．2個D．3個解析：①正確．當α確定時其sinα是確定的．②不正確．例如eq\f(π，6)和eq\f(5π，6）.③正確，④不正確．答案：C3．如圖所示，在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是(）A．正弦線PM,正切線A′T′B．正弦線MP,正切線A′T′C．正弦線MP，正切線ATD．正弦線PM，正切線AT解析：α為第三象限角,故正弦線為MP，正切線為AT，所以C正確．答案:C4．已知sinα>0，tanα<0，則α的（）A．余弦線方向向右，正切線方向向下B．余弦線方向向右，正切線方向向上C．余弦線方向向左，正切線方向向下D．余弦線方向向上，正切線方向向左解析：因為sinα〉0，tanα〈0，所以α是第二象限角，余弦、正切都是負值，因此余弦線方向向左，正切線方向向下．答案：C類型一三角函數(shù)線的作法例1做出eq\f(3π，4)的正弦線、余弦線和正切線．【解析】角eq\f(3π，4）的終邊（如圖)與單位圓的交點為P。作PM垂直于x軸，垂足為M，過A(1,0）作單位圓的切線AT，與eq\f(3π,4）的終邊的反向延長線交于點T，則eq\f(3π,4)的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT。先作單位圓再作角,最后作出三角函數(shù)線．方法歸納三角函數(shù)線的畫法（1)作正弦線、余弦線時，首先找到角的終邊與單位圓的交點，然后過此交點作x軸的垂線,得到垂足，從而得正弦線和余弦線．(2）作正切線時,應(yīng)從A（1，0)點引單位圓的切線，交角的終邊或終邊的反向延長線于一點T,即可得到正切線AT。跟蹤訓(xùn)練1作出－eq\f(5π，8)的正弦線、余弦線和正切線．解析：如圖：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π，8))）＝MP,coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(5π,8)))＝OM，taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（5π,8)))＝AT。作單位圓、作角、畫出三角函數(shù)線．類型二利用三角函數(shù)線比較大小例2分別比較sineq\f(2π，3）與sineq\f（4π，5)，coseq\f（2π,3）與coseq\f(4π，5），taneq\f（2π，3）與taneq\f（4π，5）的大?。窘馕觥吭谥苯亲鴺讼抵凶鲉挝粓A如圖所示．以x軸非負半軸為始邊作eq\f（2π，3）的終邊與單位圓交于P點，作PM⊥Ox，垂足為M.由單位圓與Ox正方向的交點A作Ox的垂線與OP的反向延長線交于T點,則sineq\f（2π,3）＝MP，coseq\f（2π，3）＝OM，taneq\f（2π，3）＝AT。同理,可做出eq\f（4π,5)的正弦線、余弦線和正切線，sineq\f（4π，5）＝M′P′，coseq\f（4π，5)＝OM′，taneq\f(4π，5)＝AT′.由圖形可知,MP>M′P′，符號相同，則sineq\f(2π，3）>sineq\f(4π，5）;OM〉OM′，符號相同,則coseq\f（2π,3)〉coseq\f(4π，5）；AT〈AT′，符號相同,則taneq\f（2π,3)〈taneq\f(4π,5).利用三角函數(shù)線比較sinα與sinβ，cosα與cosβ，tanα與tanβ的大小時，先在坐標系中畫出α，β的正弦線、余弦線、正切線，再結(jié)合有向線段的長度和方向來比較大小。方法歸納利用三角函數(shù)線比較大小的步驟利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時，一般分三步:①角的位置要“對號入座”；②比較三角函數(shù)線的長度；③確定有向線段的正負．跟蹤訓(xùn)練2設(shè)eq\f（π，4)<α〈eq\f（π，2)，試比較角α的正弦線、余弦線和正切線的長度．如果eq\f（π,2）〈α〈eq\f(3π,4），上述長度關(guān)系又如何？解析：如圖所示，當eq\f(π,4）<α<eq\f（π,2）時，角α的正弦線為MP,余弦線為OM，正切線為AT，顯然在長度上，AT>MP〉OM；當eq\f(π，2）〈α<eq\f（3π,4）時,角α的正弦線為M′P′，余弦線為OM′，正切線為AT′，顯然在長度上，AT′〉M′P′〉OM′。由于eq\f(π,4)〈α<eq\f（π,2）時，sinα,cosα，tanα都大于0，故可以直接根據(jù)角的正弦線、余弦線、正切線的長短來比較三者的大?。愋腿萌呛瘮?shù)線解不等式例3求函數(shù)f（α)＝eq\r（2sinα－1）的定義域．【解析】要使函數(shù)f(α)有意義，則sinα≥eq\f(1，2）.如圖所示，畫出單位圓，作直線y＝eq\f(1，2），交單位圓于P1,P2兩點,連接OP1，OP2，過點P1，P2作x軸的垂線,垂足分別為M1，M2，易知正弦線M1P1＝M2P2＝eq\f（1，2).在[0，2π)范圍內(nèi),sineq\f(π,6)＝sineq\f（5π,6)＝eq\f（1，2），則點P1,P2分別在eq\f(5π,6）,eq\f（π，6)的終邊上，又sinα≥eq\f（1，2)，結(jié)合圖形可知，圖中陰影部分（包括邊界)即滿足sinα≥eq\f（1，2)的角α的終邊所在的范圍，即當α∈［0,2π)時，eq\f（π,6)≤α≤eq\f(5π,6)，故函數(shù)f（α)的定義域為eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f（π，6)≤α≤2kπ＋\f（5π，6）,k∈Z)))）。要使函數(shù)f（α)有意義，則sinα≥eq\f(1,2),利用三角函數(shù)線可得α的取值范圍，即函數(shù)f(α）的定義域．方法歸納利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法利用三角函數(shù)線求解不等式,通常采用數(shù)形結(jié)合的方法，求解關(guān)鍵是恰當?shù)貙で簏c．一般來說，對于sinx≥b，cosx≥a(或sinx≤b，cosx≤a)，只需作直線y＝b，x＝a與單位圓相交，連接原點和交點即得角的終邊所在的位置，此時再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的x的范圍；對于tanx≥c（或tanx≤c），則取點（1，c），連接該點和原點即得角的終邊所在的位置，并反向延長，結(jié)合圖象可得．跟蹤訓(xùn)練3在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合．（1)sinα≥eq\f（\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2）。解析:(1）作直線y＝eq\f(\r(3）,2），交單位圓于A，B兩點，作射線OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖1所示的陰影部分,包括邊界）即為角α的終邊所在的范圍．故滿足要求的角α的集合為eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f(π，3）))≤α≤2kπ＋\f（2π，3)，k∈Z))。（2）作直線x＝－eq\f（1,2），交單位圓于C,D兩點，作射線OC與OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(如圖2所示的陰影部分，包括邊界)，即為角α的終邊所在的范圍．故滿足條件的角α的集合為｛αeq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f（2π,3）)）≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3），k∈Z}.作單位圓畫出角α的三角函數(shù)線，結(jié)合圖象寫出角的范圍．1。2.1。2

[基礎(chǔ)鞏固］（25分鐘，60分）一、選擇題(每小題5分，共25分）1．對三角函數(shù)線，下列說法正確的是(）A．對任意角都能作出正弦線、余弦線和正切線B．有的角的正弦線、余弦線和正切線都不存在C．任意角的正弦線、正切線總是存在的,但余弦線不一定存在D．任意角的正弦線、余弦線總是存在的，但正切線不一定存在解析：終邊在y軸上的角的正切線不存在，故A，C錯，對任意角都能作正弦線、余弦線，故B錯，因此選D.答案:D2．如果MP和OM分別是角α＝eq\f(7π,8）的正弦線和余弦線,那么下列結(jié)論正確的是(）A．MP<OM<0B．OM〉0〉MPC．OM〈MP<0D．MP>0>OM解析：因為eq\f(7,8)π是第二象限角，所以sineq\f(7，8)π>0，coseq\f（7，8)π<0，所以MP〉0,OM<0，所以MP〉0>OM。答案：D3．有三個命題：①eq\f(π，6）和eq\f(5π，6）的正弦線長度相等；②eq\f(π,3)和eq\f（4π，3）的正切線相同；③eq\f（π，4）和eq\f(5π，4）的余弦線長度相等．其中正確說法的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．0解析：eq\f(π，6）和eq\f（5π,6）的正弦線關(guān)于y軸對稱，長度相等；eq\f（π，3）和eq\f(4π,3）兩角的正切線相同；eq\f（π,4）和eq\f（5π，4)的余弦線長度相等．故①②③都正確．故選C.答案：C4．使sinx≤cosx成立的x的一個區(qū)間是（）A.eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f(3π，4）,\f（π，4）)）B。eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f(π,2)，\f(π,2））)C.eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f（π,4)，\f（3π,4）））D.eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，π))解析：如圖所示，畫出三角函數(shù)線sinx＝MP，cosx＝OM，由于sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(3π,4）））＝coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(3π，4））），sineq\f(π,4）＝coseq\f（π,4）,為使sinx≤cosx成立，由圖可得在［－π，π)范圍內(nèi)，－eq\f（3π，4）≤x≤eq\f(π，4).答案：A5．如果eq\f(π，4)<θ〈eq\f(π，2)，那么下列各式中正確的是(）A．cosθ〈tanθ〈sinθB．sinθ<cosθ〈tanθC．tanθ<sinθ〈cosθD．cosθ〈sinθ<tanθ解析:如圖所示，作出角θ的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，由圖可知AT〉MP〉OM，即tanθ〉sinθ〉cosθ，故選D。答案:D二、填空題（每小題5分，共15分）6．比較大小:sin1________sineq\f(π，3)（填“>”或“〈")．解析：因為0<1〈eq\f(π,3)〈eq\f（π，2）,結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線,知sin1〈sineq\f（π，3)。答案：〈7．不等式tanα＋eq\f(\r(3)，3）>0的解集是________________________．解析：不等式的解集如圖所示（陰影部分），∴eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（kπ－\f（π,6)<α<kπ＋\f(π，2），k∈Z)）））.答案：eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(α\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π，6)<α〈kπ＋\f(π,2），k∈Z）））)8．用三角函數(shù)線比較sin1與cos1的大小，結(jié)果是________．解析：如圖，sin1＝MP，cos1＝OM。顯然MP〉OM，即sin1〉cos1.答案：sin1〉cos1三、解答題（每小題10分，共20分）9．做出下列各角的正弦線、余弦線、正切線．(1）eq\f(5π，6）；(2)－eq\f（2π，3)。解析：（1）因為eq\f（5π，6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，2），π)),所以做出eq\f(5π，6)角的終邊如圖①所示，交單位圓于點P作PM⊥x軸于點M，則有向線段MP＝sineq\f（5π,6),有向線段OM＝coseq\f(5π,6)，設(shè)過A（1,0）垂直于x軸的直線交OP的反向延長線于T,則有向線段AT＝taneq\f（5π,6）.綜上所述，圖①中的有向線段MP，OM，AT分別為eq\f（5π，6)角的正弦線、余弦線、正切線．(2）因為－eq\f（2π,3）∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－π，－\f（π，2)）)，所以在第三象限內(nèi)做出－eq\f（2π,3）角的終邊如圖②所示，交單位圓于點P′用類似①的方法作圖，可得圖②中的有向線段M′P′、OM′、A′T′分別為－eq\f(2π，3）角的正弦線、余弦線、正切線．10．利用三角函數(shù)線，求滿足下列條件的角α的集合:(1）tanα＝－1；(2）sinα≤－eq\f（\r(2）,2)。解析:（1）如圖①所示，過點(1，－1）和原點作直線交單位圓于點P和P′，則OP和OP′就是角α的終邊，所以∠xOP＝eq\f(3π,4)＝π－eq\f(π，4)，∠xOP′＝－eq\f（π,4）,所以滿足條件的所有角α的集合是eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝－\f(π,4)＋kπ，k∈Z)）））。(2）如圖②所示，過eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，－\f（\r（2），2）)）作與x軸的平行線，交單位圓于點P和P′,則sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－eq\f（\r(2）,2）,∴∠xOP＝eq\f（5，4）π，∠xOP′＝eq\f（7，4）π,∴滿足條件所有角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x|\f（5，4)π＋2kπ〈α<\f（7,4)π＋2kπ，k∈Z））.[能力提升］（20分鐘，40分）11．已知角α的正弦線和余弦線的方向相反、長度相等,則α的終邊在(）A．第一象限的角平分線上B．第四象限的角平分線上C．第二、第四象限的角平分線上D．第一、第三象限的角平分線上解析：作圖(圖略）可知角α的終邊在直線y＝－x上，∴α的終邊在第二、第四象限的角平分線上,故選C。答案：C12．若cosθ>sineq\f(7π，3），利用三角函數(shù)線得角θ的取值范圍是________．解析:因為cosθ〉sineq\f（7π,3)，所以cosθ>sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，3)＋2π)）＝sineq\f（π，3)＝eq\f（\r(3),2)，易知角θ的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f（π，6），2kπ＋\f（π,6)））(k∈Z)．答案：eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\