2020高中數學 第章 不等式 .2 一元二次不等式（第1課時）一元二次不等式及其解法講義 5

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第1課時一元二次不等式及其解法學習目標核心素養(yǎng)1.掌握一元二次不等式的解法．（重點)2。能根據“三個二次”之間的關系解決簡單問題．(難點)通過一元二次不等式的學習,培養(yǎng)數學運算素養(yǎng).1．一元二次不等式的概念只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式,稱為一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0）．（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0）．(3）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）．(4）ax2＋bx＋c≤0（a≠0)．思考1:不等式x2－y2>0是一元二次不等式嗎？［提示]此不等式含有兩個變量,根據一元二次不等式的定義,可知不是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數的值，叫做這個一元二次不等式的解,其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集．思考2:類比“方程x2＝1的解集是{1,－1｝,解集中的每一個元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含義是什么?[提示]不等式x2〉1的解集為｛x｜x〈－1或x>1｝,該集合中每一個元素都是不等式的解，即不等式的每一個解均使不等式成立．4．三個“二次"的關系設f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x）＞0或求方程f（x)＝0的解有兩個不等的實數解x1，x2有兩個相等的實數解x1＝x2沒有實數解f(x）＜0的步驟畫函數y＝f(x）的示意圖得等的集不式解f（x）＞0｛x｜x＜x1_或x＞x2}eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\}（\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))）Rf(x）＜0｛x｜x1＜x＜x2}??思考3:若一元二次不等式ax2＋x－1〉0的解集為R，則實數a應滿足什么條件？[提示]結合二次函數圖象可知,若一元二次不等式ax2＋x－1〉0的解集為R，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a〉0,,1＋4a<0，))解得a∈?，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集為R。1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集為()A.eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞3或x＜－\f(1,2))）））B。eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)≤x≤3）)))C。eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（x≥3或x≤－\f（1,2)）））)D．RC[3＋5x－2x2≤0?2x2－5x－3≥0?(x－3)(2x＋1)≥0?x≥3或x≤－eq\f(1，2)。］2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集為（）A.eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（－1＜x＜\f（1，3））)）） B。eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（1,3）＜x＜1)))）C．? D．RD[因為Δ＝（－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集為R.］3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．{x｜x〉5或x<－1｝［由x2－2x－5〉2x，得x2－4x－5〉0，因為x2－4x－5＝0的兩根為－1，5，故x2－4x－5>0的解集為{x|x<－1或x>5｝．］4．不等式－3x2＋5x－4〉0的解集為________．?[原不等式變形為3x2－5x＋4<0.因為Δ＝(－5）2－4×3×4＝－23〈0，所以3x2－5x＋4＝0無解．由函數y＝3x2－5x＋4的圖象可知，3x2－5x＋4〈0的解集為?.]一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：（1)2x2＋7x＋3>0；(2）－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0；(3）－2x2＋3x－2〈0。[解］（1）因為Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個不等實根x1＝－3，x2＝－eq\f（1，2）。又二次函數y＝2x2＋7x＋3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（x>－\f(1，2）或x<－3））)）。（2)原不等式可化為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f（9，2))）2≤0，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（9，4)）))）。(3)原不等式可化為2x2－3x＋2〉0,因為Δ＝9－4×2×2＝－7〈0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實根，又二次函數y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R。解不含參數的一元二次不等式的一般步驟1化標準.通過對不等式的變形，使不等式右側為0,使二次項系數為正。2判別式.對不等式左側因式分解,若不易分解,則計算對應方程的判別式。3求實根。求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程有無實根.4畫草圖.根據一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數的草圖。5寫解集。根據圖象寫出不等式的解集.1．解下列不等式（1)2x2－3x－2〉0；(2)x2－4x＋4>0；（3)－x2＋2x－3<0；（4)－3x2＋5x－2>0。[解］（1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－eq\f(1,2)，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集為eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(x〈－\f（1,2）或x〉2）)））.(2）∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋4〉0的解集為eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（x｜x≠2））。（3)原不等式可化為x2－2x＋3>0，由于Δ〈0，方程x2－2x＋3＝0無解，∴不等式－x2＋2x－3〈0的解集為R。(4)原不等式可化為3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的兩根為x1＝eq\f(2,3)，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集為eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2，3）<x<1)))）。含參數的一元二次不等式的解法【例2】解關于x的不等式ax2－(a＋1）x＋1<0。思路探究：①對于二次項的系數a是否分a＝0,a<0，a〉0三類進行討論?②當a≠0時，是否還要比較兩根的大小?[解］當a＝0時，原不等式可化為x>1.當a≠0時，原不等式可化為（ax－1)（x－1)〈0。當a<0時，不等式可化為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(1，a））)(x－1）〉0，∵eq\f（1,a）<1，∴x〈eq\f(1,a）或x>1。當a〉0時，原不等式可化為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(1，a）))(x－1)<0。若eq\f(1,a）〈1，即a>1，則eq\f(1，a)<x<1；若eq\f(1,a)＝1，即a＝1，則x∈?；若eq\f(1，a）〉1，即0〈a<1，則1<x<eq\f（1,a)。綜上所述，當a〈0時,原不等式的解集為eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x〈\f(1,a)或x>1)）));當a＝0時,原不等式的解集為{x|x>1｝;當0〈a<1時，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(1<x〈\f（1,a）))))；當a＝1時，原不等式的解集為?；當a〉1時，原不等式的解集為eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1，a）〈x〈1）））)。解含參數的一元二次不等式的一般步驟提醒:對參數分類討論的每一種情況是相互獨立的一元二次不等式的解集,不能合并．2．解關于x的不等式:ax2－2≥2x－ax（a<0)．[解]原不等式移項得ax2＋(a－2）x－2≥0，化簡為（x＋1）(ax－2)≥0。∵a〈0，∴（x＋1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))≤0。當－2<a〈0時,eq\f(2,a)≤x≤－1；當a＝－2時,x＝－1;當a〈－2時，－1≤x≤eq\f(2,a）。綜上所述，當－2〈a<0時，解集為eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（2,a)≤x≤－1）））);當a＝－2時，解集為{x|x＝－1};當a<－2時，解集為eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(2，a）））))。一元二次不等式、二次方程、二次函數的關系[探究問題]1．利用函數y＝x2－2x－3的圖象說明當y>0、y〈0、y＝0時x的取值集合分別是什么？這說明二次函數與二次方程、二次不等式有何關系？［提示］y＝x2－2x－3的圖象如圖所示．函數y＝x2－2x－3的值滿足y〉0時自變量x組成的集合,亦即二次函數y＝x2－2x－3的圖象在x軸上方時點的橫坐標x的集合｛x|x<－1或x〉3};同理，滿足y〈0時x的取值集合為{x｜－1<x<3｝，滿足y＝0時x的取值集合,亦即y＝x2－2x－3圖象與x軸交點橫坐標組成的集合｛－1,3｝．這說明：方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)和不等式ax2＋bx＋c〉0(a〉0）或ax2＋bx＋c〈0（a>0)是函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的一種特殊情況，它們之間是一種包含關系，也就是當y＝0時，函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）就轉化為方程，當y>0或y〈0時,就轉化為一元二次不等式．2．方程x2－2x－3＝0與不等式x2－2x－3〉0的解集分別是什么？觀察結果你發(fā)現什么問題？這又說明什么？[提示］方程x2－2x－3＝0的解集為{－1,3｝．不等式x2－2x－3〉0的解集為｛x｜x<－1或x>3｝，觀察發(fā)現不等式x2－2x－3>0解集的端點值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．3．設一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（a〉0）和ax2＋bx＋c<0（a〉0)的解集分別為{x｜x〈x1或x〉x2｝，｛x|x1〈x<x2}（x1<x2)，則x1＋x2，x1x2為何值？[提示]一元二次不等式ax2＋bx＋c〉0（a〉0）和ax2＋bx＋c〈0（a>0)的解集分別為｛x｜x<x1或x〉x2｝，{x｜x1〈x<x2｝（x1〈x2）,則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＋x2＝－\f(b,a），,x1x2＝\f(c，a)，）)即不等式的解集的端點值是相應方程的根．【例3】已知關于x的不等式ax2＋bx＋c〉0的解集為｛x|2〈x〈3｝,求關于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．思路探究:［解]法一：由不等式ax2＋bx＋c〉0的解集為{x｜2<x〈3｝可知,a〈0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數的關系可知eq\f（b,a)＝－5,eq\f（c,a)＝6。由a<0知c〈0，eq\f（b,c)＝eq\f（－5，6），故不等式cx2＋bx＋a〈0，即x2＋eq\f（b，c）x＋eq\f（a，c)〉0,即x2－eq\f（5,6）x＋eq\f(1，6）〉0，解得x<eq\f(1，3）或x〉eq\f(1，2),所以不等式cx2＋bx＋a〈0的解集為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，＋∞））。法二：由不等式ax2＋bx＋c〉0的解集為{x|2<x〈3｝可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以ax2＋bx＋c＝a（x－2）(x－3）＝ax2－5ax＋6a?b＝－5a，c＝6a,故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0?6aeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(1，3)））eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（1，2））)〈0，故原不等式的解集為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－∞,\f（1,3)）)∪eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）,＋∞））。1．（變結論)本例中的條件不變，求關于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．[解］由根與系數的關系知eq\f（b，a）＝－5，eq\f（c，a）＝6且a<0.∴c<0，eq\f(b,c)＝－eq\f（5，6)，故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－eq\f（b，c）x＋eq\f（a,c)〈0,即x2＋eq\f（5，6）x＋eq\f（1,6)<0.解之得eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2）<x〈－\f（1,3）))))。2．（變條件)若將本例中的條件“關于x的不等式ax2＋bx＋c〉0的解集為｛x|2〈x〈3}變?yōu)椤瓣P于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（1，3)≤x≤2））))。求不等式cx2＋bx＋a〈0的解集．［解］法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\｝（\a\vs4\al\co1（－\f(1,3）≤x≤2)）))知a＜0。又eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1,3）)）×2＝eq\f(c,a）＜0，則c＞0。又－eq\f(1，3），2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，∴－eq\f（b，a)＝eq\f(5，3），∴eq\f(b，a）＝－eq\f（5,3).又eq\f(c,a)＝－eq\f（2，3），∴b＝－eq\f(5,3）a，c＝－eq\f(2,3)a，∴不等式變?yōu)閑q\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(2,3）a）)x2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（5，3）a)）x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0。又∵a＜0,∴2x2＋5x－3＜0,所求不等式的解集為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\｝(\a\vs4\al\co1（－3＜x＜\f（1，2））））).法二:由已知得a＜0且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1,3)))＋2＝－eq\f(b，a）,eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，3)）)×2＝eq\f（c,a)知c＞0，設方程cx2＋bx＋a＝0的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f（b,c）,x1·x2＝eq\f(a,c），其中eq\f（a,c)＝eq\f（1，\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,3）))×2)＝－eq\f（3，2）,－eq\f(b,c）＝eq\f（－\f（b，a）,\f（c，a）)＝eq\f（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，3））)＋2,\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,3)）)×2）＝eq\f(1,\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，3)）））＋eq\f（1，2）＝－eq\f（5，2),∴x1＝eq\f（1,\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，3）))）＝－3,x2＝eq\f（1,2）.∴不等式cx2＋bx＋a＜0(c＞0）的解集為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\｝(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2））)）).已知以a，b，c為參數的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循:1根據解集來判斷二次項系數的符號；2根據根與系數的關系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；3約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解。1．解一元二次不等式的常見方法(1）圖象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數的關系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：①化不等式為標準形式:ax2＋bx＋c＞0(a＞0）或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根，并畫出對應函數y＝ax2＋bx＋c圖象的簡圖；③由圖象得出不等式的解集．（2)代數法:將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解．當m<n時，若（x－m）(x－n)＞0，則可得｛x｜x＞n或x＜m}；若(x－m）（x－n）＜0，則可得{x｜m＜x＜n}．有口訣如下：大于取兩邊，小于取中間．2．含參數的一元二次型的不等式在解含參數的一元二次型的不等式時，往往要對參數進行分類討論，為了做到分類“不重不漏"，討論需從如下三個方面進行考慮（1)關于不等式類型的討論：二次項系數a＞0，a＜0,a＝0。（2)關于不等式對應的方程根的討論：兩根(Δ>0),一根(Δ＝0)，無根（Δ〈0）．（3)關于不等式對應的方程根的大小的討論:x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2。3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函數的開口及與x軸的交點坐標．1．判斷正誤（1）mx2－5x〈0是一元二次不等式．(）(2）若a>0，則一元二次不等式ax2＋1>0無解．()（3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為x1，x2（x1<x2)，則一元二次不等式ax2＋bx＋c〈0的解集為{x|x1〈x<x2}．（）（4）不等式x2－2x＋3>0的解集為R。（）［答案](1）×（2)×(3)×（4）√［提示]（1)錯誤．當m＝0時，是一元一次不等式;當m≠0時，是一元二次不等式．(2）錯誤．因為a>0，所以不等式ax2＋1〉0恒成立，即原不等式的解集為R。(3）錯誤．當a>0時，ax2＋bx＋c<0的解集為｛x｜x1<x<x2}，否則不成立．(4）正確．因為Δ＝（－2）2－12<0,所以不等式x2－2x＋3>0的解集為R。2．設a<－1,則關于x的不等式a（x－a）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（1，a))）〈0的解集為________．eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc