2020高中數(shù)學 第章 概率 模擬方法-概率的應用學案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學必求其心得，業(yè)必貴于專精§3模擬方法——概率的應用學習目標核心素養(yǎng)1.記住幾何概型的概念和特點．(重點)2．掌握幾何概型的計算方法和步驟,準確地把實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題．（重點、難點)3．了解模擬方法的基本思想,會利用這種思想解決某些具體問題，如求某些不規(guī)則圖形的近似面積等．(難點）1.通過學習幾何概型的概念和特點,培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．通過幾何概型的計算公式解決實際問題，提升數(shù)學運算素養(yǎng).1．模擬方法模擬方法是一種非常有效而且應用廣泛的方法，所以我們常常借助模擬方法來估計某些隨機事件發(fā)生的概率，用模擬方法可以在短時間內(nèi)完成大量的重要試驗．2．幾何概型向平面上有限區(qū)域（集合）G內(nèi)隨機地投擲點M,若點M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān),即P（點M落在G1)＝eq\f（G1的面積,G的面積），則稱這種模型為幾何概型．幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域,相應的概率是體積之比或長度之比．3．幾何概型的特點與概率計算公式(1)幾何概型的特點:①試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個．②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．（2)幾何概型的概率計算公式：在幾何概型中，事件A的概率的計算公式如下：P(A）＝eq\f（構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積）.（3)計算步驟：①判斷是否是幾何概型，尤其是判斷等可能性；②計算基本事件空間與事件A所含的基本事件對應的區(qū)域的幾何度量（長度、面積或體積)n和m.這是計算的難點;③利用概率公式P（A）＝eq\f（m，n)計算．思考：幾何概型與古典概型有何區(qū)別？［提示］幾何概型與古典概型的異同點類型異同古典概型幾何概型不同點（基本事件的個數(shù)）一次試驗的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有有限個一次試驗的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件）有無限多個相同點(基本事件發(fā)生的等可能性）每一個試驗結(jié)果（即基本事件)發(fā)生的可能性大小相等1．用隨機模擬方法求得某幾何概型的概率為m，其實際概率的大小為n，則（)A．m＞n B．m＜nC．m＝n D．m是n的近似值D[隨機模擬法求其概率，只是對概率的估計．］2．在半徑為2的球O內(nèi)任取一點P，則｜OP|＞1的概率為(）A.eq\f（7，8）B。eq\f(5,6)C。eq\f（3,4）D。eq\f(1,2）A［問題相當于在以O(shè)為球心，1為半徑的球外，且在以O(shè)為球心，2為半徑的球內(nèi)任取一點，所以P＝eq\f（\f(4，3)π×23－\f（4，3)π×13，\f(4，3）π×23）＝eq\f（7，8）。]3．在長為10cm的線段AB上任取一點P，并以線段AP為邊作正方形,這個正方形的面積介于25cm2與49cm2之間的概率為（)A.eq\f（3，10)B。eq\f(1,5）C.eq\f（2，5)D。eq\f(4,5）B［∵25＜S＜49，∴5＜AP＜7，∴P(25＜S＜49)＝eq\f(7－5，10)＝eq\f(1,5)。］4．在1000mL水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出3mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是________．eq\f(3，1000）［由幾何概型知,P＝eq\f(3，1000）。］與長度有關(guān)的幾何概型【例1】（1）某公共汽車站每隔5min有一輛汽車通過，乘客到達汽車站的任一時刻都是等可能的，乘客候車時間不超過3min的概率是________．（2)一只螞蟻在三邊邊長分別為3,4,5的三角形的邊上爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為________．(1)eq\f(3，5）(2)eq\f（1,2)[(1）法一設(shè)上一輛車于時刻T1到達,而下一輛車于時刻T2到達,線段T1T2的長度為5,記T是線段T1T2上的點,且TT2的長等于3，記等車時間不超過3min為事件A，事件A(候車時間不超過3min)發(fā)生即當點落在線段TT2上，記D＝T1T2＝5，d＝TT2＝3，所以P（A)＝eq\f(d,D)＝eq\f（3,5).即候車時間不超過3min的概率為eq\f（3，5）。法二容易判斷這是一個幾何概型問題，如圖所示．記A為“候車時間不超過3min”，以x表示乘客來到車站的時間,那么每一個試驗結(jié)果可以表示為x，假定乘客到車站后第一輛汽車來到的時刻為t，依據(jù)題意，乘客必在(t－5，t]內(nèi)來到車站,故D＝{x|t－5＜x≤t｝，欲使乘客候車時間不超過3min必須滿足t－3≤x≤t，所以d＝｛x|t－3≤x≤t},所以P(A)＝eq\f(d，D）＝eq\f(3，5）.(2)如圖所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，則△ABC的周長為3＋4＋5＝12。某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率P＝eq\f（DE＋FG＋MN，BC＋CA＋AB)＝eq\f(3＋2＋1，12)＝eq\f（1，2)。］如果試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量能轉(zhuǎn)化為實際意義上的線段長度,這種模型稱為長度型的幾何概型.可按下列公式來計算其概率：PA＝eq\f(事件A構(gòu)成的區(qū)域長度,全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度).1．（1）函數(shù)f(x)＝x2－x－2,x∈［－5，5]，那么任取一點x0∈［－5，5]，使f(x0）≤0的概率為()A．1 B.eq\f（2,3）C.eq\f（3,10) D。eq\f（2，5)（2)如圖，在平面直角坐標系中，射線OT為60°角的終邊,在任意角集合中任取一個角,則該角終邊落在∠xOT內(nèi)的概率是________．（1)C（2)eq\f(1，6)［（1)令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2,f(x)的圖像是開口向上的拋物線,與x軸的交點為(－1,0)，(2，0),圖像在x軸下方，即f(x0)≤0的x0的取值范圍為x0∈[－1，2]，所以P＝eq\f(2－－1,5－－5）＝eq\f（3，10）。（2)因為在任意角集合中任取一個角,則該角終邊落在∠xOT內(nèi)對應的角度為60°，而整個角集合對應的角度為圓周角，所以該角終邊落在∠xOT內(nèi)的概率P＝eq\f（60,360）＝eq\f(1,6).]與體積有關(guān)的幾何概型【例2】一只小蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,求蜜蜂“安全飛行”的概率．［解]依題意，在棱長為3的正方體內(nèi)任意取一點,這個點到各面的距離均大于1，則滿足題意的點區(qū)域為：位于該正方體中心的一個棱長為1的小正方體．由幾何概型的概率公式，可得滿足題意的概率為P＝eq\f(13，33）＝eq\f（1,27）。1．如果試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來度量，我們要結(jié)合問題的背景，選擇好觀察角度，準確找出基本事件所占的體積及事件A所占的體積．其概率的計算公式為:P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的體積,試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的體積）。2．解決此類問題一定要注意幾何概型的條件，并且要特別注意所求的概率是與體積有關(guān)還是與長度有關(guān),不要將二者混淆．2．在棱長為2的正方體ABCD。A1B1C1D1中任取一點M，則滿足∠AMBA。eq\f（π，24) B。eq\f(π,12)C。eq\f（π,8) D。eq\f（π，6）A[在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中任取一點M，滿足∠AMB＞90°的區(qū)域的面積是半徑為1的球的eq\f(1，4),體積為eq\f（1,4）×eq\f(4，3)×π×13＝eq\f(π，3)，∴所求概率為eq\f（\f（π，3），8)＝eq\f（π,24),故選A。］與面積有關(guān)的幾何概型[探究問題］1．幾何概型的概率計算與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀有關(guān)嗎？提示:幾何概型的概率只與它的長度(面積或體積）有關(guān)，而與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無關(guān)．2．在幾何概型中，如果A為隨機事件，若P（A)＝0，則A一定為不可能事件;若P（A)＝1,則A一定為必然事件，這種說法正確嗎?提示:不正確．若隨機事件所在的區(qū)域是一個單點,由于單點的長度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，顯然它不是不可能事件．如果一個隨機事件所在的區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點，則它出現(xiàn)的概率為1,但它不是必然事件．【例3】假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30～7：30之間把報紙送到你家,你父親離開家去工作的時間是7：00～8:00。問你父親在離開家前能拿到報紙(稱為事件A）的概率是多少？[解］如圖，送報人到達的時間是6：30～7：30的任一時刻，父親離開家去工作的時間是7：00～8：00的任一時刻,如果在直角坐標系內(nèi)以x軸表示報紙送到的時間,y軸表示父親離開家的時間，因為報紙送到的時間和父親離開家的時間都是隨機的,所以隨機試驗的所有結(jié)果(x，y)是圖中所示正方形中等可能的任意一點．事件A(父親離開家前能拿到報紙）發(fā)生需x≤y,即正方形內(nèi)陰影部分，事件A發(fā)生的概率只與陰影部分的面積大小有關(guān)，這符合幾何概型的條件．μA＝12－eq\f（1，2)×eq\f(1，2)×eq\f（1,2）＝eq\f(7,8）,μn＝1,所以P（A)＝eq\f（μA，μn）＝eq\f(7，8）.在研究射擊、射箭、投中、射門等實際問題時，常借助于區(qū)域的面積來計算概率的值。此時，只需分清各自區(qū)域特征，分別計算其面積，以公式PA＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域面積，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積)計算事件的概率即可。3．(1)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（)A.eq\f（1,4) B.eq\f（π,8)C.eq\f(1，2) D。eq\f（π，4）(2)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上,點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1,x≥0，－\f（1,2)x＋1，x＜0))的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于（)A。eq\f(1，6）B。eq\f（1,4）C.eq\f(3,8）D。eq\f（1，2）(1)B（2）B[(1）不妨設(shè)正方形的邊長為2,則正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為π.由于正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，所以黑色部分的面積為eq\f（π，2）,故此點取自黑色部分的概率為eq\f（\f(π，2）,4）＝eq\f（π,8）.故選B.(2)易知點C的坐標為（1,2），點D的坐標為(－2，2),所以矩形ABCD的面積為6，陰影部分的面積為eq\f(3，2）,故所求概率為eq\f（1,4）。]1．幾何概型適用于試驗結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型．2．幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的題目．3．注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別．4．理解如何將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為P(A）＝eq\f（構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積)。1．思考辨析(1)從區(qū)間[－10,10]內(nèi)任取一個整數(shù)，求取到1的概率概型是幾何概型． （)(2)從區(qū)間［－10,10]內(nèi)任取一個數(shù)，求取到大于等于1且小于等于5的數(shù)的概率模型是幾何概型． ()（3)從一個邊長為4cm的正方形ABCD內(nèi)任取一點P，求點P離中心不超過1cm的概率模型是幾何概型． ()(4)幾何概型中每個結(jié)果發(fā)生的可能性都相等． (）［解析］(1）×，是古典概型．(2）√,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限個，且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．（3)√，符合幾何概型的特征．(4)√，由幾何概型的特點可知．［答案］(1）×(2)√（3）√(4）√2．在500mL的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率為（)A．0B．0。002C．0.004D．1C［由幾何概型公式得：P＝eq\f(2,500)＝0.004.］3。如圖所示,在平面直角坐標系內(nèi),射線OT落在60°的終邊上,任做一條射線OA,射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率為________．eq\f（1，6）［記B＝{射線OA落在∠xOT內(nèi)｝，∵∠xOT＝60°,∴P（B)＝eq\f（60°，360°）