2020高中數(shù)學 第章 函數(shù) .1.1 函數(shù)及其表示方法（第2課時）函數(shù)的表示方法學案 第一冊

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時函數(shù)的表示方法學習目標核心素養(yǎng)1.掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖像法、列表法．（重點）2．會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)．（難點)3．理解分段函數(shù)的概念，會求分段函數(shù)的函數(shù)值，能畫出分段函數(shù)的圖像．（重點，難點）4．能在實際問題中選擇恰當?shù)姆椒ū硎緝勺兞恐g的函數(shù)關(guān)系，并能解決有關(guān)問題．（重點、難點）1。通過函數(shù)表示的圖像法培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．2．通過函數(shù)解析式的求法培養(yǎng)運算素養(yǎng)．3．利用函數(shù)解決實際問題,培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)。1．函數(shù)的圖像(1)定義：將函數(shù)y＝f（x），x∈A中的自變量x和對應的函數(shù)值y，分別看成平面直角坐標系中點的橫坐標與縱坐標，則滿足條件的點(x，y)組成的集合F稱為函數(shù)的圖像,即F＝{(x，y）｜y＝f(x),x∈A}．（2)F是函數(shù)y＝f（x）的圖像，必經(jīng)滿足下列兩條①圖像上任意一點的坐標（x,y）都滿足函數(shù)關(guān)系y＝f（x);②滿足函數(shù)關(guān)系y＝f(x)的點(x，y）都在函數(shù)圖像F上．2．函數(shù)的表示法思考1：任何一個函數(shù)都可以用解析法、列表法、圖像法三種形式表示嗎?提示：不一定．并不是所有的函數(shù)都可以用解析式表示,不僅如此，圖像法也不適用于所有函數(shù),如D（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(0，x∈Q,,1,x∈?RQ。)）列表法雖在理論上適用于所有函數(shù)，但對于自變量有無數(shù)個取值的情況,列表法只能表示函數(shù)的一個概況或片段．3．分段函數(shù)如果一個函數(shù)，在其定義域內(nèi),對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應方式，則稱其為分段函數(shù)．思考2：分段函數(shù)是一個函數(shù)還是幾個函數(shù)？提示:分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)．1．已知函數(shù)f(x）由下表給出，則f(3)等于（）x1≤x〈222<x≤4f(x)123A.1 B．2C．3 D．不存在C［∵當2<x≤4時，f(x）＝3，∴f（3）＝3.]2．二次函數(shù)的圖像的頂點為(0,－1）,對稱軸為y軸，則二次函數(shù)的解析式可以為（）A．y＝－eq\f(1,4)x2＋1 B．y＝eq\f（1,4）x2－1C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16B[把點(0，－1)代入四個選項可知，只有B正確．］3．下列給出的式子是分段函數(shù)的是(）①f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋1，1≤x≤5,,2x，x〈1。)）②f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈R,，x2，x≥2。)）③f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3，1≤x≤5,，x2，x≤1。))④f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋3，x<0，，x－1，x≥5。))A．①② B．①④C．②④ D．③④B［結(jié)合分段函數(shù)的定義可知①④是分段函數(shù)，②③中不同對應關(guān)系的定義域有重疊部分，故選B。]4．已知函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示,則其定義域是________．［－2,3］［由圖像可知f（x)的定義域為[－2,3]．]函數(shù)的三種表示方法【例1】某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來．［解］①列表法如下：x（臺)12345y（元)3000600090001200015000x（臺)678910y（元）1800021000240002700030000②圖像法：如圖所示．③解析法：y＝3000x，x∈｛1，2,3，…，10}．列表法、圖像法和解析法是從三個不同的角度刻畫自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系，同一個函數(shù)可以用不同的方法表示。在用三種方法表示函數(shù)時要注意：①解析法必須注明函數(shù)的定義域；②列表法中選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征;③圖像法中要注意是否連線.1．若集合A＝｛x|0≤x≤2｝,B＝{y｜0≤y≤3}，則給出的下列圖形表示為定義在A上的函數(shù)圖像的是(）ABCD(2)由下表給出函數(shù)y＝f(x)，則f（f(1))等于（)x12345y45321A.1 B．2C．4 D．5（1）D(2)B[（1)A中的對應不滿足函數(shù)的存在性，即存在x∈A，但B中無與之對應的y；B、C均不滿足函數(shù)的唯一性，只有D正確．(2）由題意可知,f(1)＝4,f(4)＝2，∴f(f（1）)＝f(4）＝2，故選B。］函數(shù)解析式的求法【例2】(1）已知f（eq\r(x)＋1）＝x－2eq\r（x），求f（x)的解析式；（2）已知函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，若f(f（x))＝4x＋8，求f(x)的解析式;（3）如圖所示,已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm,腰長為2eq\r（2)cm，當垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動（與梯形ABCD有公共點）時，直線l把梯形分成兩部分,令BF＝x，試寫出左邊部分的面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式．［思路點撥](1）用換元法或配湊法求解；（2）用待定系數(shù)法求解;(3）可按點E所在的位置分E在線段AB，E在線段AD及E在線段CD三類分別求解．［解]（1）法一(換元法）：令t＝eq\r（x）＋1，則t≥1，x＝（t－1）2,代入原式有f（t)＝(t－1）2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f（x）＝x2－4x＋3（x≥1）．法二(配湊法)：f（eq\r(x)＋1）＝x＋2eq\r（x)＋1－4eq\r（x）－4＋3＝(eq\r(x)＋1)2－4（eq\r(x）＋1)＋3，因為eq\r(x)＋1≥1，所以f（x)＝x2－4x＋3(x≥1)．(2）設f(x）＝ax＋b（a≠0)，則f（f（x））＝f(ax＋b)＝a(ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b.又f（f(x))＝4x＋8,所以a2x＋ab＋b＝4x＋8,即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a2＝4,,ab＋b＝8，））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,，b＝\f(8，3）））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－2，,b＝－8。）)所以f（x）＝2x＋eq\f（8，3)或f（x)＝－2x－8。(3）過點A，D分別作AG⊥BC,DH⊥BC，垂足分別是G，H。因為四邊形ABCD是等腰梯形，底角為45°，AB＝2eq\r（2)cm,所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm。①當點F在BG上,即x∈[0，2］時，y＝eq\f(1,2）x2；②當點F在GH上，即x∈（2，5]時,y＝eq\f（x＋x－2，2)×2＝2x－2；③當點F在HC上，即x∈（5,7]時，y＝S五邊形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f（1，2)(7＋3）×2－eq\f(1,2)(7－x)2＝－eq\f(1，2）(x－7)2＋10。綜合①②③，得函數(shù)的解析式為y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)x2，x∈［0，2］,，2x－2，x∈2,5］，,－\f(1，2)x－72＋10，x∈5，7].)）圖像如圖所示．求函數(shù)解析式的常用方法1待定系數(shù)法：若已知fx的解析式的類型,設出它的一般形式，根據(jù)特殊值確定相關(guān)的系數(shù)即可.2換元法:設t＝gx，解出x，代入fgx，求ft的解析式即可。3配湊法：對fgx的解析式進行配湊變形，使它能用gx表示出來，再用x代替兩邊所有的“gx"即可.4方程組法或消元法：當同一個對應關(guān)系中的兩個元素之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時，可構(gòu)造方程組求解.提醒：1應用換元法求函數(shù)解析式時，務必保證函數(shù)在換元前后的等價性。2在實際問題背景下，自變量取值區(qū)間不同，對應關(guān)系也不同，此時需要用分段函數(shù)表示.2．已知函數(shù)f（x＋1）＝3x＋2,則f（x)的解析式是()A．f（x)＝3x－1B．f(x）＝3x＋1C．f(x)＝3x＋2 D．f（x）＝3x＋4A[令x＋1＝t，則x＝t－1，∴f（t)＝3（t－1)＋2＝3t－1?！鄁（x)＝3x－1.]3．已知函數(shù)f（x）對于任意的x都有f（x）－2f(－x)＝1＋2x，則f（x)＝________.eq\f(2,3）x－1［由題意,在f(x)－2f（－x）＝1＋2x中,以－x代替x可得f（－x)－2f(x）＝1－2x,聯(lián)立可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（fx－2f－x＝1＋2x，,f－x－2fx＝1－2x，）)消去f(－x)可得f（x)＝eq\f(2,3)x－1.］函數(shù)的圖像及應用【例3】（1）作出函數(shù)y＝eq\f（2,x），x∈[2，＋∞）的圖像并求出其值域．(2)某市“招手即停"公共汽車的票價按下列規(guī)則制定：①5公里以內(nèi)（含5公里)，票價2元；②5公里以上，每增加5公里，票價增加1元（不足5公里按照5公里計算)．如果某條線路的總里程為20公里，請根據(jù)題意,寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像．[思路點撥］(1）列表→描點→連結(jié)；（2）分段函數(shù)的圖像需要在同一坐標系中分段畫出．［解]（1）列表x2345…y1eq\f(2，3)eq\f(1,2)eq\f(2，5）…當x∈［2，＋∞）時，圖像是反比例函數(shù)y＝eq\f（2,x）的一部分,觀察圖像可知其值域為（0，1］．（2）設票價為y元,里程為x公里，定義域為(0，20]．由題意得函數(shù)的解析式如下:y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2,0<x≤5，，3，5〈x≤10，，4,10〈x≤15，,5,15<x≤20.）)函數(shù)圖像如圖所示:描點法作函數(shù)圖像的三個關(guān)注點1畫函數(shù)圖像時首先關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖。2圖像是實線或?qū)嶞c，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖像。3要標出某些關(guān)鍵點，例如圖像的頂點、端點、與坐標軸的交點等.要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點.提醒：1函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等。2分段函數(shù)的圖像是在同一個直角坐標系內(nèi)分別作出各段的圖像，在作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏。4．已知函數(shù)f(x）＝1＋eq\f(｜x|－x,2）(－2〈x≤2）．(1)用分段函數(shù)的形式表示f（x)；（2）畫出f（x）的圖像；（3）若f（a）＝2，求實數(shù)a的值．［解］（1）當0≤x≤2時，f(x）＝1＋eq\f(x－x,2)＝1，當－2〈x<0時，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2）＝1－x，∴f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1,0≤x≤2,，1－x,－2<x〈0。）)（2)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示．（3）∵f（a）＝2由函數(shù)圖像可知a∈（－2,0)，∴1－a＝2，即a＝－1.1．函數(shù)有三種常用的表示方法，可以適時的選擇，以最佳的方式表示函數(shù)，解析式后不注明定義域即可視為該函數(shù)的定義域為使此解析式有意義的實數(shù)集R或R的子集．2．作函數(shù)圖像必須要讓作出的圖像反映出圖像的伸展方向，與x軸、y軸有無交點，圖像有無對稱性，并標明特殊點．3．分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)．4．分段函數(shù)求值要先找準自變量所在的區(qū)間；分段函數(shù)的定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集.1．思考辨析（1)任何一個函數(shù)都可以用解析法表示．（)（2）函數(shù)的圖像一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線．（）（3）分段函數(shù)由幾個函數(shù)構(gòu)成．(）(4）函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1,，－x＋3，x>1)）是分段函數(shù)．(）[答案](1）×（2）×(3）×（4）√2．設函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，，\f（2,x)，x>1，））則f(f（3))＝()A。eq\f(1,5） B．3C.eq\f（2，3） D。eq\f(13,9）D[∵f（3)＝eq\f(2,3）≤1，∴f(f（3))＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2，3）））eq\s\up20(2）＋1＝eq\f（13，9）。］3．函數(shù)y＝f(x）的圖像如圖所示，則其解析式為________．f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x,0≤x≤1，,2,1〈x〈