2020高中數學 第章 平面向量及其應用 .2 平面向量的運算 5 向量的數量積（1） 第二冊

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)5向量的數量積(1)知識點一向量夾角的概念1。已知|a|＝|b｜＝3，且a與b的夾角為80°，則a＋b與a－b的夾角是________．答案90°解析如圖，作向量eq\o（OA,\s\up15（→））＝a,eq\o(OB,\s\up15(→)）＝b，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形，則四邊形OACB為菱形．∵eq\o(OC,\s\up15(→)）＝a＋b，eq\o（BA,\s\up15(→)）＝eq\o(OA,\s\up15（→))－eq\o(OB，\s\up15(→)）＝a－b，eq\o(OC,\s\up15（→))⊥eq\o(BA，\s\up15（→)）,∴a＋b與a－b的夾角為90°.2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，｜eq\o(AB,\s\up15(→）)|＝eq\r(3),｜eq\o（CB，\s\up15（→))|＝1,則Aeq\o（C，\s\up15(→)）與Ceq\o(B,\s\up15(→））的夾角θ＝________.答案120°解析在Rt△ABC中,∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，CB＝1，所以tan∠ACB＝eq\f（AB,CB)＝eq\r（3)，所以∠ACB＝60°,即eq\o（CB，\s\up15(→)）與eq\o(CA,\s\up15(→））的夾角為60°,所以eq\o（AC,\s\up15(→））與eq\o（CB，\s\up15（→））的夾角為120°。知識點二平面向量數量積的定義3。若向量a,b滿足｜a|＝｜b|＝1，a與b的夾角為60°，則a·b等于()A。eq\f(1，2） B。eq\f(3,2）C．1＋eq\f(\r（3),2) D．2答案A解析a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝1×1×eq\f(1，2)＝eq\f（1,2）.4．已知兩個單位向量e1，e2的夾角為eq\f(π，3），若向量b1＝e1－2e2,b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________.答案－6解析由題設知|e1｜＝|e2｜＝1且e1·e2＝eq\f（1，2)，所以b1·b2＝(e1－2e2）·(3e1＋4e2）＝3eeq\o\al(2,1)－2e1·e2－8eeq\o\al（2,2）＝3－2×eq\f(1,2）－8＝－6。知識點三投影向量5。已知等邊△ABC的邊長為2,則向量eq\o（AB,\s\up15（→）)在向量eq\o(CA,\s\up15（→）)方向上的投影向量為(）A．－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15（→)) B。eq\f（1,2）eq\o(CA,\s\up15（→))C．2eq\o(AC,\s\up15（→)） D．2eq\o(CA,\s\up15（→）)答案A解析在等邊△ABC中,∵∠A＝60°，∴向量eq\o（AB，\s\up15(→））在向量eq\o（AC,\s\up15（→)）方向上的投影向量為eq\f（1，2）eq\o(AC，\s\up15(→)），∴向量eq\o（AB,\s\up15（→))在向量eq\o(CA,\s\up15（→))方向上的投影向量為－eq\f（1,2)eq\o(CA,\s\up15(→)）.故選A.6．若｜a｜＝2，｜b|＝4，向量a與向量b的夾角為120°，記向量a在向量b方向上的投影向量為γ，則｜γ｜＝（)A．4 B．3C．2 D．1答案D解析設向量a與向量b的夾角為θ，與b方向相同的單位向量為e,則a在b方向上的投影向量γ＝｜a|cosθ·e，則|γ｜＝||a|cosθ｜＝｜2×cos120°|＝1，故選D.7．已知｜a|＝4，e為單位向量，a與e的夾角為eq\f(2π,3），則e在a方向上的投影向量的模為________．答案eq\f（1,2）解析∵a與e的夾角θ＝eq\f(2π，3)，∴e在a方向上的投影向量的模為||e|·cosθ｜＝eq\f（1,2)。知識點四平面向量數量積的性質及運算律8.給出以下結論：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝｜a｜2;④(a·b)·c＝a·（b·c）；⑤|a·b|≤a·b。其中正確結論的個數為(）A．1 B．2C．3 D．4答案C解析①②③顯然正確；(a·b）·c與c共線,而a·（b·c）與a共線，故④錯誤;｜a·b|＝|a|b||cosθ｜，a·b＝|a||b｜cosθ，有|a·b｜≥a·b，故⑤錯誤．9．若｜a|＝1，|b｜＝2，則|a·b|的值不可能是（）A．0 B。eq\f（1，2)C．2 D．3答案D解析由向量內積性質知｜a·b｜≤|a|｜b｜＝2.故選D。10．如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點,E,F是AD上的兩個三等分點，eq\o(BA，\s\up15(→))·eq\o(CA，\s\up15(→）)＝4，eq\o（BF，\s\up15(→))·eq\o（CF，\s\up15（→))＝－1,則eq\o(BE，\s\up15(→)）·eq\o（CE,\s\up15(→))的值是________．答案eq\f(7,8）解析設eq\o（BD,\s\up15（→））＝a，eq\o（DF，\s\up15（→)）＝b，則eq\o(BA,\s\up15（→））·eq\o（CA,\s\up15（→）)＝（a＋3b)·(－a＋3b)＝9｜b｜2－｜a｜2＝4,eq\o（BF，\s\up15（→)）·eq\o（CF,\s\up15(→)）＝（a＋b)·（－a＋b）＝|b|2－｜a|2＝－1，解得｜a｜2＝eq\f（13,8)，|b｜2＝eq\f(5,8)，則eq\o（BE，\s\up15(→)）·eq\o(CE，\s\up15(→）)＝（a＋2b）·（－a＋2b）＝4｜b｜2－|a|2＝eq\f（7，8)。知識點五平面向量數量積的應用11.若向量a與b的夾角為60°，|b｜＝4，（a＋2b）·（a－3b)＝－72，則向量a的模為（）A．2 B．4C．6 D．12答案C解析∵a·b＝|a｜｜b｜cos60°＝2｜a｜,∴(a＋2b)·(a－3b)＝｜a｜2－6|b|2－a·b＝|a｜2－2|a|－96＝－72.∴|a｜＝6.故選C。12．如圖，在△ABC中，AD⊥AB,eq\o（BC，\s\up15（→)）＝eq\r(3)eq\a\vs4\al（\o(BD,\s\up15（→))），|eq\o（AD，\s\up15(→))｜＝1，則eq\o（AC，\s\up15(→））·eq\o(AD，\s\up15(→)）＝(）A．2eq\r（3） B.eq\f（\r(3),2）C.eq\f（\r（3），3） D。eq\r(3）答案D解析設|eq\o（BD,\s\up15(→））|＝x，則|eq\o（BC,\s\up15(→）)｜＝eq\r(3）x，eq\o（AC，\s\up15（→）)·eq\o（AD,\s\up15(→)）＝(eq\o（AB,\s\up15（→））＋eq\o（BC,\s\up15（→）))·eq\o（AD，\s\up15（→)）＝eq\o（BC，\s\up15(→))·eq\o（AD，\s\up15（→))＝|eq\o(BC,\s\up15（→）)｜|eq\o（AD,\s\up15(→）)｜cos∠ADB＝eq\r（3）x·1·eq\f（1,x）＝eq\r(3）。13．設四邊形ABCD為平行四邊形，｜eq\o（AB,\s\up15(→))｜＝6，|eq\o（AD，\s\up15(→）)｜＝4。若點M,N滿足eq\o(BM,\s\up15(→））＝3eq\o(MC，\s\up15（→）），eq\o（DN,\s\up15(→)）＝2eq\o（NC,\s\up15(→）），則eq\o（AM，\s\up15（→））·eq\o(NM,\s\up15(→））＝()A．20 B．15C．9 D．6答案C解析如圖所示,由題設知:eq\o(AM，\s\up15（→）)＝eq\o（AB，\s\up15(→）)＋eq\o(BM，\s\up15(→）)＝eq\o（AB，\s\up15(→)）＋eq\f(3，4)eq\o(AD,\s\up15(→)),eq\o（NM，\s\up15（→)）＝eq\f（1，3）eq\o(AB,\s\up15(→））－eq\f(1，4)eq\o(AD,\s\up15(→))，所以eq\o(AM，\s\up15（→))·eq\o（NM，\s\up15（→））＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\o(AB，\s\up15（→））＋\f(3,4)\o（AD,\s\up15(→))））·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，3)\o（AB,\s\up15（→)）－\f（1,4)\o（AD,\s\up15（→）））)＝eq\f(1,3)|eq\o（AB,\s\up15(→））|2－eq\f（3,16）|eq\o(AD，\s\up15（→)）|2＋eq\f（1,4)eq\o（AB，\s\up15（→))·eq\o(AD,\s\up15（→））－eq\f（1,4）eq\o(AB，\s\up15（→)）·eq\o(AD,\s\up15(→））＝eq\f（1，3）×36－eq\f（3，16)×16＝9.易錯點求夾角時忽略向量的方向致誤14.已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°,且｜b｜＝2｜a|，則向量b與c的夾角為________．易錯分析本題出錯的原因是確定向量夾角時未考察向量的方向，簡單認為角B即為向量b與c的夾角．答案150°正解由題意畫出圖形，如圖,因為a，b的夾角為120°，所以∠CAB＝60°,又｜b｜＝2｜a｜，所以∠ACB＝90°，所以∠ABC＝30°，則b與c的夾角為150°。一、選擇題1．向量a的模為10，它與向量b的夾角為150°,則它在b方向上的投影向量的模為()A．－5eq\r（3） B．5C．－5 D．5eq\r（3）答案D解析a在b方向上的投影向量的模為｜｜a｜·cos150°｜＝5eq\r（3）。2．如圖所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，則eq\o(AB,\s\up15(→）)·Beq\o（C,\s\up15（→)）的值為（)A．1 B．－1C．2 D．－2答案B解析eq\o(AB，\s\up15(→））·eq\o(BC，\s\up15(→))＝eq\o(AB，\s\up15(→))·(eq\o（AC，\s\up15(→))－eq\o（AB，\s\up15（→)）)＝eq\o（AB，\s\up15（→))·eq\o(AC,\s\up15（→))－eq\o(AB，\s\up15（→））2＝－｜eq\o(AB，\s\up15(→))｜2＝－1.3．已知a⊥b，|a｜＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直,則λA.eq\f（3，2） B．－eq\f（3，2）C．±eq\f（3，2） D．1答案A解析∵（3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋（2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝eq\f(3，2）。故選A。4．設a，b，c是任意的非零向量，且互不共線，給出以下命題:①(a·b）·c－(c·a)·b＝0；②(b·c）·a－（c·a)·b不與c垂直;③（3a＋2b）·（3a－2b)＝9|a|2－4|b｜其中為正確命題的是（）A．①② B．①③C．②③ D．③答案D解析(a·b)·c表示與向量c共線的向量，（c·a）·b表示與向量b共線的向量，而b，c不共線,所以①錯誤;［（b·c）·a－(c·a）·b]·c＝0，即（b·c)·a－(c·a)·b與c垂直，故②錯誤;顯然③正確．5．對任意平面向量a，b,下列關系式中不恒成立的是(）A．｜a·b|≤|a||b｜B．｜a－b|≤||a|－|b｜|C．（a＋b)2＝|a＋b｜2D．(a＋b)·(a－b）＝a2－b2答案B解析設向量a，b的夾角為θ,∵|a·b｜＝|a｜|b|·|cosθ｜≤｜a｜｜b|,∴A正確；∵當向量a,b反向時，｜a－b|≥|｜a|－|b｜|,∴B錯誤；由向量的平方等于向量模的平方可知C正確；根據向量的運算法則,可推導出（a＋b）·(a－b)＝a2－b2，故D正確．二、填空題6．已知e為一單位向量，a與e之間的夾角是120°，而a在e方向上的投影向量的模長為2，則｜a|＝________。答案4解析因為||a｜·cos120°|＝2,所以eq\f（1，2)|a|＝2，所以|a｜＝4.7．在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3,BC＝10,則eq\o(AB,\s\up15（→）)·eq\o(AC，\s\up15（→）)＝________.答案－16解析eq\o（AB，\s\up15（→）)＝eq\o(AM,\s\up15（→））－eq\o(BM,\s\up15(→)）＝eq\o(AM,\s\up15（→））－eq\f(1,2)eq\o(BC，\s\up15（→)）,eq\o（AC，\s\up15(→））＝eq\o（AM,\s\up15（→)）＋eq\o(MC，\s\up15(→）)＝eq\o（AM，\s\up15（→)）＋eq\f(1，2)eq\o(BC，\s\up15（→）），∴eq\o（AB,\s\up15（→）)·eq\o（AC，\s\up15（→）)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\o(AM,\s\up15(→)）－\f（1,2)\o（BC，\s\up15(→）)))·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\o（AM,\s\up15(→）)＋\f(1，2)\o(BC,\s\up15（→）))）＝eq\o（AM,\s\up15(→））2－eq\f（1，4）eq\o(BC，\s\up15（→）)2＝9－eq\f(1，4）×100＝－16.8．已知a，b，c為單位向量,且滿足3a＋λb＋7c＝0，a與b的夾角為eq\f（π,3），則實數λ＝________。答案－8或5解析由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－（3a＋λb），即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b,而a，b，c為單位向量，則a2＝b2＝c2＝1,則49＝9＋λ2＋6λcoseq\f（π,3)，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ三、解答題9．（1）已知｜a|＝3,|b｜＝6，當①a∥b，②a⊥b,③a與b的夾角是60°時，分別求a·b；(2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5,AC＝4，求eq\o(AB，\s\up15(→)）·eq\o（BC，\s\up15（→）).解（1)①當a∥b時