2020高中數(shù)學(xué) 第章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 .1 數(shù)系的擴(kuò)充學(xué)案 2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。1數(shù)系的擴(kuò)充學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示．（重點）2．利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式進(jìn)行分類和復(fù)數(shù)相等的充要條件的應(yīng)用．(重點、難點)3．實部、虛部的概念．（易混點）通過對復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。1．復(fù)數(shù)的相關(guān)概念（1)虛數(shù)單位我們引入一個新數(shù)i,叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：①i2＝－1;②實數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立．(2)復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)集①形如a＋bi（a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，全體復(fù)數(shù)所組成的集合叫做復(fù)數(shù)集，記作C。②復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a,b∈R），其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部．2．復(fù)數(shù)的分類與復(fù)數(shù)相等(1）復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時，z是實數(shù);當(dāng)b≠0時，z叫做虛數(shù);當(dāng)a＝0且b≠0時,z＝bi叫做純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a，b，c，d都是實數(shù),那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d。思考：復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間存在怎樣的關(guān)系?[提示］1．復(fù)數(shù)i－2的虛部是（)A．i B．－2C．1 D．2C［i－2＝－2＋i，因此虛部是1。］2．如果(x＋y）i＝x－1，則實數(shù)x，y的值分別為（)A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1C．x＝1,y＝0 D．x＝0,y＝0A[∵（x＋y)i＝x－1，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＝0,，x－1＝0，))∴x＝1,y＝－1.]3．①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)；②若(x2－1）＋(x2＋3x＋2）i（x∈R)是純虛數(shù)，則x＝±1；③兩個虛數(shù)不能比較大?。渲姓_命題的序號是__________．(填序號）③［當(dāng)a＝－1時，(a＋1）i＝0，故①錯誤;兩個虛數(shù)不能比較大小，故③對；若(x2－1）＋（x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－1＝0,,x2＋3x＋2≠0,））即x＝1，故②錯．］4．若xi－i2＝y(tǒng)＋2i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi＝________。2＋i［由i2＝－1得xi－i2＝1＋xi，即1＋xi＝y(tǒng)＋2i，根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2，，y＝1，)）故x＋yi＝2＋i.]復(fù)數(shù)的相關(guān)概念【例1】（1)復(fù)數(shù)z＝4－3i的實部和虛部分別是________和________．（2)復(fù)數(shù)z＝（m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，當(dāng)實數(shù)m①z為實數(shù)；②z為虛數(shù)；③z為純虛數(shù)．(3）當(dāng)實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)z＝eq\f（m2＋m－6,m)＋(m2－2m）i為：①實數(shù)；②虛數(shù)；③純虛數(shù)．(1）4－3[由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及實、虛部的概念知,復(fù)數(shù)z的實部和虛部分別為4和－3.](2)[解］①當(dāng)m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1時，z為實數(shù)．②當(dāng)m2＋m－2≠0,即m≠－2且m≠1時,z為虛數(shù)．③當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－2≠0，，m2－3m＋2＝0，）)即m＝2時，z為純虛數(shù)．(3)［解]①eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m2－2m＝0,，m≠0，））即m＝2，∴當(dāng)m＝2時，復(fù)數(shù)z是實數(shù)．②當(dāng)m2－2m≠0,且m≠0，即m≠0且m≠2時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．③由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（m2＋m－6，m)＝0，,m2－2m≠0,））解得m＝－3，∴當(dāng)m＝－3時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．判斷與復(fù)數(shù)有關(guān)的命題是否正確的方法(1）舉反例:判斷一個命題為假命題,只要舉一個反例即可,所以解答這類題型時,可按照“先特殊,后一般，先否定，后肯定”的方法進(jìn)行解答．(2）化代數(shù)式：對于復(fù)數(shù)實部、虛部的確定，不但要把復(fù)數(shù)化為a＋bi的形式,更要注意這里a，b均為實數(shù)時，才能確定復(fù)數(shù)的實、虛部．1．下列命題中是假命題的是________．(填序號)①自然數(shù)集是非負(fù)整數(shù)集②實數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集為實數(shù)集③實數(shù)集與虛數(shù)集的交集是{0｝④純虛數(shù)集與實數(shù)集的交集為空集③［復(fù)數(shù)可分為實數(shù)和虛數(shù)兩大部分，虛數(shù)中含有純虛數(shù)，因此，實數(shù)集與虛數(shù)集沒有公共元素，③是假命題．］復(fù)數(shù)的分類及應(yīng)用【例2】（1）復(fù)數(shù)z＝a2－b2＋（a＋|a|)i（a，b∈R）為純虛數(shù)的充要條件是________．（2）已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝eq\f(mm＋2,m－1）＋(m2＋2m－3）i，當(dāng)m為何值時,①z為實數(shù)；②z為虛數(shù);③z為純虛數(shù)．(1)a>0且a＝±b［要使復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝0，,a＋｜a｜≠0，))∴a>0,a＝±b.]（2）［解]①要使z為實數(shù),需滿足m2＋2m－3＝0，且eq\f（mm＋2，m－1）有意義，即m－1≠0，解得m＝－3。②要使z為虛數(shù),需滿足m2＋2m－3≠0，且eq\f（mm＋2,m－1）有意義，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3。③要使z為純虛數(shù)，需滿足eq\f(mm＋2,m－1）＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)時，要先確定構(gòu)成實部、虛部的式子有意義的條件,再結(jié)合實部與虛部的取值求解．要特別注意復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R）為純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0.2．若把上例(1)中的“純虛數(shù)”改為“實數(shù)”，則結(jié)果如何？[解］復(fù)數(shù)z為實數(shù)的充要條件是a＋|a|＝0,即|a|＝－a，所以a≤0。復(fù)數(shù)相等的充要條件［探究問題］1．由3>2能否推出3＋i〉2＋i？兩個實數(shù)能比較大小，那么兩個復(fù)數(shù)能比較大小嗎？提示：由3〉2不能推出3＋i〉2＋i,當(dāng)兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)時,可以比較大小，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)時，不能比較大?。?．若復(fù)數(shù)z＝a＋bi〉0,則實數(shù)a，b滿足什么條件？提示：若復(fù)數(shù)z＝a＋bi>0，則實數(shù)a，b滿足a>0，且b＝0?！纠?】(1）若復(fù)數(shù)z＝（m＋1）＋（m2－9)i<0，則實數(shù)m的值等于________．（2）已知關(guān)于x的方程x2＋(1－2i）x＋（3m－i）＝0有實數(shù)根，求實數(shù)m[思路探究］（1）等價轉(zhuǎn)化為虛部為零，且實部小于零；(2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解．(1)－3[∵z〈0，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m2－9＝0,，m＋1＜0，))∴m＝－3。］(2）［解]設(shè)a是原方程的實根，則a2＋（1－2i）a＋(3m－i)＝0，即（a2＋a＋3m）－(2a＋1）i＝0＋0i，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－eq\f(1，2)且eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))）2－eq\f（1，2）＋3m＝0，所以m＝eq\f（1，12）.1．（變條件)若x＝1是方程x2＋（1－2i）x＋（3m－i）＝0的實數(shù)根,求復(fù)數(shù)m［解]由題意可知,1＋1－2i＋3m－i＝0，即m＝－eq\f（2，3)＋i。2．（變條件）若x2＋(1－2i)x＋(3m－i）〉0,求實數(shù)m[解]由題意可知，x2＋（1－2i)x＋（3m－i)＝x2＋x＋3m－(2故eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋1＝0,,x2＋x＋3m>0，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－\f（1，2），,m〉\f(1,12)。）)所以實數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,12)，＋∞)）.復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧(1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實部與實部相等，虛部與虛部相等列方程組求解．（2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題,為應(yīng)用方程思想提供了條件，同時這也是復(fù)數(shù)問題實數(shù)化思想的體現(xiàn)．提醒：若兩個復(fù)數(shù)能比較大小，則這兩個復(fù)數(shù)必為實數(shù)．1．本節(jié)課的重點是理解復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類及數(shù)集間的關(guān)系．2．本節(jié)課的易錯點是對兩個虛數(shù)進(jìn)行大小比較，只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)是實數(shù)時，才能比較大小.1．判斷（正確的打“√”，錯誤的打“×"）(1)若a，b為實數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)．(）（2)若a為實數(shù)，則z＝a一定不是虛數(shù)．（）(3)bi是純虛數(shù)．()（4)如果兩個復(fù)數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0,那么這兩個復(fù)數(shù)相等．（)［答案］（1）×(2）√（3）×(4)√2．若復(fù)數(shù)z＝(m＋2）＋(m2－9)i（m∈R）是正實數(shù)，則實數(shù)m的值為()A．－2 B．3C．－3 D．±3B［由題知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m2－9＝0，,m＋2＞0,)）解得m＝3.故選B。]3．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i為虛數(shù)單位，若z1＝z2，則－1[由題意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4）i,從而eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m2－3m＝4,，m＝5m＋4，))解得m＝－1。］4．已知集合M＝{(a＋3）＋（b2－1）i，8｝，集合N＝｛3i，(a2－1)＋（b＋2