保險(xiǎn)精算練習(xí)題

10001200i(2)⑴

，⑵i,⑶

d (3)。i(2)解：⑴

10002i(2)

)

；所以

i(2)0.4；所以1i；所以⑵ i(m)

)2 i0.44

d(n) )m 1id)1 )n⑶ m n ；d(3)所以，

(1 )33

(1i)1

d(3)；

0.34335n1

d

(n)

i(n) i。dd(n)證明：①d(n)

d(n)

d(n)

d(n)

1d(n)因?yàn)椋?d ndd(n)

)nC0n

1C1n n

C2(n

n )2

C3(n

n )3

所以得到，；d(n) ② ；d(n)em) ；

m 1m

Cn

( )m

Cn

( )3m

Cn

( )m

1m所以，

d(n)

)]m i(n)③i(n)

i(n) n]n

1

，即，

n

n)i)

所以，

i(n)

n(en en 1

C mnm

(

)2 C n

(

)3 C n

(

)4 1 mi(n) )n④i(n)ii(n)

i(n) ]n

C

1C1

i(n) C

i(n)( )2

1i(n)

n]n

1i， n

n n n n n所以，

i(n) i證明下列等式成立，并進(jìn)行直觀解釋：mnma a vmmnm⑴ma 1vmn am

n；1vm

vma vm

1vn

vmvmnmn解：mn

，mn1vmn

ivm

， n i ivmn所以，

a vmamnm

i amnma a vmmnm⑵ n；mnaia 1vmmnai

1vm

vmvmn解： ， imi

，vms inimn1vmn

vm

vmn所以，

a vmsmnm

i amnms mnm⑶

i)man；ns i)m

i)m

i)m

i)n

1

i)mn

i)mm解： i ， n i im所以，

s i)mamnm

i)m1i)mni)m smnmnmnms mnm⑷

i)man。n（同上題）略。303003060206%2012%，求每年能取的養(yǎng)老金額。i)101

)1013010s s3010解：

i2

)20s 120i201

i2

)20 2i230300s 30所以60歲時(shí)存款有 （元）2020Xa s2020由此知， ，可得X=7774.12（元）2020500028%，求每次能夠提取的最大金額。20XA X解： i

5000s

228809.82

X。所以

（元）1020010010001000平連續(xù)收付。假設(shè)年利率為12%，求這一年金的現(xiàn)值。a100a1

100(Ia)9

1000ai)8 18i)18

100i

1000 v9i

4362.941．依據(jù)生命表的基礎(chǔ)填充下表：x l d p q010001000.90.1010001000.90.11(900)(150)(5/6)(1/6)2750(150)0.8(0.2)3(600)(300)(0.5)(0.5)4300(180)(0.4)0.65(120)(120)(0)(1)60l

x 120

，計(jì)算：l l d p q⑴0，120， 33，20 30，30 20；⑵25歲的人至少再活20，最多活25年的概率；⑶三個(gè)25歲的人均存活到80歲的概率。l

0)1000

l 120)00

120

；120

120d l l33 33

1000 1 25120 3p20

50lll30

q；79 30 ；7

l20l50l20

0.3q⑵205

l45l50 1l 1925l 8p⑶55

(80)3l25

( )319

0.074646449l若

100000(cxcx

l，35

44000

，求：⑴c的值；⑵生命表中的最大年齡；⑶從出生存活到50歲的概率；⑷15歲的人在40～50歲之間死亡的概率。

l 100000(c35)35 c35

90xl 100000( )。所以，c=90 ⑵x 90x

，所以，

90 ⑶p l50 4

q l40l50 250 0 l0

13 2510 15 l 3。15證明并作直觀解釋：qp⑴nm x n

pnm x；q證明：nm

lxn

lxnmlx

lxnlx

lxnmlx

pn x

pnm xqp⑵n x n

qxn；q證明：n

lxn

lxn1lx

lxnlx

lxnlx

lxn1pl n xn

qxn⑶nm

ppx n x

pxn。p證明：nm

lxnmlx

lxnlx

lxnmlxn

pn x

pxn證明：xl

dtl

x p

dt1

pp

( )⑴0 xt

xt

x； ⑵0

t x xt

； ⑶t

x t x

x xt ； ⑷ttpx

p t x

xt。證明：⑴

xl0

xt

xt

dtl

x0

lx

l l lx xx p

dtxlxt 1

1x

1dl

1(l

l)1⑵0 t

x xt

0 l x

xt

xt l 0x

xt lx

xx x ； l

Dl l Dl l p (xt)

xt x x xtxt x⑶

x lx

(l )2xDlxt

Dlxt

l Dl Dlxt( xt x)

( )l l lx x

lxt

l t x

x xt l

Dl l Dlp

(xt)

xt xt

xt

p ⑷t x

lx

l l x x

xt

t x xt。l 8．若40

l ，41

，計(jì)算

401：4⑴死亡均勻分布假設(shè)；⑵鮑德希假設(shè)；l 1000100x⑶假設(shè)x解：⑴

4014

40q1tqq40

0.008409068；404 p

et

q xq

0.008444573⑵ t x

⑶ 401

1t)q 。可令t 1,p l41 e 4 xx l40 0.008426834x9．證明在鮑德希規(guī)律下， q 與n無關(guān)。xns(x)1x證明：

s(xn)s(xn1q n x s(x) xq所以，x

n n110182520002N N解：2000 a解：88 10

2000 1081 1088120000.22775455.5（元）N10證明下列等式成立，并解釋其含義。a vp

a

x1

NxDx

1vp⑴ x x

x1； 證明： x D D x x

x x11vp⑵ x

x1； 證明：

1vpx

x1

1vpx

x1

E)

a

N N DE)

N Dxn) x

(N D )Xn⑶

n x

n x D D Dx x xa⑷n x

vnpn

axn；

NN x Dx

ax:nN N N證明： a n x

xn1 ED n x

xn1 vn pD n x E

xn1 vn pD n xn

axnn xa a vm p x:nx:nmx:m

xm:n ；證明：x:nma Nx:nm

Nxnm1Dx:ma x:m

x

xNxm1Dvm pm

xa Exm:n m

N N xm1Dxm

xmn

N xm1Dx

xmn1N N

N

N Nx:ma vmx:mm x

axm:n

x1 xmDx

xm1 xmnDx

x1 xmn1ax:x:nmxp⑹

x

i)aN

x1p N

xp Nx證明：

px1

x

p x x1 D

x1xE Dx

x1vp D

i)a

x1x 1 x1

x1

x1

x15050000kk12ka(12)12k(a解： 50 50

121)12k11)50000212 24k338.625020060101360:10240060:10解： 10

a50

2400 E10

a(12)

2400 E10

(a60

a 24 70以轉(zhuǎn)換函數(shù)表達(dá)下面變動(dòng)年金的現(xiàn)值。對(duì)）第一年末給付1000元，以后每年比上年增加給付50010001000500v500(Ia)解：

1000v9(Da)x9:4

1000v14

ax14pr)p p

ir p假設(shè)對(duì)所有x，有 x身年金現(xiàn)值相等。

xi

x為基礎(chǔ)計(jì)算的終身年金現(xiàn)值與以i 和1r

x為基礎(chǔ)計(jì)算的終解：以i,p'x

為計(jì)算基礎(chǔ)a tE x x

vttp'x

1 )t(1i(

p'x

p'x1

p'xttt( 1 )tr)tp p p以i

1i i 1r x計(jì)算

x x1

xta tE vttp

(

)tp p px x xtt

1i

x x1

xt( 1r( 1i

p x

x1

pxtl

x),i115

，求50歲的人投保100000元終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。d l

1000(t

100000A 100000

1

[vt1(1t)]解：x

x xt

115

50 l50

t020201201（x）的保單精算現(xiàn)值的表達(dá)式。解：A 19t0

(v

q ) t x

t

(vt1 q )t x v 20 19t0

( q ) At x 20 x301000025x:nx:n解：m

ntm

t1 q t x

Mxm

MxmnDx所以，

10000

A30 25:20

10000

M M55 75D

251069 .6405 403 .7249 298 .8022286 .35證明：

A vq vpAx x x x1，并說明其意義。MA x DMx

,Ax1

x1,CD Mx1M

vx1dxM Cx

M ,Dx1

vxlx

,Dx1

vx1

x1

,vp Dx

Dx1A

C x

x1

vpx(Cx

Mx1

)vpxCx

vp

Mx1xvl

x1l

Dx.vx1dx

Dx1d

Dx1

Dx1 x vp A v

vp A

vq

vp Avx1

lx1

x x1 lx

x x

x vpA

x1即（X）

x，在一年后死亡賠付的精算現(xiàn)值

x x1之和。dA證明： x A (dx x

)x

，并說明其意義。證明：A x

M x xDx

D dyy yDxDd xdAx

dyy yD

D Dx x

Dy

dyy

Dx x dx dx

x(D )2xxA Dx

A

vxlnvlx

vxlx

A (lnv

l)xxD x xx

vxlx

x x l x A (x

)x6

qxn變成為

q kxn

（

Ax將增加kvn1n