專題05 阿氏圓求最小值（原卷版）

中考數學壓軸題--二次函數第5節(jié)阿氏圓求最小值內容導航方法點撥點P在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題；點P在圓周上運動的類型稱之為“阿氏圓”問題，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現，故稱“阿氏圓”。如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點,P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：【破解策略詳細步驟解析】例題演練例1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+4x的頂點為點A（1）求點A的坐標；（2）點B為拋物線上橫坐標等于﹣6的點，點M為線段OB的中點，點P為直線OB下方拋物線上的一動點．當△POM的面積最大時，過點P作PC⊥y軸于點C，若在坐標平面內有一動點Q滿足PQ＝，求OQ+QC的最小值；練1.1如圖1，拋物線y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．（1）求a的值和直線AB的函數表達式；（2）設△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若＝，求m的值；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．練1.2如圖1，拋物線y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）與x軸交于點A（8，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜8），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．（1）分別求出直線AB和拋物線的函數表達式．（2）設△PMN的面積為S1，△AEN的面積為S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B．①在x軸上找一點Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q點的坐標．②求BE′+AE′的最小值．練1.3如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C，過點C作x軸的平行線交拋物線于點P．連接AC．（1）求點P的坐標及直線AC的解析式；（2）如圖2，過點P作x軸的垂線，垂足為E，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OF，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接FA、FC．求AF+CF的最小值；練1.4如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點，拋物線y＝x2+bx+c經過A，C兩點，與x軸的另一交點為B．（1）求拋物線解析式及B點坐標；（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC，當點M運動到某一位置時，四邊形AMBC面積最大，求此時點M的坐標及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點是半徑為2的⊙B上一動點，連接PC、PA，當點P運動到某一位置時，PC+PA的值最小，請求出這個最小值，并說明理由．練1.5如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（，0），B兩點（點B在點A的左側），與y軸交于點C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分線AD交y軸于點D，過點A且垂直于AD的直線l交y軸于點E，點P是x軸下方拋物線上的一個動點，過點P作PF⊥x軸，垂足為F，交直線AD于點H．（1）求拋物線的解