幾何最值問(wèn)題

二、幾何中的最值問(wèn)題幾何中的最值問(wèn)題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個(gè)確定的量（如線段長(zhǎng)度、角度大小、圖形周長(zhǎng)或面積）等的最大值或最小值，求幾何最值問(wèn)題的基本方法有：1、幾何定理（公理）法；2、特殊位置與極端位置法；求最小值適用于：（1）軸對(duì)稱模型：兩點(diǎn)之間，線段最短（2）直角三角形模型：垂線段最短（直角三角形斜邊大于直角邊）求最大值適用于：（1）不等式模型：，或（2）三角形兩邊之差小于第三邊A、軸對(duì)稱模型求最小值模型理解1、在直線上找一點(diǎn)P，使得其到直線同側(cè)兩點(diǎn)A、B的距離之和最小。2、直線交于O、P是兩直線間的一點(diǎn)，在直線上分別找一點(diǎn)A、B，使得△PAB的周長(zhǎng)最短。3、直線交于O，A、B是兩直線間的兩點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)，先到上一點(diǎn)P，再?gòu)腜點(diǎn)到上一點(diǎn)Q，再回到B點(diǎn)，求作P、Q兩點(diǎn)，使四邊形APQB周長(zhǎng)最小。4、從A點(diǎn)出發(fā)，先移動(dòng)到直線上的一點(diǎn)P，再在上移動(dòng)一段固定的距離PQ，再回到點(diǎn)B，求作點(diǎn)P，使移動(dòng)的距離最短。5、A、B是位于河兩岸的兩個(gè)村莊，要在這條寬度為d的河上垂直建一座橋，使得從A村莊經(jīng)過(guò)橋到B村莊所走的路程最短。模型運(yùn)用16、如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是___________17、如圖2，的半徑為2，點(diǎn)在上，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是__________18、如圖3，，是內(nèi)一點(diǎn)，，分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是__________19、已知：拋物線的對(duì)稱軸為，與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，其中，。（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。20、在平面角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在軸、軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn)。（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)。21、四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在軸上，D在軸上，，，AB=5，CD=3，拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)。（1）求拋物線解析式；（2）設(shè)M是軸上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，它到軸與軸的距離之和為，求的最大值；（3）當(dāng)（2）中M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使取最大值時(shí)，此時(shí)記點(diǎn)M為N，設(shè)線段AC與軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，求F到N點(diǎn)與到軸的距離之和的最小值，并求此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)。22、恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，如圖建立直角坐標(biāo)系。著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于兩高速公路同側(cè)，AB=50，A到直線的距離為10，B到直線和的距離分別為40和30。請(qǐng)你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最小，并求出這個(gè)最小值。B、直角三角形模型：垂線段最短垂線段最短斜邊大于直角邊>直角三角形斜邊的兩條重要的線段，一是斜邊上的高，另一個(gè)是斜邊上的中線，從形狀上來(lái)說(shuō)，直角三角形斜邊上的高把直角三角形分得兩個(gè)小直角三角形，而斜邊上的中線則把它分為兩個(gè)小等腰三角形；從長(zhǎng)度上來(lái)說(shuō)，直角三角形斜邊上的高是直角頂點(diǎn)到斜邊上所有點(diǎn)之中距離最短的，其長(zhǎng)度可以用兩直角邊乘積除以斜邊求得；而斜邊上的中線等于斜邊的一半。23、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫(huà)⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B。

（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度在發(fā)生變化，請(qǐng)寫(xiě)出線段AB長(zhǎng)度的最小值。

（2）在⊙O上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q、O、A、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。24、如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是（）

A、4.75B、4.8C、5D、25、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，在軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上給定兩點(diǎn)A（0，a）、B(0，b)，a>b，試在軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上求點(diǎn)C，使取得最大值。變式：某展覽，墻壁上展柜AB離地2米高，AB之間擺放展品，AB=1米，某個(gè)身高為1.6米的人在什么角度，觀看展覽效果最佳？26、（2013四調(diào)）如圖∠BAC＝60°，半徑長(zhǎng)1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最大值為（）A、3B、6C、D、C、三角形兩邊之差小于第三邊27、如圖，直線與軸交于點(diǎn)C，與軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A為軸正半軸上的一點(diǎn)，⊙A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)O，直線BC交⊙A于點(diǎn)D。（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過(guò)O、C、D三點(diǎn)作拋物線，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使線段PO與PD之差的值最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。28、（2013四調(diào)24題）面積為24的△ABC中，矩形DEFG的邊DE在AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F、G分別在BC、AC上。（1）若AB＝8，DE＝2EF，求GF的長(zhǎng)；（2）若∠ACB＝90°，如圖2，線段DM、EN分別為△ADG和△BEF的角平分線，求證：MG＝NF；（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出矩形DEFG的面積的最大值。二、幾何中的最值問(wèn)題模型理解1、在直線上找一點(diǎn)P，使得其到直線同側(cè)兩點(diǎn)A、B的距離之和最小。2、直線交于O、P是兩直線間的一點(diǎn)，在直線上分別找一點(diǎn)A、B，使得△PAB的周長(zhǎng)最短。3、直線交于O，A、B是兩直線間的兩點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)，先到上一點(diǎn)P，再?gòu)腜點(diǎn)到上一點(diǎn)Q，再回到B點(diǎn)，求作P、Q兩點(diǎn)，使四邊形APQB周長(zhǎng)最小。4、從A點(diǎn)出發(fā)，先移動(dòng)到直線上的一點(diǎn)P，再在上移動(dòng)一段固定的距離PQ，再回到點(diǎn)B，求作點(diǎn)P，使移動(dòng)的距離最短。提示：建議尺規(guī)作圖，假設(shè)PQ長(zhǎng)度如圖（1）將A點(diǎn)平移到，使；（2）作B點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)（3）連接與直線l的交點(diǎn)為所求Q點(diǎn)（4）過(guò)A作的平行線與直線l的交點(diǎn)即為P點(diǎn)位置，此時(shí)AP+PQ+QB最小5、A、B是位于河兩岸的兩個(gè)村莊，要在這條寬度為d的河上垂直建一座橋，使得從A村莊經(jīng)過(guò)橋到B村莊所走的路程最短。提示：河寬是固定的，設(shè)為d個(gè)單位（1）將A沿方向平移d個(gè)單位（垂直于河岸）（2）連接與河岸交于點(diǎn)D（3）過(guò)D作的平行線交另一河岸于C，連接AC則AC+CD+DB最小模型運(yùn)用16、如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是解：作E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，易知在AD上且為AD中點(diǎn)連接與AC的交點(diǎn)為P，此時(shí)PB+PE最小17、如圖2，的半徑為2，點(diǎn)在上，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是解：過(guò)C作OB的垂線交圓于，連接與OB交于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC最小，OA=OC，則AE=CE，AE=18、如圖3，，是內(nèi)一點(diǎn)，，分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是__________解：作P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C，作P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D連接CD，與OA、OB分別交于點(diǎn)Q、R，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，就是CD的長(zhǎng)∵，∴，OC=OP=10，所以CD=19、已知：拋物線的對(duì)稱軸為，與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，其中，。（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：（1）對(duì)稱軸為由對(duì)稱性可知：根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，可求得拋物線為：（2）A與B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連結(jié)AC，則AC與對(duì)稱軸交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)設(shè)直線AC解析式為：把、代入得，。當(dāng)時(shí)，，則20、在平面角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在軸、軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn)。（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)。解：作點(diǎn)D關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，。連接交軸于點(diǎn)E，連接DE，此時(shí)△CDE的周長(zhǎng)最小。由△D’OE∽△D’BC可知，那么，則E(1,0)。（2）將C點(diǎn)向左平移2個(gè)單位（因?yàn)镋F=2）到C’點(diǎn)，連接交軸于E點(diǎn)，在OA上截取EF=2連接CF，則四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形CDEFD的周長(zhǎng)=CD+EF+DE+CF，因?yàn)镃D+EF為定值，所以當(dāng)DE+CF最小時(shí)四邊形CDEFD的周長(zhǎng)最小，而時(shí)為最小。由可求直線解析式為，當(dāng)時(shí)，所以，則。21、四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在軸上，D在軸上，，，AB=5，CD=3，拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)。（1）求拋物線解析式；（2）設(shè)M是軸上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，它到軸與軸的距離之和為，求的最大值；（3）當(dāng)（2）中M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使取最大值時(shí)，此時(shí)記點(diǎn)M為N，設(shè)線段AC與軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，求F到N點(diǎn)與到軸的距離之和的最小值，并求此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（1）由題知：；拋物線解析式為；（2）設(shè)，且，則，用零點(diǎn)分段法可求得，綜合分析，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則。（3）過(guò)F點(diǎn)作FG垂直于y軸，過(guò)C點(diǎn)作CH垂直于x軸易求，所以直線AC解析式：，則過(guò)E點(diǎn)作y軸的垂線，解析式為：y=1，∵，則y軸和直線y=1關(guān)于直線AC對(duì)稱，作G點(diǎn)關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為易知四邊形為正方形，，則N、F、三點(diǎn)共線所以FG+FN=為最小，最小值為：6-1=5因?yàn)椋瑢⒋?，所?2、恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，如圖建立直角坐標(biāo)系。著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于兩高速公路同側(cè)，AB=50，A到直線的距離為10，B到直線和的距離分別為40和30。請(qǐng)你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最小，并求出這個(gè)最小值。解：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于，交軸于。。當(dāng)、在線段上時(shí)，最小。過(guò)、分別作軸、軸的平行線交于。在中，，，，而∴

四邊形的周長(zhǎng)最小值為：23、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫(huà)⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B。

（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度在發(fā)生變化，請(qǐng)寫(xiě)出線段AB長(zhǎng)度的最小值。

（2）在⊙O上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q、O、A、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）因?yàn)锳B切⊙O于P，所以O(shè)P⊥AB，取AB的中點(diǎn)C，則AB=2OC；當(dāng)OC=OP時(shí)，OC最短（垂線段最短），此時(shí)AB最短，故AB=4（2）設(shè)四邊形OAPQ為平行四邊形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；∵AB⊥OP，OB⊥OA，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，∴∠POQ=90°，∵OP=OQ（⊙O的半徑），∴△POQ是等腰直角三角形，∴OB是∠POQ的平分線且是邊PQ上的中垂線，∴∠BOQ=∠BOP=45°，∴∠AOP=45°，設(shè)P（x，x）、Q（-x，x）（x＞0），∵OP=2代入得，，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)是如圖（3）所示，四邊形OPAQ為平行四邊形，同理可得Q點(diǎn)坐標(biāo)是24、如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是（）

A、4.75B、4.8C、5D、解：因?yàn)樵搫?dòng)圓經(jīng)過(guò)C、P、Q三點(diǎn)，且∠PCQ=90°，所以PQ必為直徑，圓心為PQ的中點(diǎn)O設(shè)⊙O與AB相切于點(diǎn)D，作CE⊥AB，顯然：PQ=OC+OD≧CE，當(dāng)C、O、D三點(diǎn)共線時(shí)PQ=CE，此時(shí)PQ最?。ù咕€段最短）AB×CE=AC×BC（面積轉(zhuǎn)化）所以CE=4.825、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，在軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上給定兩點(diǎn)A（0，a）、B(0，b)，a>b，試在軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上求點(diǎn)C，使取得最大值。解：（本題來(lái)自高中，初三學(xué)完圓也可以做，此題稱作隱圓或輔助圓問(wèn)題）假設(shè)C為軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上一點(diǎn)，設(shè)⊙O為過(guò)A、B、C的圓。①如圖1，若C的右側(cè)有任一點(diǎn)，∵，∴②如圖2，當(dāng)⊙O與軸相切時(shí)，顯然在C點(diǎn)右側(cè)不存在點(diǎn)使得設(shè)C的左側(cè)存在點(diǎn)，顯然（參考①），那么則有：過(guò)A、B、C三點(diǎn)的⊙O與軸相切時(shí)，取得最大值③（求點(diǎn)C，實(shí)際是求的長(zhǎng)度，在初中求線段長(zhǎng)馬上聯(lián)想勾股定理或者相似）過(guò)O作OE⊥AB，則BE=，∴OB=OC=∵∴，即C（，0）（用相似也可以，試試吧）變式：某展覽，墻壁上展柜AB離地2米高，AB之間擺放展品，AB=1米，某個(gè)身高為1.6米的人在什么位置，觀看展覽效果最佳？解：（如果25題懂了，做這個(gè)題應(yīng)該沒(méi)問(wèn)題）建模如圖，設(shè)CD是參觀的人，“觀看展覽效果最佳”其實(shí)還是問(wèn)什么時(shí)候最大分析過(guò)程略，26、（2013四調(diào)）如圖∠BAC＝60°，半徑長(zhǎng)1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半