淺談-導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

.z.......word...淺談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用摘要：法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬為研究極值問(wèn)題而引入了導(dǎo)數(shù)的思想，導(dǎo)數(shù)是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)的根底，是研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中必不可少的工具．我們要明確導(dǎo)數(shù)的涵，知道運(yùn)用導(dǎo)數(shù)思想解題的方法，從而通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立導(dǎo)數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型．一般地，導(dǎo)數(shù)思想是從構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解決不同類型的問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)以及我們?nèi)粘Ｉ钪姓加袠O其重要的地位，本文詳細(xì)介紹導(dǎo)數(shù)思想的涵和本質(zhì)，使人們對(duì)導(dǎo)數(shù)的容有更深的理解，以便在遇到各種問(wèn)題時(shí)能夠考慮到導(dǎo)數(shù)思想，從而優(yōu)化解決問(wèn)題的過(guò)程．關(guān)鍵詞：極限;導(dǎo)數(shù);微分ShallowlyDiscussestheApplicationofDerivativeAbstract:Tostudye*tremelyproblems,FrenchmathematicianFermatbroughtinderivativeidea.Derivativeisthebasisforustolearnmathandothernaturalsciencefurther,anindispensabletoolinresearchofmodernscienceandtechnology.Weshouldunderstandtheconceptandacquirethecapacityofsolvingproblemswithmathematicalideasandcreatederivativemodelaccordingtothemathematicalfeatureofthegivenproblem.Onaverage,weusespecificderivativeinaccordancewithdefinitetraitofthevariousproblems.Thederivativeideaplaysanimportantpartinmiddleschoolmath,advancedmathandourdailylife.Inthischapter,theconceptandessenceofderivativeareintroducedtodeepenpeople'sunderstandinginmathandhelptosimplifypeople'sderivative.Keywords:Limit;Derivative;Differential0引言導(dǎo)數(shù)來(lái)源于人類的社會(huì)實(shí)踐，效勞于人類的社會(huì)實(shí)踐，導(dǎo)數(shù)是人類進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)的根底，用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，是研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中必不可少的工具．導(dǎo)數(shù)是在極限概念的根底上建立起來(lái)的，是微分學(xué)的一個(gè)重要概念，也是一個(gè)重要的解題方法.學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)可以在實(shí)際應(yīng)用中快速簡(jiǎn)潔的求曲線的切線方程.導(dǎo)數(shù)還是對(duì)函數(shù)圖像與性質(zhì)的總結(jié)和概括，是研究函數(shù)單調(diào)性的最正確的重要工具，是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn)．導(dǎo)數(shù)還可以解決生產(chǎn)和生活中的最優(yōu)決策和最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題，即最大值、最小值問(wèn)題．1導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生和開(kāi)展導(dǎo)數(shù)概念是根據(jù)解決實(shí)際問(wèn)題的需要，在極限的根底上建立起來(lái)的，它是微分學(xué)中最重要的概念．而微分是微分學(xué)中又一個(gè)重要的概念，它與導(dǎo)數(shù)有密切的關(guān)系，兩者在科學(xué)技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用．我們知道在一定條件下一個(gè)函數(shù)在*點(diǎn)可導(dǎo)和可微是等價(jià)的，大局部高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析課本中都是先引進(jìn)導(dǎo)數(shù)的概念，再引進(jìn)微分的概念，到底導(dǎo)數(shù)和微分這兩個(gè)概念，哪個(gè)概念產(chǎn)生在前，哪個(gè)概念產(chǎn)生在后呢.1.1微分概念的導(dǎo)出背景當(dāng)一個(gè)函數(shù)的自變量有微小的改變時(shí)，它的因變量一般來(lái)說(shuō)也會(huì)有一個(gè)相應(yīng)的改變．微分的原始思想在于尋找一種方法，當(dāng)因變量的改變也是很微小的時(shí)候，能夠簡(jiǎn)便而又比擬準(zhǔn)確的估計(jì)出這個(gè)改變量．我們來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：維持物體圍繞地球作永不著地〔理論上〕的飛行所需要的最低速度稱為第一宇宙速度．在中學(xué)里利用計(jì)算向心加速度的方法已經(jīng)求出這種速度為7．9千米/秒，現(xiàn)在我們改用另一種思路去推導(dǎo)它．設(shè)衛(wèi)星當(dāng)前時(shí)刻在地球外表附近的點(diǎn)沿著水平方向飛行，假設(shè)沒(méi)有外力影響的話，則它在一秒鐘后本應(yīng)到達(dá)點(diǎn)，但事實(shí)上它要受到地球的引力，因而實(shí)際到達(dá)的而是點(diǎn)．=4．9米是自由落體的物體在重力加速度的作用下，第一秒中所走過(guò)的距離．容易看出，如果點(diǎn)與地心的距離是相等的，則由運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理，就可以推斷出衛(wèi)星在沿著地球的一個(gè)同心圓軌道運(yùn)行，也就是作環(huán)繞地球飛行了．因此，衛(wèi)星應(yīng)具有的最小飛行速度恰好在線段的長(zhǎng)度．是直角三角形，和可近似的取為地球的平均半徑6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理即可求其加速度．1.2產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景從數(shù)學(xué)的開(kāi)展歷史來(lái)看，導(dǎo)數(shù)是伴隨微分的誕生而順理成章的產(chǎn)生的．也就是說(shuō)，人們先有了微分的概念，隨后才發(fā)現(xiàn)，對(duì)于處理微分問(wèn)題來(lái)說(shuō)，像這么一種特定形式的極限，即導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)有力的工具．從法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬為研究極值問(wèn)題而引入了導(dǎo)數(shù)的思想，但與導(dǎo)數(shù)概念直接聯(lián)系的是以下兩個(gè)問(wèn)題：運(yùn)動(dòng)規(guī)律求速度和曲線求它的切線．這是由英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在研究力學(xué)和幾何學(xué)過(guò)程中建立起來(lái)的．用導(dǎo)數(shù)思想來(lái)處理微分問(wèn)題．因?yàn)橐环矫?，從微分的形式?lái)看，在比擬復(fù)雜的情況下〔比方高階的微分和導(dǎo)數(shù)以及多元函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)等〕，無(wú)論是形式的思考還是實(shí)際的處理問(wèn)題由導(dǎo)數(shù)入手都要比由微分入手更容易和簡(jiǎn)單一些，并且導(dǎo)數(shù)有它本身的意義，在數(shù)學(xué)的理論及其實(shí)際應(yīng)用方面都扮演著重要的角色．1.3導(dǎo)數(shù)的概念1、函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)可以寫(xiě)成以下形式：2、導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義:函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在該點(diǎn)處的平均變化率的極限，因而它反映了客觀運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)變化率．在幾何學(xué)上，在*點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)的圖形在點(diǎn)處的切線斜率，即，其中是過(guò)點(diǎn)的切線的傾角．2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2.1導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)中，常利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)求曲線的切線方程，還會(huì)用到導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性以及用導(dǎo)數(shù)求極值點(diǎn)和最值的問(wèn)題．由此可見(jiàn)，導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是十分廣泛的，不妨通過(guò)以下例題來(lái)說(shuō)明．例1數(shù)列；，問(wèn)數(shù)列中是否有最大項(xiàng).假設(shè)有，請(qǐng)求出最大項(xiàng)；假設(shè)沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．解因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù)關(guān)系，是離散的，不能直接求導(dǎo)．所以可設(shè)，同時(shí)取對(duì)數(shù)后求導(dǎo)可得，令，得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且有唯一解；當(dāng)時(shí)，最大；故或時(shí)，最大；．2.11利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程歸納起來(lái)有兩種問(wèn)題類型，下面我們來(lái)系統(tǒng)的分析一下怎么解決這類問(wèn)題．情況一：設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，求過(guò)點(diǎn)作：的切線方程．(1)假設(shè)，；即．則，過(guò)的切線方程為．(2)假設(shè)，即．可設(shè)切點(diǎn)，則過(guò)的切線方程為，此切線過(guò)．于是可由解出．因而過(guò)的切線方程為或．情況二：設(shè)，為可導(dǎo)函數(shù)，曲線：與曲線：相切，求切線方程．解：由于兩曲線，相切，必須假設(shè)公切點(diǎn)滿足，，即(1)(2)又因?yàn)閮汕€在公切點(diǎn)處切線的斜率相等，即(3)解(1)(2)(3)式，可得公切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得公切線方程．2.12三角函數(shù)的問(wèn)題此類問(wèn)題同樣可以用導(dǎo)數(shù)的思想來(lái)解決．例如，可以利用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)的周期，還可以判斷其奇偶性，以及求其單調(diào)區(qū)間等．下面先考慮兩個(gè)結(jié)論：(1)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)．證明：設(shè)是可導(dǎo)的偶函數(shù)，有且即；所以；即有的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)．同理可證奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)．(2)可導(dǎo)的周期函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)仍是周期函數(shù)且原函數(shù)的周期是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)周期．證明：設(shè)為可導(dǎo)的周期函數(shù)，其周期為，根據(jù)周期定義有：，于是有．例2設(shè)函數(shù)，圖像上一條對(duì)稱軸是直線，(1)：求;(2)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)：證明直線與函數(shù)的圖像不相切．解(1)因?yàn)椋忠驗(yàn)閳D像的一條對(duì)稱軸是直線；知，則有．所以；=1，2…，又，所以．(2)由前問(wèn)而考慮到端點(diǎn)值有，即函數(shù)的斜率的取值圍為，而直線的斜率為，則直線與曲線的圖像不相切．?dāng)?shù)學(xué)是具有高度抽象性和概括性的學(xué)科，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可以培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)概括、深入鉆研、自覺(jué)糾錯(cuò)的良好的思維品質(zhì)，可以使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)格的推理習(xí)慣和全面分析問(wèn)題的能力．2.2導(dǎo)數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用2.21利用洛必達(dá)法則、泰勒公式求極限例3求極限解因?yàn)槎寐灞剡_(dá)法則利用洛必達(dá)法則求極限要注意以下幾點(diǎn)：驗(yàn)證所求的極限式是不是或型．如果不是，要將其轉(zhuǎn)化為或型；在求極限之前，應(yīng)首先利用等價(jià)無(wú)窮小代換或通過(guò)其他變形〔如有理化、變量代換〕把未定式代換成最簡(jiǎn)式；洛必達(dá)法則可以反復(fù)屢次使用，只要滿足其前提條件即可；如果不存在，不能判定也不存在．2.22利用函數(shù)單調(diào)性、中值定理、泰勒公式、最值證明不等式此類問(wèn)題的解決方法兩種思路：(1)利用函數(shù)的單調(diào)性將要證明的不等式的右端的所有項(xiàng)全部移到左端，把其中的*個(gè)字母〔比方〕改為，并把左端的函數(shù)記為，利用函數(shù)的單調(diào)性證明或．假設(shè)要證明的不等式是，一般是構(gòu)造函數(shù)，利用的符號(hào)判斷它的單調(diào)性．(2)證明數(shù)列極限形式，須將離散變量轉(zhuǎn)換為連續(xù)變量，再用洛必達(dá)法則．如下所示：例4求極限解先求函數(shù)極限，取對(duì)數(shù)后的極限式為所以有歸結(jié)原則可得=2.23函數(shù)極值及相關(guān)問(wèn)題例5設(shè)在上二階可導(dǎo)且，;證明存在，使得．證明有題設(shè)和欲證的結(jié)論，可以將輔助函數(shù)設(shè)成,則就存在,使得,同理存在使得,則，故在取得最大值．2.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用2.31常見(jiàn)的經(jīng)濟(jì)函數(shù)需求函數(shù)是指消費(fèi)者在一定價(jià)格條件下對(duì)商品的需求，一種商品的需求量與該商品的價(jià)格密切相關(guān)．如果不考慮其他因素的影響，則商品的需求量可以看作是價(jià)格的函數(shù)．即需求函數(shù)．需求量隨價(jià)格的上升而減少．供給函數(shù)是指在*一時(shí)期，生產(chǎn)者在一定價(jià)格條件下，愿意并可能出售的產(chǎn)品；一種商品由生產(chǎn)者向社會(huì)提供的數(shù)量與該商品價(jià)格有關(guān)．在不考慮其他因素的條件下，商品的供給量也可以看作是價(jià)格P的函數(shù)．也就是供給函數(shù)．例6廠商的總收益函數(shù)和總本錢(qián)函數(shù)分別為和，政府對(duì)產(chǎn)品的征稅.求:(1)廠商納稅前的最大利潤(rùn)及此時(shí)的產(chǎn)量和價(jià)格.(2)征稅收益的最大值及此時(shí)的稅率t．(3)廠商納稅后的最大利潤(rùn)及此時(shí)的產(chǎn)品價(jià)格．解(1)納稅前的利潤(rùn)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大；且;此時(shí)價(jià)格．(2)．納稅后的總本錢(qián)函數(shù)為;稅后利潤(rùn)函數(shù)為;獲得最大利潤(rùn)的條件是，由得;經(jīng)過(guò)納稅后的最大利潤(rùn)的產(chǎn)量為;于是征稅的收益函數(shù)為，求最大值即可．當(dāng)〔此時(shí)〕征稅的收益最大，其值為．(3)納稅后利潤(rùn)函數(shù)．當(dāng)，時(shí)，最大利潤(rùn)此時(shí)產(chǎn)品的價(jià)格為．例7新產(chǎn)品的推銷與廣告.1新產(chǎn)品的推銷：一種新產(chǎn)品問(wèn)世，經(jīng)營(yíng)者要關(guān)心產(chǎn)品的賣(mài)出情況，下面我們根據(jù)兩種不同的假設(shè)來(lái)估算兩種推銷的速度：假設(shè)1：假設(shè)產(chǎn)品以自然推銷的方式賣(mài)出．換句話說(shuō)，被賣(mài)出的產(chǎn)品實(shí)際上起著宣傳作用，吸引著未購(gòu)置的消費(fèi)者．設(shè)產(chǎn)品總數(shù)與時(shí)刻的關(guān)系為，再假設(shè)每一產(chǎn)品在單位時(shí)間平均吸引位顧客，則滿足微分方程(4)設(shè)初始條件為(5)則易得到上述微分方程的解為(6)這是指數(shù)假設(shè)，下面我們對(duì)結(jié)果(6)式進(jìn)展分析與驗(yàn)證：經(jīng)過(guò)與實(shí)際情況比擬，發(fā)現(xiàn)(6)式的結(jié)果與真實(shí)銷量在初始階段的增長(zhǎng)情況比擬相符；在產(chǎn)品賣(mài)出之初，時(shí)，顯然，這是由(6)式得的，這一結(jié)果與事實(shí)不符，產(chǎn)生這一錯(cuò)誤結(jié)果的原因在于我們假設(shè)產(chǎn)品是自然推銷的，便不可能進(jìn)展任何推銷．事實(shí)上，廠家在產(chǎn)品銷售之初，往往是通過(guò)宣傳等各種方式來(lái)推銷其產(chǎn)品的；令，假設(shè)針對(duì)*種耐用商品而言，這顯然與事實(shí)不符，事實(shí)上，往往是有上界的．針對(duì)假設(shè)1的上述分析的缺陷，我們用下面的假設(shè)2來(lái)改良．假設(shè)2：設(shè)需求量的上界為，假設(shè)經(jīng)營(yíng)者可通過(guò)其他方式推銷產(chǎn)品．這樣產(chǎn)品的增長(zhǎng)也與尚未購(gòu)置產(chǎn)品的顧客有關(guān)．故與成正比，比例系數(shù)為，則滿足(7)再加上初始條件(8)利用別離變量方法易求得上述微分方程的解(9)當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則易從(9)式中得到，另外在(9)中令，易得到，這樣從根本上解決了假設(shè)1的缺乏．由(7)式易得，即是關(guān)于時(shí)刻的單調(diào)增加函數(shù)，實(shí)際情況自然如此，產(chǎn)品的賣(mài)出量不可能越來(lái)越少，另外對(duì)(7)式兩端求導(dǎo)得：．故令得到；當(dāng)時(shí)，由，，得．即函數(shù)單調(diào)增加．同理，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，這說(shuō)明在銷售量小于最大需求量的一半時(shí)，銷售速度是不斷增加的，銷售量恰好到達(dá)最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷，其后銷售速度開(kāi)場(chǎng)下降．2.32廣告在當(dāng)今社會(huì)中，廣告在商品推銷中起著極其重要的作用．當(dāng)生產(chǎn)者生產(chǎn)出一批產(chǎn)品后，下一步便是思考更快更多的買(mǎi)出產(chǎn)品，由于廣告的群眾性和快捷性，其在促銷活動(dòng)中備受經(jīng)營(yíng)者的青睞．當(dāng)然，經(jīng)營(yíng)者在利用廣告這一手段時(shí)自然要關(guān)心廣告與促銷到底有何關(guān)系，廣告在不同時(shí)期的效果如何.假設(shè)1：獨(dú)家銷售的廣告：首先，如下假設(shè)：(1)商品的銷售速度會(huì)因做廣告而增加，但當(dāng)商品在市場(chǎng)上趨于飽和時(shí)，銷售速度會(huì)趨于極限值，這是銷售速度將開(kāi)場(chǎng)下降．(2)自然衰減是銷售速度的一種性質(zhì)，商品銷售速度的變化率隨著商品銷售率的增加而減少．(3)設(shè)為時(shí)刻商品的銷售速度．表示銷售速度的上限；為衰減因子常數(shù)，即廣告作用隨時(shí)間增加而自然衰減的速度．為時(shí)刻的廣告水平〔以費(fèi)用表示〕.根據(jù)上面的假設(shè)，我們可以得到：(10)其中為響應(yīng)系數(shù)，即對(duì)的影響力，為常數(shù)．假設(shè)(1)當(dāng)銷售進(jìn)展到*個(gè)時(shí)刻時(shí)，無(wú)論怎樣做廣告．都無(wú)法阻止銷售速度的下降，應(yīng)選擇如下廣告策略：其中為常數(shù)在時(shí)間，設(shè)用于廣告的花費(fèi)為，則，代入(10)式有令;則有(11)解(11)式得(12)給定初始值，則(12)式成為(13)當(dāng)時(shí)，由的表達(dá)式，則(10)式變?yōu)?14)其解為(15)為保證銷售速度不連續(xù)，我們?cè)?13)式中取而得到，將其作為(14)式的初始值，故(15)式解為(16)這樣，聯(lián)合(13)式與(16)式，我們得到假設(shè)2:競(jìng)爭(zhēng)銷售的廣告我們做如下假設(shè)，(1)兩家公司銷售同一產(chǎn)品，而市場(chǎng)量有限.(2)每一公司增加它的銷售量是與可獲得的市場(chǎng)成正比的，比例系數(shù)為，.(3)設(shè)是銷售量，.是可獲得的市場(chǎng)．分析：根據(jù)題意顯然有：．由假設(shè)(2)有(17)(18)將上述二式相除，易得(19)其中為常數(shù)，對(duì)〔19〕式積分得(20)為積分常數(shù)，假設(shè)市場(chǎng)容量為常量.則(21)再將(19)式代入(17)式得(22)其中；；解方程(22)易得代入(20)式，得(23)其中及(=1，2，3)均為常數(shù)．完畢語(yǔ)導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)開(kāi)展、教學(xué)和生活中有其重要的地位，假設(shè)能在教學(xué)中充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的作用，對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)