系統(tǒng)工程第06講課件

系統(tǒng)工程(C類)

上海交通大學宋元斌系統(tǒng)工程(C類)

上海交通大學1第四章系統(tǒng)模型化第一節(jié)系統(tǒng)模型化概述第二節(jié)系統(tǒng)結(jié)構的模型化第四章系統(tǒng)模型化第一節(jié)系統(tǒng)模型化概述2第二節(jié)系統(tǒng)結(jié)構的模型化任何系統(tǒng)都是由兩個以上的有機聯(lián)系、相互作用的要素組成的。結(jié)構：組成系統(tǒng)諸要素之間相互關聯(lián)的方式，結(jié)構是決定系統(tǒng)功能的最本質(zhì)的因素。（石墨與金剛石的差別就在結(jié)構方面）大規(guī)模復雜系統(tǒng)要素眾多、層次豐富、結(jié)構復雜系統(tǒng)結(jié)構模型化通常是對大規(guī)模復雜系統(tǒng)進行數(shù)學建模和定量分析的基礎。在對大規(guī)模復雜系統(tǒng)建模的步驟中通常包括一項重要任務“確定模型結(jié)構”。先要建立系統(tǒng)結(jié)構的模型，進行系統(tǒng)的結(jié)構分析，以求得對問題本質(zhì)的全面認識，然后建立數(shù)學模型，進行定量分析。第二節(jié)系統(tǒng)結(jié)構的模型化任何系統(tǒng)都是由兩個以上的有機聯(lián)系、相互3構造模型的步驟明確目的和要求進行一般語言描述抓住主要變量及關系確定模型結(jié)構估計模型參數(shù)進行實驗研究是否與現(xiàn)實相符？結(jié)束修正模型構造模型的步驟明確目的和要求進行一般語言描述抓住主要變量及關4系統(tǒng)結(jié)構模型結(jié)構模型：定性表示系統(tǒng)要素及要素間的關聯(lián)情況結(jié)構模型突出表現(xiàn)系統(tǒng)要素之間的相互作用的性質(zhì)。結(jié)構分析：建立系統(tǒng)結(jié)構模型分析系統(tǒng)的結(jié)構解釋（經(jīng)過分析后的）結(jié)構模型系統(tǒng)結(jié)構模型結(jié)構模型：定性表示系統(tǒng)要素及要素間的關聯(lián)情況5系統(tǒng)結(jié)構分析的重要意義系統(tǒng)結(jié)構分析是模型化過程中的一項重要內(nèi)容。對系統(tǒng)結(jié)構的正確認識與描述是數(shù)學模型和定量分析所無法取代的?；貞浬咸谜n講的邏輯模型系統(tǒng)結(jié)構分析的重要意義系統(tǒng)結(jié)構分析是模型化過程中的一項重要內(nèi)6系統(tǒng)結(jié)構的基本表達方式集合有向圖矩陣某系統(tǒng)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有7個要素，分別標記為S1，…,S7。各要素之間的影響關系：S2影響S1，S3影響S4，S4影響S5，S7影響S2，S4和S6互相影響。問題：S1能否間接影響S6？系統(tǒng)結(jié)構的基本表達方式集合某系統(tǒng)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有7個要素，分別標7系統(tǒng)結(jié)構的集合表達系統(tǒng)中的要素系統(tǒng)由n（n≥2）個要素(S1,S2,…,Sn）所組成，其集合為S，可表述為：

S=S{S1,S2,…,Sn}要素之間的關系（二元關系*）要素之間的關聯(lián)方式可以用S上的二元關系集合Rb表示。Rb是滿足某種二元關系R的所有要素對（Si，Sj）的集合。其中，Si，Sj都屬于S集合。系統(tǒng)結(jié)構的集合表達系統(tǒng)中的要素8二元關系二元關系：存在于兩個要素Si和Sj之間的關系Rij常見的二元關系有因果關系、包含關系、隸屬關系、影響關系、比較關系二元關系是結(jié)構分析中所研究的系統(tǒng)要素之間的基本關系，一般有如下三種情形：SiRSj：Si和Sj之間存在某種二元關系RSiRSj：Si和Sj之間不存在某種二元關系RSiRSj：Si和Sj之間的二元關系R不明確-~二元關系二元關系：存在于兩個要素Si和Sj之間的關系Rij-9二元關系二元關系的傳遞性通常情況下二元關系具有傳遞性有SiRSj和SjRSk，則有

SiRSk

反映兩個要素的間接聯(lián)系，記作Rt（t為傳遞次數(shù)）,如SiR2Sk

注意：有些二元關系不具有傳遞性，如相交關系，A與B相交，B與C相交，不能退出A與C相交。強連接關系相互關聯(lián)的二元關系，如有SiRSj同時有SjRSi

具有強連接關系的各要素之間存在替換性。二元關系二元關系的傳遞性10系統(tǒng)結(jié)構的集合表達該系統(tǒng)的基本結(jié)構可表示為：要素集合S={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}二元關系集合Rb={（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}某系統(tǒng)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有7個要素，分別標記為S1，…,S7。各要素之間的影響關系：S2影響S1，S3影響S4，S4影響S5，S7影響S2，S4和S6互相影響。系統(tǒng)結(jié)構的集合表達該系統(tǒng)的基本結(jié)構可表示為：某系統(tǒng)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)11系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示節(jié)點表示系統(tǒng)構成要素有向弧表示要素之間的二元關系通路長度：節(jié)點i(Si)節(jié)點j(Sj)間的最少有向弧數(shù)，Si和Sj之間二元關系的（最少）傳遞次數(shù)。回路：從某節(jié)點出發(fā)，沿著有向弧通過其他節(jié)點各一次可回到該節(jié)點時，形成回路。呈強連接關系的要素節(jié)點間存在雙向回路。5162374系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示節(jié)點表示系統(tǒng)構成要素516237412系統(tǒng)結(jié)構的矩陣表示鄰接矩陣（A）：要素間直接聯(lián)系，未表示間接聯(lián)系5162374如果有一列（如第j列）元素全為0，則Sj要素為系統(tǒng)輸入要素，因為該要素節(jié)點沒有入箭頭。如S3和S7如果有一行（如第i列）元素全為0，則Si要素為系統(tǒng)輸出要素，因為該要素節(jié)點沒有出箭頭。如S1和S5系統(tǒng)結(jié)構的矩陣表示鄰接矩陣（A）：要素間直接聯(lián)系，未表示間接13系統(tǒng)結(jié)構的三種描述方式比較S＝{S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7}Rb={(S2,S1),(S3,S4),(S4,S5),(S4,S6),(S6,S4),(S7,S2)}集合S1S2S3S4S5S6S7有向圖0000000100000000010000000110000000000010000100000鄰接矩陣S1S2S3S4S5S6S7S1S2S3S4S5S6S7Rb中聯(lián)系元素數(shù)目有向弧數(shù)目矩陣中“1”的數(shù)目系統(tǒng)結(jié)構的三種描述方式比較S＝{S1,S2,S3,S414系統(tǒng)結(jié)構的矩陣表示可達矩陣（M）使用矩陣形式表示有向圖中各個節(jié)點之間通過任意長的路徑可以到達（即間接影響）的 情況?；蛘哒f，是系統(tǒng)要素之間任意次傳遞的二元關系若M=（mij）nxn，且在無回路條件下的最大路長或傳遞次數(shù)為t，0=<t<=r,r為最長路徑（傳遞次數(shù)）：當t=0時，表示Si自身到達（反射性二元關系）,M=I當t=1時，表示基本的二元關系，M=A當t>=2時，表示傳遞的二元關系系統(tǒng)結(jié)構的矩陣表示可達矩陣（M）15可達矩陣可達矩陣求解：可以用鄰接矩陣A加上單位矩陣I，再經(jīng)過若干次自乘運算求得。M=(A+I)r最大傳遞次數(shù)按下式確定

(A+I)1≠(A+I)2≠

(A+I)3≠…≠(A+I)r-1≠(A+I)r

=(A+I)r+1=…=(A+I)n可達矩陣可達矩陣求解：16系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示17系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示C）可達矩陣系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示C）可達矩陣18系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示(A+I)3就是反映總體通達(傳遞)關系的可達矩陣最大路徑長度（傳遞次數(shù)）r=3.系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示(A+I)3就是反映總體通達(19區(qū)域劃分5162374延續(xù)前例：進行可達矩陣計算(A+I)2=(A+I)3區(qū)域劃分5162374延續(xù)前例：進行可達矩陣計算(A+I)220解釋結(jié)構模型解釋結(jié)構模型（InterpretativeStructuralModeling，ISM）技術是美國J·N·沃菲爾德教授于1973年作為分析復雜的社會經(jīng)濟系統(tǒng)結(jié)構問題的一種方法而開發(fā)的?；舅枷耄和ㄟ^各種創(chuàng)造性技術，提取問題的構成要素，利用有向圖、矩陣等工具和計算機技術，對要素及其相互關系等信息進行處理，明確問題的層次和整體結(jié)構，最后用文字加以解釋說明。解釋結(jié)構模型解釋結(jié)構模型（InterpretativeS21解釋結(jié)構模型應用ISM可以提高分析員對問題的認識和理解程度。該技術廣泛適用于認識和處理各類系統(tǒng)的結(jié)構分析問題不需高深的數(shù)學知識模型直觀且有啟發(fā)性各種背景人員可參加解釋結(jié)構模型應用ISM可以提高分析員對問題的認識和理解程度。22ISM工作原理意識模型要素及要素關系可達矩陣區(qū)域劃分級位劃分解釋結(jié)構模型有向圖鄰接矩陣多級遞階有向圖提取骨架矩陣優(yōu)勢：可以求出利用其他方法無法找出的間接聯(lián)系。這些間接聯(lián)系對研究系統(tǒng)的整體特性具有重要意義。

修正？遞階結(jié)構模型分析報告YesNoISM工作原理意識模型要素及可達矩陣區(qū)域劃分級位劃分解釋結(jié)23如何劃分區(qū)域（1）將與要素Si（i=1，2，…，n）相關聯(lián)的所有要素劃分成兩類集合：可達集R（Si）：由Si可到達的諸要素所構成的集合先行集A（Si）：可到達Si的諸要素所構成的集合如何劃分區(qū)域（1）將與要素Si（i=1，2，…，n）相關24如何劃分區(qū)域（2）求共同集C(Si)：Si的可達集和先行集的交集。

SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)

111,2,7121,22,7233，4，5，63344，5，63,4，64，6553，4，5，6564，5，63，4，64，671，2，777如何劃分區(qū)域（2）求共同集C(Si)：Si的可達集和先行集25可達集、先行集、共同集的關系區(qū)域劃分的集合Si本身一定在C(Si)中與Si強連接的要素一定在C(Si)中可達集、先行集、共同集的關系區(qū)域劃分的集合Si本身一定在C(26區(qū)域劃分的集合可達集R（Si

）由Si可到達的諸要素所構成的集合，R（Si）：R（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n先行集A（Si）可到達Si的諸要素所構成的集合，A（Si）：A（Si）={Sj|Sj∈S，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n共同集C（Si）是Si的可達集和先行集的交集，C（Si）：C（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n區(qū)域劃分的集合可達集R（Si）27區(qū)域劃分起始集在S中只影響（到達）其他要素而不受其他要素影響（不被其他要素到達）的要素所構成的集合，記為B（S）：B（S）={Si|Si∈S，C（Si）=A（Si），i=1，2，…，n}當Si為起始集要素時，A（Si）=C（Si）

區(qū)域劃分起始集28區(qū)域劃分終止集在S中只被其他要素到達影響（到達）的要素所構成的集合，記為E（S）：E（S）={Si|Si∈S，C（Si）=R（Si），i=1，2，…，n}當Si為起始集要素時，R（Si）=C（Si）區(qū)域劃分終止集29區(qū)域劃分判斷系統(tǒng)要素集合S是否可分割（是否相對獨立）只需判斷起始集B（S）中的要素及其可達集能否分割，例如B(S)={S1，S3}R（S1）={S2，S4，S5}R（S1）={S5，S6，S7}或者，只需判斷終止集E（S）中的要素及其先行集要素能否分割區(qū)域劃分的結(jié)果可記為：

∏（S）=P1，P2，…，Pk，…，Pm（其中Pk為第k個相對獨立區(qū)域的要素集合）。不可分割區(qū)域劃分判斷系統(tǒng)要素集合S是否可分割（是否相對獨立）不可分割30區(qū)域劃分利用起始集B（S）判斷區(qū)域能否劃分在B（S）中任取兩個要素bu、bv：如果R（bu）∩R（bv）≠ψ（ψ表示空集），則bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素屬同一區(qū)域。若對所有u和v均有此結(jié)果（均不為空集），則區(qū)域不可分。如果R（bu）∩R（bv）=ψ，則bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素不屬同一區(qū)域，系統(tǒng)要素集合S至少可被劃分為兩個相對獨立的區(qū)域。利用終止集E（S）來判斷區(qū)域能否劃分只要判定“A（eu）∩A（ev）”（eu、ev為E（S）中的任意兩個要素）是否為空集即可。區(qū)域劃分利用起始集B（S）判斷區(qū)域能否劃分31區(qū)域劃分可達集、先行集、共同集和起始集例表SiR（Si）A（Si）C（Si）B（S）123456711，23，4，5，64，5，654，5，61，2，71，2，72，733，4，63，4，5，63，4，671234，654，6737延續(xù)前例：進行區(qū)域劃分先列Si的可達集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si），再找出起始集B（S）（類似地，可以找出E（S））區(qū)域劃分可達集、先行集、共同集和起始集例表SiR（Si）A（32OO34561273456127M（P）=P1P21.區(qū)域劃分（7）因為B（S）={S3，S7},且有R（S3）∩R（S7）={S3，S4，S5，S6}∩{S1，S2，S7}=ψ（空集），所以兩個可達集分屬兩個相對獨立的區(qū)域，即有：∏（S）=P1，P2={S3，S4，S5，S6},{S1，S2，S7}。這時的可達矩陣M變?yōu)槿缦碌膲K對角矩陣，記為M（P）

：úúúúúúúúú?ùêêêêêêêêê?é1110110011110010011101111OO345633級位劃分在某個區(qū)域內(nèi)進行級位劃分，即確定某區(qū)域內(nèi)各要素所處層次地位的過程。也有教材稱為“層級劃分”。建立多級遞階結(jié)構模型的關鍵工作。設P是由區(qū)域劃分得到的某區(qū)域要素集合，若用Li表示從高到低的各級要素集合，則級位劃分的結(jié)果：

∏（P）=L1，L2，…，LI（其中l(wèi)為最大級位數(shù)）最高級位的要素即該系統(tǒng)的終止集要素。級位劃分在某個區(qū)域內(nèi)進行級位劃分，即確定某區(qū)域內(nèi)各要素所處層34級位劃分級位劃分的基本做法是：找出整個系統(tǒng)要素集合的最高級要素（終止集要素）后，可將它們?nèi)サ?，再求剩余要素集合（形成部分圖）的最高級要素，依次類推，直到確定出最低一級要素集合（即Li）。級位劃分級位劃分的基本做法是：35令LO=ψ（最高級要素集合為L1，沒有零級要素），則有：L1={Si|Si∈P-L0，C0（Si）=R0（Si），i=1，2，…，n}L2={Si|Si∈P-L0-L1，C1（Si）=R1（Si），i<n}Lk={Si|Si∈P-L0-L1-…-Lk-1，Ck-1（Si）=Rk-1（Si），i<n}

式中的Ck-1（Si）和Rk-1（Si）是由集合P-L0-L1-…-Lk-1中的要素形成的子矩陣（子圖）求得的共同集和可達集。級位劃分令LO=ψ（最高級要素集合為L1，沒有零級要素），則有：級位36級位劃分要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）=R（S）∏（P1）P1-L034563，4，5，64，5，654，5，633，4，63，4，5，63，4，634，654，6√L1={S5}P1-L0-L13463，4，64，64，633，4，63，4，634，64，6√√L2={S4，S6}P1-L0-L1-L23333√L3={S3}如對前例中P1={S3，S4，S5，S6}進行級位劃分級位劃分要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）∏（P137級位劃分54631275463127M（L）=L1L2L3L1L2L300對P1={S3，S4，S5，S6}進行級位劃分的結(jié)果為：∏（P1）=L1，L2，L3={S5}，{S4，S6}，{S3}對P2={S1，S2，S7}進行級位劃分的結(jié)果為：

∏（P2）=L1，L2，L3=

{S1}，{S2}，{S7}這時的可達矩陣為M（L）為區(qū)域塊三角矩陣，如下：為什么不是三角陣？級位劃分54638提取骨架矩陣骨架矩陣：也即為M（L）的最小實現(xiàn)矩陣。提取骨架矩陣A’的三個步驟:1.去掉各層次中的強連接要素，得到縮減矩陣M’（L）2.去掉M’（L）中要素間的越級二元關系，得到進一步簡化的矩陣M’’（L）3.進一步去掉M’’（L）中自身到達的二元關系，得到骨架矩陣A’（具有最少的二元關系個數(shù)）。提取骨架矩陣骨架矩陣：也即為M（L）的最小實現(xiàn)矩陣。39提取骨架矩陣543127543127M’（L）=L1L2L3L1L2L300如對原例M（L）中的強連接要素集合{S4，S6}作縮減處理把S4作為代表要素，去掉S6。提取骨架矩陣54340提取骨架矩陣

543127543127M’’（L）=L1L2L3L1L2L300如M’（L）中，去掉第三級要素到第一級要素的超級二元關系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即將M’（L）中3→5和7→1的“1”改為“0”，得M’’（L）

：提取骨架矩陣54341提取骨架矩陣

543127543127A’=M’’（L）-I=L1L2L3L1L2L300將M’’（L）主對角線上的“1”全變?yōu)椤?”，得到骨架矩陣A’。提取骨架矩陣5442繪制多級遞階有向圖根據(jù)骨架矩陣A’，繪制出多級遞階有向圖：1.分區(qū)域從上到下逐級排列系統(tǒng)構成要素。（終止集放在最上面）2.同級加入被刪除的與某要素有強連接關系的要素（如例中的S6），及表征它們相互關系的有向弧。按A’所示的鄰接二元關系，用級間有向弧連接成有向圖。繪制多級遞階有向圖根據(jù)骨架矩陣A’，繪制出多級遞階有向圖：43S1S2S7S3S4S5S6第1級第2級第3級結(jié)束多級遞階有向圖S1S2S7S3S4S5S6第1級結(jié)束多級遞階有向圖44以可達矩陣M為基礎，以矩陣變換為主線的遞階結(jié)構模型的建立過程：遞階結(jié)構模型建立過程區(qū)域劃分級位劃分強連接要素縮減剔除超級關系去掉自身關系繪圖（塊對角陣）（區(qū)域塊三角陣）（區(qū)域下三角陣）M→M（P）→M（L）→M’（L）→M’’（L)→A’→D（A’）根據(jù)問題的背景，將遞階有向圖轉(zhuǎn)化為解釋結(jié)構模型（用文字加以解釋）以可達矩陣M為基礎，以矩陣變換為主線的遞階結(jié)構模型的建立過程45解釋結(jié)構模型的應用例子;現(xiàn)在以討論人口控制綜合策略問題為例，介紹在應用ISM時，如何根據(jù)人們的經(jīng)驗和對話過程，直接求得可達短陣，并據(jù)此建立解釋結(jié)構模型。人口控制綜合策略問題的討論是這樣提出的。改革開放以來，由于社會保障與保健制度的完善，人民健康水平有了很大提高，使得人們的平均壽命也有了提高，這樣，死亡率就相應地降低了。同時，由于國民收入的不斷增長，生活水平的不斷提高等，導致生育率有所提高。因此，種種因素導致了我國人口的迅速增加。眾所周知，人口的過分增長帶來的影響是不利的。為此．專門成立了由各方面有關人員參加的研究小組對人口的綜合控制問題進行分析研究。小組成員經(jīng)過討論分析后，決定應用ISM分析和確定影響我國總?cè)丝谠鲩L的因素，并據(jù)此制定有關政策。解釋結(jié)構模型的應用例子;現(xiàn)在以討論人口控制綜合策略46影響人口增長的因素很多，經(jīng)過小組成員討論，提出了以下的主要因素：

(1)期望壽命S1(7)環(huán)境污染程度S7(2)醫(yī)療保健水平S2(8)國民收入S8(3)國民生育能力S3(9)國民素質(zhì)S9(4)計劃生育政策S4(10)出生率S10(5)國民思想風俗S5(11)死亡率S11(6)食物營養(yǎng)S6(12)總?cè)丝赟12影響人口增長的因素很多，經(jīng)過小組成員討論，提出了以下的主要47這些影響人口增長的因素可以通過小組成員的經(jīng)驗進行分

析，并經(jīng)過多次小組討論，以確定它們之間的關系。VVAAAAS1VVVS2VVAAS3VVAAXS4VVAAS5VVVS6VVS7VVVS8VVS9VS10VS11

S12其中：V表示方格圖中的行(或上位)要素直接影響到列(或下位)要素；A表示列要素對行要素有直接影響；X表示行列兩要素相互影響(稱之為強連接關系)。這些影響人口增長的因素可以通過小組成員的經(jīng)驗進行分

析，并48（1）根據(jù)人口增長因素的相互影響關系，可得到鄰接矩陣，按S1，S2，…，S12的順序安排影響關系的取值（1）根據(jù)人口增長因素的相互影響關系，可得到鄰接矩陣，按S149（2）根據(jù)鄰接矩陣求可達矩陣（2）根據(jù)鄰接矩陣求可達矩陣50區(qū)域劃分略區(qū)域劃分略51（3）級位劃分SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)11,11,121,2,6,7,8121,2,3,11,122233，10，122,3,6,8344,5,10,124,5,8,94,554,5,10,124,5,8,94,561,3,6,10,11,126671,7,11,127781,3,4,5,8,10,11,128894,5，9,10,12991010,123,4,5,6,8,9,10101111,121,2,6,7,8,111112121,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1212S12為第1級要素（3）級位劃分52級位劃分SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)11,111,2,6,7,8121,2,3,112233，102,3,6,8344,5,104,5,8,94,554,5,104,5,8,94,561,3,6,10,116671,7,117781,3,4,5,8,10,118894,5，9,109910103,4,5,6,8,9,1010111,2,6,7,8,1111S10，S11為第2級要素級位劃分SiR(Si)53級位劃分SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)111,2,6,7,8121,2,322332,3,6,8344,54,5,8,94,554,54,5,8,94,561,3,66671,77781,3,4,5,88894,5，999S1，S3，S4，S5為第3級要素

級位劃分SiR(Si)54級位劃分SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)22226666777788889999S2，S6，S7，S8，S9為第4級要素

級位劃分SiR(Si)55（4）按層次級別重新排列可達矩陣S4，S5構成回路（4）按層次級別重新排列可達矩陣56提取骨架矩陣的步驟略。有興趣的同學可以自己補充。提取骨架矩陣的步驟略。有興趣的同學可以自己補充。57（5）多級遞階結(jié)構圖（5）多級遞階結(jié)構圖58（6）解釋結(jié)構模型（6）解釋結(jié)構模型59分析解釋以往，我國制訂有關政策的中心是放在計劃生育上，但是，在模型建立以后，可以清楚地看到環(huán)境污染和食物營養(yǎng)等因素也是影響總?cè)丝诘闹匾蛩亍?）總?cè)丝谙到y(tǒng)是一個4級的多級遞階系統(tǒng)。其中，影響總?cè)丝谠鲩L的直接因素是出生率與死亡率。不言而喻，為使總?cè)丝谠鲩L不致太快，關鍵是要控制出生率。2）從第2級和第3級的因素分析，影響死亡率大小的直接因素是期望壽命。而影響出生率大小的因素是國民生育能力、計劃生育政策，以及國民思想風俗。其中，國民生育能力的大小與人口的年齡結(jié)構有關。可以控制的因素是計劃生育政策，且對出生率影響較大。而且，它還和國民思想風俗相互影響。分析解釋以往，我國制訂有關政策的中心是放在計劃生育上，但是，60分析解釋2）（續(xù)）如果計劃生育政策宣傳和執(zhí)行得好，同時人們“重男輕女”的觀念改變的話，就會較好地控制出生率的大?。环粗?，會使出生率提高。因此，關鍵在于計劃生育政策的執(zhí)行和人們傳統(tǒng)思想的轉(zhuǎn)變。3）再看第4級和第3級要素之間的關系。在第4級要素中，國民收入、醫(yī)療水平、食物營養(yǎng)對生育能力都有影響。而環(huán)境污染水平直接影響期望壽命?？傊?，提高國民收入水平，增強國民素質(zhì)，都會改變?nèi)藗兊呐f觀念，有利于計劃生育政策的執(zhí)行?？傊?，通過上述工作和分析，為控制我國總?cè)丝跀?shù)的增長而采取的相應政策和措施提供了科學依據(jù)。分析解釋2）（續(xù)）如果計劃生育政策宣傳和執(zhí)行得好，同時人們“61課后作業(yè)（1）教材P80頁第21題的(只做圖a）（2）教材P80頁第23題的(只做圖2，只用規(guī)范方法做，即課堂講的方法做）課后作業(yè)（1）教材P80頁第21題的(只做圖a）62系統(tǒng)工程(C類)

上海交通大學宋元斌系統(tǒng)工程(C類)

上海交通大學63第四章系統(tǒng)模型化第一節(jié)系統(tǒng)模型化概述第二節(jié)系統(tǒng)結(jié)構的模型化第四章系統(tǒng)模型化第一節(jié)系統(tǒng)模型化概述64第二節(jié)系統(tǒng)結(jié)構的模型化任何系統(tǒng)都是由兩個以上的有機聯(lián)系、相互作用的要素組成的。結(jié)構：組成系統(tǒng)諸要素之間相互關聯(lián)的方式，結(jié)構是決定系統(tǒng)功能的最本質(zhì)的因素。（石墨與金剛石的差別就在結(jié)構方面）大規(guī)模復雜系統(tǒng)要素眾多、層次豐富、結(jié)構復雜系統(tǒng)結(jié)構模型化通常是對大規(guī)模復雜系統(tǒng)進行數(shù)學建模和定量分析的基礎。在對大規(guī)模復雜系統(tǒng)建模的步驟中通常包括一項重要任務“確定模型結(jié)構”。先要建立系統(tǒng)結(jié)構的模型，進行系統(tǒng)的結(jié)構分析，以求得對問題本質(zhì)的全面認識，然后建立數(shù)學模型，進行定量分析。第二節(jié)系統(tǒng)結(jié)構的模型化任何系統(tǒng)都是由兩個以上的有機聯(lián)系、相互65構造模型的步驟明確目的和要求進行一般語言描述抓住主要變量及關系確定模型結(jié)構估計模型參數(shù)進行實驗研究是否與現(xiàn)實相符？結(jié)束修正模型構造模型的步驟明確目的和要求進行一般語言描述抓住主要變量及關66系統(tǒng)結(jié)構模型結(jié)構模型：定性表示系統(tǒng)要素及要素間的關聯(lián)情況結(jié)構模型突出表現(xiàn)系統(tǒng)要素之間的相互作用的性質(zhì)。結(jié)構分析：建立系統(tǒng)結(jié)構模型分析系統(tǒng)的結(jié)構解釋（經(jīng)過分析后的）結(jié)構模型系統(tǒng)結(jié)構模型結(jié)構模型：定性表示系統(tǒng)要素及要素間的關聯(lián)情況67系統(tǒng)結(jié)構分析的重要意義系統(tǒng)結(jié)構分析是模型化過程中的一項重要內(nèi)容。對系統(tǒng)結(jié)構的正確認識與描述是數(shù)學模型和定量分析所無法取代的?；貞浬咸谜n講的邏輯模型系統(tǒng)結(jié)構分析的重要意義系統(tǒng)結(jié)構分析是模型化過程中的一項重要內(nèi)68系統(tǒng)結(jié)構的基本表達方式集合有向圖矩陣某系統(tǒng)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有7個要素，分別標記為S1，…,S7。各要素之間的影響關系：S2影響S1，S3影響S4，S4影響S5，S7影響S2，S4和S6互相影響。問題：S1能否間接影響S6？系統(tǒng)結(jié)構的基本表達方式集合某系統(tǒng)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有7個要素，分別標69系統(tǒng)結(jié)構的集合表達系統(tǒng)中的要素系統(tǒng)由n（n≥2）個要素(S1,S2,…,Sn）所組成，其集合為S，可表述為：

S=S{S1,S2,…,Sn}要素之間的關系（二元關系*）要素之間的關聯(lián)方式可以用S上的二元關系集合Rb表示。Rb是滿足某種二元關系R的所有要素對（Si，Sj）的集合。其中，Si，Sj都屬于S集合。系統(tǒng)結(jié)構的集合表達系統(tǒng)中的要素70二元關系二元關系：存在于兩個要素Si和Sj之間的關系Rij常見的二元關系有因果關系、包含關系、隸屬關系、影響關系、比較關系二元關系是結(jié)構分析中所研究的系統(tǒng)要素之間的基本關系，一般有如下三種情形：SiRSj：Si和Sj之間存在某種二元關系RSiRSj：Si和Sj之間不存在某種二元關系RSiRSj：Si和Sj之間的二元關系R不明確-~二元關系二元關系：存在于兩個要素Si和Sj之間的關系Rij-71二元關系二元關系的傳遞性通常情況下二元關系具有傳遞性有SiRSj和SjRSk，則有

SiRSk

反映兩個要素的間接聯(lián)系，記作Rt（t為傳遞次數(shù)）,如SiR2Sk

注意：有些二元關系不具有傳遞性，如相交關系，A與B相交，B與C相交，不能退出A與C相交。強連接關系相互關聯(lián)的二元關系，如有SiRSj同時有SjRSi

具有強連接關系的各要素之間存在替換性。二元關系二元關系的傳遞性72系統(tǒng)結(jié)構的集合表達該系統(tǒng)的基本結(jié)構可表示為：要素集合S={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}二元關系集合Rb={（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}某系統(tǒng)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有7個要素，分別標記為S1，…,S7。各要素之間的影響關系：S2影響S1，S3影響S4，S4影響S5，S7影響S2，S4和S6互相影響。系統(tǒng)結(jié)構的集合表達該系統(tǒng)的基本結(jié)構可表示為：某系統(tǒng)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)73系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示節(jié)點表示系統(tǒng)構成要素有向弧表示要素之間的二元關系通路長度：節(jié)點i(Si)節(jié)點j(Sj)間的最少有向弧數(shù)，Si和Sj之間二元關系的（最少）傳遞次數(shù)?；芈罚簭哪彻?jié)點出發(fā)，沿著有向弧通過其他節(jié)點各一次可回到該節(jié)點時，形成回路。呈強連接關系的要素節(jié)點間存在雙向回路。5162374系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示節(jié)點表示系統(tǒng)構成要素516237474系統(tǒng)結(jié)構的矩陣表示鄰接矩陣（A）：要素間直接聯(lián)系，未表示間接聯(lián)系5162374如果有一列（如第j列）元素全為0，則Sj要素為系統(tǒng)輸入要素，因為該要素節(jié)點沒有入箭頭。如S3和S7如果有一行（如第i列）元素全為0，則Si要素為系統(tǒng)輸出要素，因為該要素節(jié)點沒有出箭頭。如S1和S5系統(tǒng)結(jié)構的矩陣表示鄰接矩陣（A）：要素間直接聯(lián)系，未表示間接75系統(tǒng)結(jié)構的三種描述方式比較S＝{S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7}Rb={(S2,S1),(S3,S4),(S4,S5),(S4,S6),(S6,S4),(S7,S2)}集合S1S2S3S4S5S6S7有向圖0000000100000000010000000110000000000010000100000鄰接矩陣S1S2S3S4S5S6S7S1S2S3S4S5S6S7Rb中聯(lián)系元素數(shù)目有向弧數(shù)目矩陣中“1”的數(shù)目系統(tǒng)結(jié)構的三種描述方式比較S＝{S1,S2,S3,S476系統(tǒng)結(jié)構的矩陣表示可達矩陣（M）使用矩陣形式表示有向圖中各個節(jié)點之間通過任意長的路徑可以到達（即間接影響）的 情況?；蛘哒f，是系統(tǒng)要素之間任意次傳遞的二元關系若M=（mij）nxn，且在無回路條件下的最大路長或傳遞次數(shù)為t，0=<t<=r,r為最長路徑（傳遞次數(shù)）：當t=0時，表示Si自身到達（反射性二元關系）,M=I當t=1時，表示基本的二元關系，M=A當t>=2時，表示傳遞的二元關系系統(tǒng)結(jié)構的矩陣表示可達矩陣（M）77可達矩陣可達矩陣求解：可以用鄰接矩陣A加上單位矩陣I，再經(jīng)過若干次自乘運算求得。M=(A+I)r最大傳遞次數(shù)按下式確定

(A+I)1≠(A+I)2≠

(A+I)3≠…≠(A+I)r-1≠(A+I)r

=(A+I)r+1=…=(A+I)n可達矩陣可達矩陣求解：78系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示79系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示C）可達矩陣系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示C）可達矩陣80系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示(A+I)3就是反映總體通達(傳遞)關系的可達矩陣最大路徑長度（傳遞次數(shù)）r=3.系統(tǒng)結(jié)構的有向圖表示(A+I)3就是反映總體通達(81區(qū)域劃分5162374延續(xù)前例：進行可達矩陣計算(A+I)2=(A+I)3區(qū)域劃分5162374延續(xù)前例：進行可達矩陣計算(A+I)282解釋結(jié)構模型解釋結(jié)構模型（InterpretativeStructuralModeling，ISM）技術是美國J·N·沃菲爾德教授于1973年作為分析復雜的社會經(jīng)濟系統(tǒng)結(jié)構問題的一種方法而開發(fā)的?；舅枷耄和ㄟ^各種創(chuàng)造性技術，提取問題的構成要素，利用有向圖、矩陣等工具和計算機技術，對要素及其相互關系等信息進行處理，明確問題的層次和整體結(jié)構，最后用文字加以解釋說明。解釋結(jié)構模型解釋結(jié)構模型（InterpretativeS83解釋結(jié)構模型應用ISM可以提高分析員對問題的認識和理解程度。該技術廣泛適用于認識和處理各類系統(tǒng)的結(jié)構分析問題不需高深的數(shù)學知識模型直觀且有啟發(fā)性各種背景人員可參加解釋結(jié)構模型應用ISM可以提高分析員對問題的認識和理解程度。84ISM工作原理意識模型要素及要素關系可達矩陣區(qū)域劃分級位劃分解釋結(jié)構模型有向圖鄰接矩陣多級遞階有向圖提取骨架矩陣優(yōu)勢：可以求出利用其他方法無法找出的間接聯(lián)系。這些間接聯(lián)系對研究系統(tǒng)的整體特性具有重要意義。

修正？遞階結(jié)構模型分析報告YesNoISM工作原理意識模型要素及可達矩陣區(qū)域劃分級位劃分解釋結(jié)85如何劃分區(qū)域（1）將與要素Si（i=1，2，…，n）相關聯(lián)的所有要素劃分成兩類集合：可達集R（Si）：由Si可到達的諸要素所構成的集合先行集A（Si）：可到達Si的諸要素所構成的集合如何劃分區(qū)域（1）將與要素Si（i=1，2，…，n）相關86如何劃分區(qū)域（2）求共同集C(Si)：Si的可達集和先行集的交集。

SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)

111,2,7121,22,7233，4，5，63344，5，63,4，64，6553，4，5，6564，5，63，4，64，671，2，777如何劃分區(qū)域（2）求共同集C(Si)：Si的可達集和先行集87可達集、先行集、共同集的關系區(qū)域劃分的集合Si本身一定在C(Si)中與Si強連接的要素一定在C(Si)中可達集、先行集、共同集的關系區(qū)域劃分的集合Si本身一定在C(88區(qū)域劃分的集合可達集R（Si

）由Si可到達的諸要素所構成的集合，R（Si）：R（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n先行集A（Si）可到達Si的諸要素所構成的集合，A（Si）：A（Si）={Sj|Sj∈S，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n共同集C（Si）是Si的可達集和先行集的交集，C（Si）：C（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n區(qū)域劃分的集合可達集R（Si）89區(qū)域劃分起始集在S中只影響（到達）其他要素而不受其他要素影響（不被其他要素到達）的要素所構成的集合，記為B（S）：B（S）={Si|Si∈S，C（Si）=A（Si），i=1，2，…，n}當Si為起始集要素時，A（Si）=C（Si）

區(qū)域劃分起始集90區(qū)域劃分終止集在S中只被其他要素到達影響（到達）的要素所構成的集合，記為E（S）：E（S）={Si|Si∈S，C（Si）=R（Si），i=1，2，…，n}當Si為起始集要素時，R（Si）=C（Si）區(qū)域劃分終止集91區(qū)域劃分判斷系統(tǒng)要素集合S是否可分割（是否相對獨立）只需判斷起始集B（S）中的要素及其可達集能否分割，例如B(S)={S1，S3}R（S1）={S2，S4，S5}R（S1）={S5，S6，S7}或者，只需判斷終止集E（S）中的要素及其先行集要素能否分割區(qū)域劃分的結(jié)果可記為：

∏（S）=P1，P2，…，Pk，…，Pm（其中Pk為第k個相對獨立區(qū)域的要素集合）。不可分割區(qū)域劃分判斷系統(tǒng)要素集合S是否可分割（是否相對獨立）不可分割92區(qū)域劃分利用起始集B（S）判斷區(qū)域能否劃分在B（S）中任取兩個要素bu、bv：如果R（bu）∩R（bv）≠ψ（ψ表示空集），則bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素屬同一區(qū)域。若對所有u和v均有此結(jié)果（均不為空集），則區(qū)域不可分。如果R（bu）∩R（bv）=ψ，則bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素不屬同一區(qū)域，系統(tǒng)要素集合S至少可被劃分為兩個相對獨立的區(qū)域。利用終止集E（S）來判斷區(qū)域能否劃分只要判定“A（eu）∩A（ev）”（eu、ev為E（S）中的任意兩個要素）是否為空集即可。區(qū)域劃分利用起始集B（S）判斷區(qū)域能否劃分93區(qū)域劃分可達集、先行集、共同集和起始集例表SiR（Si）A（Si）C（Si）B（S）123456711，23，4，5，64，5，654，5，61，2，71，2，72，733，4，63，4，5，63，4，671234，654，6737延續(xù)前例：進行區(qū)域劃分先列Si的可達集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si），再找出起始集B（S）（類似地，可以找出E（S））區(qū)域劃分可達集、先行集、共同集和起始集例表SiR（Si）A（94OO34561273456127M（P）=P1P21.區(qū)域劃分（7）因為B（S）={S3，S7},且有R（S3）∩R（S7）={S3，S4，S5，S6}∩{S1，S2，S7}=ψ（空集），所以兩個可達集分屬兩個相對獨立的區(qū)域，即有：∏（S）=P1，P2={S3，S4，S5，S6},{S1，S2，S7}。這時的可達矩陣M變?yōu)槿缦碌膲K對角矩陣，記為M（P）

：úúúúúúúúú?ùêêêêêêêêê?é1110110011110010011101111OO345695級位劃分在某個區(qū)域內(nèi)進行級位劃分，即確定某區(qū)域內(nèi)各要素所處層次地位的過程。也有教材稱為“層級劃分”。建立多級遞階結(jié)構模型的關鍵工作。設P是由區(qū)域劃分得到的某區(qū)域要素集合，若用Li表示從高到低的各級要素集合，則級位劃分的結(jié)果：

∏（P）=L1，L2，…，LI（其中l(wèi)為最大級位數(shù)）最高級位的要素即該系統(tǒng)的終止集要素。級位劃分在某個區(qū)域內(nèi)進行級位劃分，即確定某區(qū)域內(nèi)各要素所處層96級位劃分級位劃分的基本做法是：找出整個系統(tǒng)要素集合的最高級要素（終止集要素）后，可將它們?nèi)サ?，再求剩余要素集合（形成部分圖）的最高級要素，依次類推，直到確定出最低一級要素集合（即Li）。級位劃分級位劃分的基本做法是：97令LO=ψ（最高級要素集合為L1，沒有零級要素），則有：L1={Si|Si∈P-L0，C0（Si）=R0（Si），i=1，2，…，n}L2={Si|Si∈P-L0-L1，C1（Si）=R1（Si），i<n}Lk={Si|Si∈P-L0-L1-…-Lk-1，Ck-1（Si）=Rk-1（Si），i<n}

式中的Ck-1（Si）和Rk-1（Si）是由集合P-L0-L1-…-Lk-1中的要素形成的子矩陣（子圖）求得的共同集和可達集。級位劃分令LO=ψ（最高級要素集合為L1，沒有零級要素），則有：級位98級位劃分要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）=R（S）∏（P1）P1-L034563，4，5，64，5，654，5，633，4，63，4，5，63，4，634，654，6√L1={S5}P1-L0-L13463，4，64，64，633，4，63，4，634，64，6√√L2={S4，S6}P1-L0-L1-L23333√L3={S3}如對前例中P1={S3，S4，S5，S6}進行級位劃分級位劃分要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）∏（P199級位劃分54631275463127M（L）=L1L2L3L1L2L300對P1={S3，S4，S5，S6}進行級位劃分的結(jié)果為：∏（P1）=L1，L2，L3={S5}，{S4，S6}，{S3}對P2={S1，S2，S7}進行級位劃分的結(jié)果為：

∏（P2）=L1，L2，L3=

{S1}，{S2}，{S7}這時的可達矩陣為M（L）為區(qū)域塊三角矩陣，如下：為什么不是三角陣？級位劃分546100提取骨架矩陣骨架矩陣：也即為M（L）的最小實現(xiàn)矩陣。提取骨架矩陣A’的三個步驟:1.去掉各層次中的強連接要素，得到縮減矩陣M’（L）2.去掉M’（L）中要素間的越級二元關系，得到進一步簡化的矩陣M’’（L）3.進一步去掉M’’（L）中自身到達的二元關系，得到骨架矩陣A’（具有最少的二元關系個數(shù)）。提取骨架矩陣骨架矩陣：也即為M（L）的最小實現(xiàn)矩陣。101提取骨架矩陣543127543127M’（L）=L1L2L3L1L2L300如對原例M（L）中的強連接要素集合{S4，S6}作縮減處理把S4作為代表要素，去掉S6。提取骨架矩陣543102提取骨架矩陣

543127543127M’’（L）=L1L2L3L1L2L300如M’（L）中，去掉第三級要素到第一級要素的超級二元關系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即將M’（L）中3→5和7→1的“1”改為“0”，得M’’（L）

：提取骨架矩陣543103提取骨架矩陣

543127543127A’=M’’（L）-I=L1L2L3L1L2L300將M’’（L）主對角線上的“1”全變?yōu)椤?”，得到骨架矩陣A’。提取骨架矩陣54104繪制多級遞階有向圖根據(jù)骨架矩陣A’，繪制出多級遞階有向圖：1.分區(qū)域從上到下逐級排列系統(tǒng)構成要素。（終止集放在最上面）2.同級加入被刪除的與某要素有強連接關系的要素（如例中的S6），及表征它們相互關系的有向弧。按A’所示的鄰接二元關系，用級間有向弧連接成有向圖。繪制多級遞階有向圖根據(jù)骨架矩陣A’，繪制出多級遞階有向圖：105S1S2S7S3S4S5S6第1級第2級第3級結(jié)束多級遞階有向圖S1S2S7S3S4S5S6第1級結(jié)束多級遞階有向圖106以可達矩陣M為基礎，以矩陣變換為主線的遞階結(jié)構模型的建立過程：遞階結(jié)構模型建立過程區(qū)域劃分級位劃分強連接要素縮減剔除超級關系去掉自身關系繪圖（塊對角陣）（區(qū)域塊三角陣）（區(qū)域下三角陣）M→M（P）→M（L）→M’（L）→M’’（L)→A’→D（A’）根據(jù)問題的背景，將遞階有向圖轉(zhuǎn)化為解釋結(jié)構模型（用文字加以解釋）以可達矩陣M為基礎，以矩陣變換為主線的遞階結(jié)構模型的建立過程107解釋結(jié)構模型的應用例子;現(xiàn)在以討論人口控制綜合策略問題為例，介紹在應用ISM時，如何根據(jù)人們的經(jīng)驗和對話過程，直接求得可達短陣，并據(jù)此建立解釋結(jié)構模型。人口控制綜合策略問題的討論是這樣提出的。改革開放以來，由于社會保障與保健制度的完善，人民健康水平有了很大提高，使得人們的平均壽命也有了提高，這樣，死亡率就相應地降低了。同時，由于國民收入的不斷增長，生活水平的不斷提高等，導致生育率有所提高。因此，種種因素導致了我國人口的迅速增加。眾所周知，人口的過分增長帶來的影響是不利的。為此．專門成立了由各方面有關人員參加的研究小組對人口的綜合控制問題進行分析研究。小組成員經(jīng)過討論分析后，決定應用ISM分析和確定影響我國總?cè)丝谠鲩L的因素，并據(jù)此制定有關政策。解釋結(jié)構模型的應用例子;現(xiàn)在以討論人口控制綜合策略108影響人口增長的因素很多，經(jīng)過小組成員討論，提出了以下的主要因素：

(1)期望壽命S1(7)環(huán)境污染程度S7(2)醫(yī)療保健水平S2(8)國民收入S8(3)國民生育能力S3(9)國民素質(zhì)S9(4)計劃生育政策S4(10)出生率S10(5)國民思想風俗S5(11)死亡率S11(6)食物營養(yǎng)S6(12)總?cè)丝赟12影響人口增長的因素很多，經(jīng)過小組成員討論，提出了以下的主要109這些影響人口增長的因素可以通過小組成員的經(jīng)驗進行分

析，并經(jīng)過多次小組討論，以確定它們之間的關系。VVAAAAS1VVVS2VVAAS3VVAAXS4VVAAS5VVVS6VVS7VVVS8VVS9VS10VS11

S12其中：V表示方格圖中的行(或上位)要素直接影響到列(或下位)要素；A表示列要素對行要素有直接影響；X表示行列兩要素相互影響(稱之為強連接關系)。這些影響人口增長的因素可以通過小組成員的經(jīng)驗進行分

析，并110（1）根據(jù)人口增長因素的相互影響關系，可得到鄰接矩陣，按S1，S2，…，S12的順序安排影響關系的取值（1）根據(jù)人口增長因素的相互影響關系，可得到鄰接矩陣，按S1111（2）根據(jù)鄰接矩陣求可達矩陣（2）根據(jù)鄰接矩陣求可達矩陣112區(qū)域劃分略區(qū)域劃分略113（3）級位劃分SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)11,11,121,2,6,7,8