四維空間文檔

第五講四維空間n維空間概念，在18世紀隨著分析力學(xué)的發(fā)展而有所前進。在達朗貝爾.歐拉和拉格朗日的著作中無關(guān)緊要的出現(xiàn)第四維的概念，達朗貝爾在《百科全書》關(guān)于維數(shù)的條目中提議把時間想象為第四維。在19世紀高于三維的幾何學(xué)還是被拒絕的。麥比烏斯(karlaugustmobius1790-1868)在其《重心的計算》中指出，在三維空間中兩個互為鏡像的圖形是不能重疊的，而在四維空間中卻能疊合起來。但后來他又說：這樣的四維空間難于想象，所以疊合是不可能的。這種情況的出現(xiàn)是由于人們把幾何空間與自然空間完全等同看待的結(jié)果。以至直到1860年，庫摩爾(ernsteduardkummer1810-1893)還嘲弄四維幾何學(xué)。但是，隨著數(shù)學(xué)家逐漸引進一些沒有或很少有直接物理意義的概念，例如虛數(shù)，數(shù)學(xué)家們才學(xué)會了擺脫數(shù)學(xué)是真實現(xiàn)象的描述”的觀念，逐漸走上純觀念的研究方式。虛數(shù)曾今是很令人費解的，因為它在自然界中沒有實在性。把虛數(shù)作為直線上的一個定向距離，把復(fù)數(shù)當作平面上的一個點或向量，這種解釋為后來的四元素，非歐幾里得幾何學(xué)，幾何學(xué)中的復(fù)元素，n維幾何學(xué)以及各種稀奇古怪的函數(shù)，超限數(shù)等的引進開了先河，擺脫直接為物理學(xué)服務(wù)這一觀念迎來了n維幾何學(xué)。1844年格拉斯曼在四元數(shù)的啟發(fā)下，作了更大的推廣，發(fā)表《線性擴張》，1862年又將其修訂為《擴張論》。他第一次涉及一般的n維幾何的概念，他在1848年的一篇文章中說：我的擴張的演算建立了空間理論的抽象基礎(chǔ)，即它脫離了一切空間的直觀，成為一個純粹的數(shù)學(xué)的科學(xué)，只是在對（物理）空間作特殊應(yīng)用時才構(gòu)成幾何學(xué)。然而擴張演算中的定理并不單單是把幾何結(jié)果翻譯成抽象的語言，它們有非常一般的重要性，因為普通幾何受（物理）空間的限制。格拉斯曼強調(diào)，幾何學(xué)可以物理應(yīng)用發(fā)展純智力的研究。幾何學(xué)從此開始割斷了與物理學(xué)的聯(lián)系而獨自向前發(fā)展。經(jīng)過眾多的學(xué)者的研究，遂于1850年以后，n維幾何學(xué)逐漸被數(shù)學(xué)界接受。一般認為：四維空間是一個時空的概念。簡單來說，任何具有四維的空間都可以被稱為四維空間不過，日常生活所提及的四維空間”，大多數(shù)都是指愛因斯坦在他的《廣義相對論》和《狹義相對論》中提及的四維時空”概念。根據(jù)愛因斯坦的概念，我們的宇宙是由時間和空間構(gòu)成。時空的關(guān)系，是在空間的架構(gòu)上比普通三維空間的長、寬、高三條軸外又多了一條時間軸，而這條時間的軸是一條虛數(shù)值的軸。根據(jù)愛因斯坦相對論所說：我們生活中所面對的三維空間加上時間構(gòu)成所謂四維空間。由于我們在地球上所感覺到的時間很慢，所以不會明顯的感覺到四維空間的存在，但一旦登上宇宙飛船或到達宇宙之中，使本身所在參照系的速度開始變快或開始接近光速時，我們能對比的找到時間的變化。如果你在時速接近光速的飛船里航行，你的生命會比在地球上的人要長很多。這里有一種勢場所在，物質(zhì)的能量會隨著速度的改變而改變。所以時間的變化及對比是以物質(zhì)的速度為參照系的。這就是時間為什么是四維空間的要素之一的原因。一、直線運動假設(shè)一個物體在平面上做勻速直線運動，其軌跡是一條直線L。從直線L無法判斷這個物體是否勻速運動。但研究一個運動，時間是非常重要的量，我們希望知道物體何時在何地。如果物體P在平面上做勻速直線運動，則可以得到P點的坐標隨時間T變化的函數(shù)關(guān)系。假設(shè)當T=0時，P的在坐標原點，則P點坐標為：x=at,y=bt,其中a,b為常數(shù)。如果物體P在平面上做變速直線運動，這種函數(shù)關(guān)系x=x(t),y=y(t)很復(fù)雜?，F(xiàn)在物體運動的平面外再增加一個表示時間的坐標軸T軸，T軸也過坐標原點，且與將由，Yffl都垂直。當P點做勻速直線運動，可得到一條經(jīng)過原點的直線L,L上每一點Q(x,y,z)表示P點在時亥(It位于原來X評面上的(x,y)處。即從直線L上的每一點向平面XY乍垂線，所有的垂足就是L在X湎上的投影。此投影就是P點運動的實際軌跡。L越陡，說明運動速度比較慢；L越平說明運動速度比較快。如果物體在平面XYk做變速直線運動，可得一條空間曲線L,L在XY￥面上的投影仍是一條直線。因為P點的運動軌跡仍是直線，但由于L是曲線，說明物體的運動速度是隨時間的變化而變化。上例是對平面上的運動來說的，當增加了時間軸后，把二維空間變?yōu)槿S空間。如果原來物體就是在三維空間運動，運動的軌跡是三維空間的一條曲線l,當增加時間軸以后，三維空間變?yōu)樗木S空間，于是得到四維空間中的一條曲線L。L上一點Q(x,y,z,t)就表示物體在時刻t位于原來空間中的點(x,y,z)處。四維空間中的曲線L在原來三維空間中的投影就是運動軌跡I,但L卻能反映出物體的運動對時間的依賴關(guān)系。上述方法得到的四維空間是對時間和空間綜合起來考慮，可以稱為“時空間”。其中時間軸就是科幻小說中的時間隧道,

過我們討論的時間是單向的，只能不停地向前，不能停止也不能倒退。而科幻小說中的時間隧道是可進可退的，這就是科學(xué)與科幻的區(qū)別。二、四維歐氏空間及直角坐標系借助射影幾何的觀點，在三維空間中一條直線與一個平面至少相交于一點，兩個平面至少相交于一條直線。但兩條直線可以相交與一點，也可以沒有交點（異面）。列表表示：平面直線平面直線點直線點不定在四維空間中，除了直線、平面以外還有許多三維空間。為了方便，將這些三維空間稱為“三維面”，平面稱為“二維面”，直線還叫直線。于是在四維空間有：三維面三維面三維面三維面二維面直線二維面直線點二維面直線點不定直線點不定不定由此還可得出：在四維空間中，三個三維面至少交于一條直線，四個三維面至少交于一點。四維歐氏空間中的笛卡爾坐標系由相交于一點。的四條兩兩垂直的直線構(gòu)成。有四條坐標軸OX,OY,OZ,OT六個二維坐標面XOY,XOZ,XOT,YOZ,YOT,ZQT四個三維坐標面0XYZ,OXYT,OXZT,OYZT任何一個三維坐標面就是一個三維歐氏空間。三、歐拉公式在三維歐氏空間中，建立笛卡爾直角坐標系O-XYZ。再設(shè)A,B,C的坐標為(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),則以O(shè)A,OB,OC為鄰邊的立方體I3成為三維歐氏空間中的標準立方。它有8個頂點，12條棱和6個面，且滿足關(guān)系：頂點數(shù)一棱數(shù)十面數(shù)=2以O(shè)A、OB、OC為鄰邊還決定一個四面體C3,稱為三維歐氏空間中的標準單形。C3有4個頂點，6條棱和4個面，也滿足頂點數(shù)一棱數(shù)十面數(shù)=2可以證明，三維歐氏空間中的任何多面體，只要中間沒有“洞”，都滿足以上公式。這個公式就是著名的“歐拉公式”。在四維空間，假設(shè)笛卡爾直角坐標系O-XYZT。A,B,C,D分別是坐標為(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)和(0,0,0,1)的點，則以O(shè)A,OB,OC,OD為鄰邊可以構(gòu)成一個四維方體I4,它的每條邊長為1,它的每個二維面是正方形，面積為1;它的每個三維面是立方體，體積為1;如果計算I4的體積也是1。所以I4是四維歐氏空間中的標準立方體。在三維坐標面O—XYZ上有I4的一個三維面，就是以O(shè)A,OB,OC為鄰邊的三維立方體。它應(yīng)該有8個頂點，12條棱和6個二維面。I4有8+8=16個頂點，32條棱，24個二維面，8個三維面。且滿足：頂點數(shù)—棱數(shù)十二維面數(shù)—三維面數(shù)=0這就是歐拉公式在四維歐氏空間中的情形。將以上結(jié)果列表：頂點棱二維面三維面立方體812602四面體46402四維立方體16322480五胞體5101050三、鏡面反射歐氏幾何中的“合同”就是全等。兩個三角形全等可以通過：平移，旋轉(zhuǎn)或軸反射使它們重合。這里的軸反射就是鏡面反射，也說兩個三角形是軸對稱的。但是這個反射必須借助包含它們所在平面的三維空間。（見圖）如果僅限于在平面內(nèi)，不可能使兩個三角形重合?，F(xiàn)在把問題的維數(shù)提高一維，考察三維空間中兩個成鏡面反射的圖形。設(shè)四面體ABCD與四面體A‘B'C'D'在同一個三維空間中成鏡面反射，它們關(guān)于平面a對稱。因此平面a是線段AA',BB',CC',DD'的公共的垂直平分面.要想通過移動使兩個四面體重合是不可能的.但是如果這個三維空間是某個四維空間中的一個三維面，在這個四維空間中繞平面a的旋轉(zhuǎn)就可以使兩個四面體重合.四、超球面1.三維空間中的超球面在三維空間中的一個球面，也稱為三維空間中的超球面。取原點為中心，半徑為1的單位球面，記作：S2,其方程是x2y2Z21s2有以下性質(zhì)：(1)在三維歐氏空間中要確定一個球面，只要知道球心與半徑，即4個參數(shù)，球心(a,b,c),半徑r。(2)球面具有最豐富的對稱性。球心是對稱中心；直徑是對稱軸；每個過球心的平面是對稱平面。(3)從s2上的每個點向XOY面引垂線，則垂足構(gòu)成以。為中心，1為半徑的圓盤，稱為s2在XOY面上的投影。即如果取一般的平面，S2在它上的投影方程比較復(fù)雜，但仍是單位圓盤。因為平面上的圓就是二維空間中的超球面，所以，三維空間中的超球面，向任何一個平面投影就得到這個平面中的一個超球面。(4)如果用一個平面去截s2,截痕是一個圓，當平面過中心，截痕是大圓。這個事實可以敘述為：在三維空間中，用一個二維空間去截二維球面，得到一個一維球面。(5)球面是一個封閉曲面，將三維空間分成互不相通的兩部分。2.四維空間中的超球面方程四維歐氏空間中的超球面仍是到定點距離相等的點的集合。仍以單位球面為例，記作：S3,方程為x2y2z2t21按照類比的思想，S3應(yīng)該與S2有一些類似的性質(zhì)：(1)在四維空間中要確定一個超球面，同樣只要知道球心與半徑，即5個參數(shù)，球心(a,b,c,d),半徑r。(2)四維空間中的超球面是三維球面，它仍是關(guān)于中心對稱，關(guān)于任意直徑對稱，關(guān)于過球心的平面對稱，此外，對于過球心的任意三維面，它都是“體對稱”圖形。(3)當把s3投影到三維坐標面O—XYZ上，可得:它表示三維空間o—XYZ中的單位球體。于是有：在四維空間中，超球面S3在任一個三維空間中的投影是三維空間中的超球體(即普通的實心球)。(4)在四維空間中，用一個二維平