廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間

第二章單樣本問題

2.1廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間2.2Wilcoxon符號秩檢驗，點(diǎn)估計和區(qū)間估計2.3正態(tài)記分檢驗2.4Cox-Stuart趨勢檢驗2.5關(guān)于隨機(jī)性的游程檢驗廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!中心位置檢驗分布檢驗符號秩檢驗符號檢驗一般符號檢驗游程檢驗Cox-staut趨勢檢驗正態(tài)記分檢驗分位數(shù)檢驗Lilliefor正態(tài)性檢驗K－S正態(tài)性檢驗擬合優(yōu)度檢驗Wilcoxon符號秩檢驗單樣本推斷廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!單一總體位置的點(diǎn)估計，置信區(qū)間估計和假設(shè)檢驗

是參數(shù)統(tǒng)計推斷的基本內(nèi)容

在經(jīng)典統(tǒng)計中，人們關(guān)心總體均值（位置變量，描述總體的“中心”位置）；方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差（關(guān)于數(shù)據(jù)散步的參數(shù)，描述總體的“尺度”的變量）

在非參數(shù)統(tǒng)計中，我們也關(guān)心數(shù)據(jù)所包含的關(guān)于總體的位置和尺度的信息：（a）對總體位置參數(shù)的推斷：均值、中位數(shù)、眾數(shù)、分位數(shù)（b）數(shù)據(jù)的走勢或走向，或者看一下這些數(shù)目是否完全是隨機(jī)的廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!首先來看一個簡單的例題：

例1.假設(shè)某地16座預(yù)出售的樓盤均價，單位(百元/平米)如下表所示36323125283640324126353532873335問：該地平均樓盤價格能否與媒體公布的3700/平米的說法相符解一:用t檢驗法（假設(shè)在統(tǒng)計時樓盤價格服從正態(tài)分布）廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!補(bǔ)充:R中的t檢驗法的用法廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!2)配對t檢驗法

X1,X2,…,Xn~N(a1,σ12),Y1,Y2,…,Yn~N(a2,σ22),H0:a1=a2,H1:a1<a2補(bǔ)充:R中的t檢驗法的用法例如,欲比較甲乙兩種輪胎的耐磨性,現(xiàn)抽取數(shù)據(jù)如下:甲:4900,5220,5500,6020,6340,7660,8650,4870乙:4930,4900,5140,5700,6110,6880,7930,5010欲檢驗H0:a1=a2,H1:a1<a2>x<-c(4900,5220,5500,6020,6340,7660,8650,4870)>y<-c(4930,4900,5140,5700,6110,6880,7930,5010)>t.test(x,y,alternative=“l(fā)ess”,paired=T)廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!

在上面的邏輯推理中，假設(shè)分布結(jié)構(gòu)的正態(tài)性是否合理，是t-檢驗運(yùn)用是否得當(dāng)?shù)年P(guān)鍵

顯然3:13支持的是3700元/平米不能作為正態(tài)分布對稱中心的觀點(diǎn)

現(xiàn)在，讓我們換一個角度考慮位置推斷問題：廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!符號檢驗基本原理基本思想：假定用總體中位數(shù)Me來表示中間位置，那么樣本點(diǎn)取大于Me的值得概率與小于Me的概率應(yīng)該相等。如果排除樣本中等于Me的點(diǎn)，該概率應(yīng)該為0.5。檢驗統(tǒng)計量：如果Me的確是有關(guān)總體的中位數(shù)，則每個樣本點(diǎn)都以0.5的概率小于（或大于）Me。這顯然是一系列伯努利（Bernoulli）試驗。大于Me的樣本點(diǎn)的個數(shù)與小于Me的個數(shù)都服從二項分布b(n,1/2)，

與都可以作為檢驗統(tǒng)計量。令廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!在零假設(shè)和獨(dú)立同分布的隨機(jī)抽樣的條件下，每一個樣本等可能地出現(xiàn)在37的左右，這也就是說從有利于接受備擇假設(shè)的角度出發(fā)，過大或過小，都表示37不能作為總體的中心，這個思路就是符號檢驗的基本原理。同樣的，在零假設(shè)和獨(dú)立同分布的隨機(jī)抽樣的條件下，也有廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!類似地，給出單邊假設(shè)檢驗問題的結(jié)果：其中c是滿足上式的最小值

或其中k是滿足上式的最大值

單邊符號檢驗問題廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!右側(cè)檢驗思路：對于檢驗假設(shè)，當(dāng)很大時(即很多觀察值大于M0)，基于零假設(shè)的概率，即p-值，也不大。因此M0可能太小，而Me應(yīng)該比目前的M0大，這樣，備擇假設(shè)會更有理一些。如果上述概率小于指定的顯著性水平，就可以拒絕零假設(shè)。這種情況等價于很小的情況。

在顯著性水平下，檢驗的拒絕域為：

其中，

廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!左側(cè)檢驗思路：對于檢驗假設(shè)，當(dāng)很小時(即只有少數(shù)觀察值大于M0)，基于零假設(shè)的概率，即p-值，也不大。因此M0可能太大，而M應(yīng)該比目前的M0

小，這樣，備擇假設(shè)會更有理一些。如果上述概率小于指定的顯著性水平，就可以拒絕零假設(shè)。這種情況等價于很大的情況。在顯著性水平下，檢驗的拒絕域為：

其中，廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!雙側(cè)檢驗思路：對于假設(shè)檢驗，當(dāng)不很大或不很小時，不能拒絕零假設(shè)。否則，應(yīng)該拒絕零假設(shè).檢驗的拒絕域為兩個：或其中，廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!特殊情形的處理：在實際問題中恰巧有一些觀測值正好等于M0，則如何處理呢？辦法之一：省去，并減少樣本容量。辦法之二：使用更小的計量單位。辦法之三：修正符號檢驗統(tǒng)計量如下：廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!假定這是從世界許多大城市中隨機(jī)抽樣而得到的樣本，所有大城市的指數(shù)組成了總體。

可能面臨的問題是：這個總體的平均水平是多少？北京市在該水平之上還是之下？通常，在總體是正態(tài)分布的假設(shè)下，關(guān)于總體均值的假設(shè)檢驗和區(qū)間估計是與t-檢驗有關(guān)的方法進(jìn)行的。

在本例中，總體分布是未知的，我們就想知道，此時的總體是不是正態(tài)分布呢？先看一下此組數(shù)據(jù)的直方圖。

從圖中很難看出這是什么分布

廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!即在零假設(shè)下，由該樣本所代表的事件的發(fā)生的概率僅為0.0124，即p-值=0.0124很小，可以拒絕零假設(shè)，拒絕錯了的概率僅為0.0124。也就是說，北京的生活指數(shù)不可能小于世界大城市的中間水準(zhǔn)。注：一般來說，如果p-值太大，拒絕零假設(shè)的理由就不充分。也就是通常說的不能拒絕零假設(shè)。廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!假設(shè)檢驗廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!二項分布中如何計算p

值備擇假設(shè)p

值廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!備擇假設(shè)p

值廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!例2.1(2).64是否為樣本中位數(shù)的檢驗解：形式上，我們的檢驗是廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!>binom.test(sum(x>40),length(x)-1,0.75) Exactbinomialtestdata:sum(x>40)outoflength(x)-1numberofsuccesses=2,n=15,p-value=9.23e-07alternativehypothesis:pisnotequalto0.75

R編程計算：95percentconfidenceinterval:0.016575910.40460270sampleestimates:probabilityofsuccess0.1333333廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!因為正態(tài)分布是連續(xù)的，所以對離散的二項分布的近似中，可以用連續(xù)性修正量:

其中當(dāng)K<n/2時取加號，當(dāng)K>n/2時取減號。大樣本正態(tài)近似（修正）樣本量n較大時，二項分布可以用正態(tài)分布來近似。在零假設(shè)下，當(dāng)n

較大時，服從正態(tài)N(0,1)分布。樣本量n

較小時，可以用二項分布的公式或查表來計算p-值。廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!關(guān)于連續(xù)性修正（continuitycorrections）的注：

在實踐中，當(dāng)用連續(xù)分布去近似離散分布時，常常要用連續(xù)性修正。應(yīng)用中最常用于近似的連續(xù)性分布是正態(tài)分布

以相鄰點(diǎn)間距離為1的離散變量為例，每一個點(diǎn)x用區(qū)間(x-1/2,x+1/2)來代替

這種對x加或減部分的調(diào)整就稱為連續(xù)性修正。

廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!2.1.2

基于符號檢驗的中位數(shù)及分位點(diǎn)的置信區(qū)間用順序統(tǒng)計量構(gòu)造分位數(shù)置信區(qū)間的方法廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!1.中位數(shù)M的對稱置信區(qū)間

2.區(qū)間估計的大樣本近似3.分位點(diǎn)的置信區(qū)間

廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!在以前我們接觸的統(tǒng)計方法中，得到一個樣本，很自然的想知道它的“平均水平”是多少，這就涉及到統(tǒng)計中對總體的均值、中位數(shù)、眾數(shù)等位置參數(shù)的推斷。

如果總體是均值為μ正態(tài)分布時，一個典型方法就是t-檢驗，它的檢驗統(tǒng)計量定義為：

其中，s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，為樣本均值。t-檢驗在大樣本或已知總體是正態(tài)分布是可以得到很好的效果，但t-檢驗不穩(wěn)健，在不知道總體分布，特別是小樣本時，風(fēng)險很大。這時就要考慮使用非參數(shù)方法了。t統(tǒng)計量在零假設(shè)下服從n-1個自由度的t-分布。t-檢驗統(tǒng)計量是用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的總體標(biāo)準(zhǔn)差之后而產(chǎn)生的。廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!One-samplet-Testdata:build.price-37t=-0.1412,df=15,p-value=0.8896alternativehypothesis:truemeanisnotequalto095percentconfidenceinterval:-8.0458537.045853sampleestimates:meanofx-0.5廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!t-test(x)X1,X2,…,Xn~N(a,σ2),H0:a=a0,H1:a≠a0補(bǔ)充:R中的t檢驗法的用法例如,某食品廠用自動裝罐機(jī)裝罐頭食品,每罐質(zhì)量為500g,現(xiàn)從每天生產(chǎn)的罐頭中隨機(jī)抽測9罐,其質(zhì)量分別為:510,505,498,503,492,502,497,506,495(單位:g)欲檢驗H0:a=500,H1:a≠500>t.test(x-500)data:x-500t=0.46,df=8,p-value=0.6578alternativehypothesis:meanisnotequalto095percentconfidenceinterval:-3.5674715.345249sampleestimates:meanofx0.8888889廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!補(bǔ)充:R中的t檢驗法的用法Pairedt-Testdata:xandyt=2.8312,df=7,p-value=0.9873alternativehypothesis:meanofdifferencesislessthan095percentconfidenceinterval:NA534.1377sampleestimates:meanofx-y320接受H0,認(rèn)為兩種輪胎無顯著性差異.廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!2.1.0符號檢驗符號檢驗（SignTest）是最古老的檢驗方法，其檢驗最早可追溯到Arbuthnott于1701年一項有關(guān)倫敦出生的男嬰比例是否超過1／2的研究之所以稱為符號檢驗，是因為該檢驗只有兩類觀測值，如果用符號＋和－區(qū)分，符號檢驗就是通過符號＋和－的個數(shù)來做統(tǒng)計推斷，所以稱為符號檢驗。符號檢驗雖然是最簡單的非參數(shù)檢驗，但它體現(xiàn)了非參數(shù)統(tǒng)計的一些基本思路。廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!以例題1（樓盤價格問題）為例理解“符號檢驗的基本原理”如果假設(shè)問題的結(jié)構(gòu)是一般連續(xù)分布，將37（百元）理解為總體的中位數(shù)，則假設(shè)檢驗問題表示為：其中Me是總體的中位數(shù)。如果零假設(shè)為真，即37是總體的中位數(shù)，則數(shù)據(jù)中應(yīng)該差不多各有一半在37的兩側(cè)

計算每一個數(shù)據(jù)與37的差，用表示位于37右邊的點(diǎn)的個數(shù)，表示位于37左邊的點(diǎn)的個數(shù)，數(shù)據(jù)中沒有等于37的數(shù)，+=16廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!下面給出規(guī)范的符號檢驗推斷過程：假設(shè)Me是總體的中位數(shù)，對于假設(shè)檢驗問題：其中M0是待檢驗的中位數(shù)值。假設(shè)是從總體中產(chǎn)生的簡單隨機(jī)樣本，定義廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!符號檢驗與t檢驗得到了相反的結(jié)論，到底選擇哪一種結(jié)果呢？結(jié)論：符號檢驗在總體分布未知的情況下優(yōu)于t檢驗！我們可以對例1（樓盤價數(shù)據(jù)問題）用符號檢驗法求解解二:用符號檢驗法在顯著性水平0.05下，拒絕原假設(shè)H0.認(rèn)為這些數(shù)據(jù)與中心位置37存在顯著差異.廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!檢驗類型：需要說明的零假設(shè)一般就取等號。單邊檢驗：右側(cè)檢驗

左側(cè)檢驗雙邊檢驗：廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!對于符號檢驗，使用檢驗的p-值進(jìn)行檢驗將會比較簡單：單邊符號檢驗問題雙邊符號檢驗問題廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!p值還可以通過Excel中的函數(shù)Binomdist(S+－1,n，p,t/F)計算。本檢驗可以通過輸入Binomdist(S+－1,n，0.5,1)計算。與參數(shù)的假設(shè)檢驗相同，也可以計算檢驗的p值，它等于一分布為二項分布b(n,1/2)的隨機(jī)變量大于等于的概率：

判別規(guī)則為：

p值大于，則不能拒絕零假設(shè)。

p值小于，則拒絕零假設(shè)。廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!p值還可以通過Excel中的函數(shù)Binomdist(S+,n,p,t/F)計算。本檢驗可以通過輸入Binomdist(S+,n,0.5,1)計算。與參數(shù)的假設(shè)檢驗相同，也可以計算檢驗的p值，它等于一分布為二項分布b(n,1/2)的隨機(jī)變量小于等于的概率：判別規(guī)則為：

p值大于，則不能拒絕零假設(shè)。

p值小于，則拒絕零假設(shè)。廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!與參數(shù)的假設(shè)檢驗相同，也可以計算檢驗的p值。當(dāng)，它等于二項分布b(n,1/2)的隨機(jī)變量大于的概率的2倍：

當(dāng)，它等于二項分布b(n,1/2)的隨機(jī)變量小于的概率的2倍：判別規(guī)則為：

p值大于，則不能拒絕零假設(shè)。

p值小于，則拒絕零假設(shè)。廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!下面先看一個例子，由此來引出符號檢驗。聯(lián)合國人員在世界上66個大城市的生活花費(fèi)指數(shù)（以紐約市1996年12月為100）按資小至大的次序排列如下（北京的指數(shù)為99）：66757880818182838383838485858686868687878888888888898989899090919191919293939696969799100101102103103104104104105106109109110110110111113115116117118155192廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!此概率就是該假設(shè)檢驗的p-值。假設(shè)檢驗，即零假設(shè)為北京的生活水準(zhǔn)小于世界大城市的生活水準(zhǔn)在零假設(shè)下，二項分布的概率(其中=1/2)

因此，我們采用符號檢驗的方法:舍去值為99的樣本點(diǎn)，還剩65個數(shù)據(jù)，的實際值為k=23，在這個例子中，n=65，k=23，，p-值為廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!樣本：世界上71個大城市的花費(fèi)指數(shù)

（可以假定這個樣本是從世界許多大城市中隨機(jī)抽樣而得的，所有大城市的指數(shù)組成了總體）兩個關(guān)于位置參數(shù)的不同檢驗問題：

樣本中位數(shù)M是否大于64

（等價地說，是否指數(shù)小于64的城市的比例少于1/2）樣本0.25分位點(diǎn)Q0.25

是否小于64

（等價地說，是否指數(shù)小于64的城市的比例大于0.25）——這兩個問題實際上都是關(guān)于分位點(diǎn)的檢驗問題2.1.1廣義符號檢驗：對分位點(diǎn)進(jìn)行的檢驗根據(jù)同樣原理，可以將中位數(shù)符號檢驗推廣為任意分位點(diǎn)的符號檢驗廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!在所有樣本點(diǎn)都不等于q0

時，n

就等于樣本量如果有些樣本點(diǎn)等于q0，那么這些樣本點(diǎn)就不能參加推斷，應(yīng)該把他們從樣本中除去，這樣n

就小于樣本量了

不過對于連續(xù)型變量，樣本點(diǎn)等于q0

的可能性很小廣義符號檢驗和有關(guān)的置信區(qū)間共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!或者寫成備擇假設(shè)