(結(jié)構(gòu)分析的有限元法課件)第四章平面問題

第四章平面問題有限元早期的研究是從彈性力學(xué)的平面問題開始的，對平面問題的研究使有限元的研究對象從離散體向連續(xù)體邁出了關(guān)鍵性的一步。第四章平面問題有限元早期的研究是從彈性力1兩類平面問題1、平面應(yīng)力問題xyz兩類平面問題1、平面應(yīng)力問題xyz22、平面應(yīng)變問題重力壩水壓力zxy2、平面應(yīng)變問題重力壩水壓力zxy3平面問題的基本物理量平面問題的基本物理量4彈性矩陣平面應(yīng)力：平面應(yīng)變：彈性矩陣平面應(yīng)力：平面應(yīng)變：5三角形單元三角形單元6單元結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移單元結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移7位移模式

代入結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和結(jié)點(diǎn)位移位移模式代入結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和結(jié)點(diǎn)位移8確定待定常數(shù)式中確定待定常數(shù)式中9(結(jié)構(gòu)分析的有限元法課件)第四章平面問題10(結(jié)構(gòu)分析的有限元法課件)第四章平面問題11(結(jié)構(gòu)分析的有限元法課件)第四章平面問題12(結(jié)構(gòu)分析的有限元法課件)第四章平面問題13用結(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移

表示成形函數(shù)的形式形函數(shù)的定義用結(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移表示成形函數(shù)的形式形函數(shù)的定14另外三個(gè)系數(shù)另外三個(gè)系數(shù)15矩陣形式表示矩陣形式表示16單元間位移的連續(xù)根據(jù)式(4.11)和(4.13)，在單元的邊界上位移是線性變化的，兩個(gè)相鄰的單元在其公共結(jié)點(diǎn)上具有相同的結(jié)點(diǎn)位移，因而在他們的公共邊界上，兩個(gè)單元將具有相同的位移，也就是說所選的位移函數(shù)保證了相鄰單元之間位移的連續(xù)性。單元間位移的連續(xù)根據(jù)式(4.11)和(4.117單元的應(yīng)變與B矩陣B是常數(shù)矩陣單元的應(yīng)變與B矩陣B是常數(shù)矩陣18單元應(yīng)力單元應(yīng)力19形函數(shù)的性質(zhì)和面積坐標(biāo)形函數(shù)的性質(zhì)和面積坐標(biāo)20形函數(shù)的性質(zhì)1形函數(shù)的性質(zhì)121形函數(shù)性質(zhì)2證明如下：002D形函數(shù)性質(zhì)2證明如下：002D22形函數(shù)的性質(zhì)3三角形單元ijm的邊ij上，形函數(shù)滿足只要把下式代入形函數(shù)的表達(dá)式即可得到上式這個(gè)性質(zhì)可以用來證明單元的位移在邊界上是連續(xù)的！ijm形函數(shù)的性質(zhì)3三角形單元ijm的邊ij上，形函數(shù)滿足只要把23單元邊界位移連續(xù)的再次證明單元邊界位移連續(xù)的再次證明24面積坐標(biāo)面積坐標(biāo)25面積坐標(biāo)與形函數(shù)的關(guān)系ijmpDi面積坐標(biāo)與形函數(shù)的關(guān)系ijmpDi26面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系27關(guān)于面積坐標(biāo)的積分公式上述公式在單元的等效結(jié)點(diǎn)力計(jì)算時(shí)要用到關(guān)于面積坐標(biāo)的積分公式上述公式在單元的等效結(jié)點(diǎn)力計(jì)算時(shí)要用到28單元?jiǎng)偠染仃嘊是常數(shù)矩陣單元?jiǎng)偠染仃嘊是常數(shù)矩陣29分塊形式的單剛對于平面應(yīng)力分塊形式的單剛對于平面應(yīng)力30體積力的等效結(jié)點(diǎn)力所以體積力的等效結(jié)點(diǎn)力所以31自重的等效結(jié)點(diǎn)力自重的等效結(jié)點(diǎn)力32表面力的等效結(jié)點(diǎn)力表面力的等效結(jié)點(diǎn)力33線性分布的表面力線性分布的表面力34線性分布的表面力

在ij邊上形函數(shù)為所以ijmslDiDj線性分布的表面力在ij邊上形函數(shù)為所以ijmslDiDj35方向固定的分布力均布荷載：三角形分布荷載：方向固定的分布力均布荷載：三角形分布荷載：36熱應(yīng)力對于各向同性材料的平面應(yīng)力問題熱應(yīng)力對于各向同性材料的平面應(yīng)力問題37如果溫度為線性分布如果溫度為線性分布38矩形單元矩形單元39位移模式位移模式40局部坐標(biāo)xhxy(x0,y0)2b2a局部坐標(biāo)xhxy(x0,y0)2b2a41位移模式位移模式42矩陣形式

矩陣形式43應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣44應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣45單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?6單元位移的連續(xù)性單元位移的連續(xù)性47體積力的等效結(jié)點(diǎn)力體積力的等效結(jié)點(diǎn)力48自重的等效結(jié)點(diǎn)力自重的等效結(jié)點(diǎn)力49表面力表面力50線性分布的表面力線性分布的表面力51溫度荷載假設(shè)：得到溫度載荷的等效結(jié)點(diǎn)力為(平面應(yīng)力，各向同性)溫度荷載假設(shè)：得到溫度載荷的等效結(jié)點(diǎn)力為(平面應(yīng)力，各向同性52收斂準(zhǔn)則對于一個(gè)數(shù)值方法，我們總是希望隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)分，得到的解答收斂于問題的精確解。從上面分析中可以看出，在單元形狀確定以后，位移模式的選擇是關(guān)鍵。等效載荷的計(jì)算，剛度矩陣的建立和應(yīng)變應(yīng)力的計(jì)算等等，都依賴于位移模式。顯然，一個(gè)與真實(shí)位移分布有很大差別的位移模式，是很難得到很好的數(shù)值結(jié)果。位移模式包含單元的剛體位移

位移模式包含單元的常應(yīng)變

位移模式在單元內(nèi)連續(xù)，相鄰單元間協(xié)調(diào)

完備協(xié)調(diào)完備的協(xié)調(diào)單元保證有限元計(jì)算的收斂性收斂準(zhǔn)則對于一個(gè)數(shù)值方法，我們總是希望隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)分，得53位移模式的幾何各向同性位移模式的幾何各向同性54對稱性的利用對稱性的利用55應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的整理應(yīng)力在單元間不連續(xù)P(1)(2)(3)(4)應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的整理應(yīng)力在單元間不連續(xù)P(1)(2)(3)(456算例110MPa10MPa10MPa10MPa9cm6cmxy算例110MPa10MPa10MPa10MPa9cm6cmx57單元數(shù)量對計(jì)算結(jié)果的影響單元數(shù)量對計(jì)算結(jié)果的影響58單元形狀對計(jì)算結(jié)果的影響單元形狀對計(jì)算結(jié)果的影響59算例2算例260有限元模型III類圍巖有限元模型III類圍巖61襯砌附近的網(wǎng)格襯砌附近的網(wǎng)格62第四章平面問題有限元早期的研究是從彈性力學(xué)的平面問題開始的，對平面問題的研究使有限元的研究對象從離散體向連續(xù)體邁出了關(guān)鍵性的一步。第四章平面問題有限元早期的研究是從彈性力63兩類平面問題1、平面應(yīng)力問題xyz兩類平面問題1、平面應(yīng)力問題xyz642、平面應(yīng)變問題重力壩水壓力zxy2、平面應(yīng)變問題重力壩水壓力zxy65平面問題的基本物理量平面問題的基本物理量66彈性矩陣平面應(yīng)力：平面應(yīng)變：彈性矩陣平面應(yīng)力：平面應(yīng)變：67三角形單元三角形單元68單元結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移單元結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移69位移模式

代入結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和結(jié)點(diǎn)位移位移模式代入結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和結(jié)點(diǎn)位移70確定待定常數(shù)式中確定待定常數(shù)式中71(結(jié)構(gòu)分析的有限元法課件)第四章平面問題72(結(jié)構(gòu)分析的有限元法課件)第四章平面問題73(結(jié)構(gòu)分析的有限元法課件)第四章平面問題74(結(jié)構(gòu)分析的有限元法課件)第四章平面問題75用結(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移

表示成形函數(shù)的形式形函數(shù)的定義用結(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移表示成形函數(shù)的形式形函數(shù)的定76另外三個(gè)系數(shù)另外三個(gè)系數(shù)77矩陣形式表示矩陣形式表示78單元間位移的連續(xù)根據(jù)式(4.11)和(4.13)，在單元的邊界上位移是線性變化的，兩個(gè)相鄰的單元在其公共結(jié)點(diǎn)上具有相同的結(jié)點(diǎn)位移，因而在他們的公共邊界上，兩個(gè)單元將具有相同的位移，也就是說所選的位移函數(shù)保證了相鄰單元之間位移的連續(xù)性。單元間位移的連續(xù)根據(jù)式(4.11)和(4.179單元的應(yīng)變與B矩陣B是常數(shù)矩陣單元的應(yīng)變與B矩陣B是常數(shù)矩陣80單元應(yīng)力單元應(yīng)力81形函數(shù)的性質(zhì)和面積坐標(biāo)形函數(shù)的性質(zhì)和面積坐標(biāo)82形函數(shù)的性質(zhì)1形函數(shù)的性質(zhì)183形函數(shù)性質(zhì)2證明如下：002D形函數(shù)性質(zhì)2證明如下：002D84形函數(shù)的性質(zhì)3三角形單元ijm的邊ij上，形函數(shù)滿足只要把下式代入形函數(shù)的表達(dá)式即可得到上式這個(gè)性質(zhì)可以用來證明單元的位移在邊界上是連續(xù)的！ijm形函數(shù)的性質(zhì)3三角形單元ijm的邊ij上，形函數(shù)滿足只要把85單元邊界位移連續(xù)的再次證明單元邊界位移連續(xù)的再次證明86面積坐標(biāo)面積坐標(biāo)87面積坐標(biāo)與形函數(shù)的關(guān)系ijmpDi面積坐標(biāo)與形函數(shù)的關(guān)系ijmpDi88面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系89關(guān)于面積坐標(biāo)的積分公式上述公式在單元的等效結(jié)點(diǎn)力計(jì)算時(shí)要用到關(guān)于面積坐標(biāo)的積分公式上述公式在單元的等效結(jié)點(diǎn)力計(jì)算時(shí)要用到90單元?jiǎng)偠染仃嘊是常數(shù)矩陣單元?jiǎng)偠染仃嘊是常數(shù)矩陣91分塊形式的單剛對于平面應(yīng)力分塊形式的單剛對于平面應(yīng)力92體積力的等效結(jié)點(diǎn)力所以體積力的等效結(jié)點(diǎn)力所以93自重的等效結(jié)點(diǎn)力自重的等效結(jié)點(diǎn)力94表面力的等效結(jié)點(diǎn)力表面力的等效結(jié)點(diǎn)力95線性分布的表面力線性分布的表面力96線性分布的表面力

在ij邊上形函數(shù)為所以ijmslDiDj線性分布的表面力在ij邊上形函數(shù)為所以ijmslDiDj97方向固定的分布力均布荷載：三角形分布荷載：方向固定的分布力均布荷載：三角形分布荷載：98熱應(yīng)力對于各向同性材料的平面應(yīng)力問題熱應(yīng)力對于各向同性材料的平面應(yīng)力問題99如果溫度為線性分布如果溫度為線性分布100矩形單元矩形單元101位移模式位移模式102局部坐標(biāo)xhxy(x0,y0)2b2a局部坐標(biāo)xhxy(x0,y0)2b2a103位移模式位移模式104矩陣形式

矩陣形式105應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣106應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣107單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?08單元位移的連續(xù)性單元位移的連續(xù)性109體積力的等效結(jié)點(diǎn)力體積力的等效結(jié)點(diǎn)力110自重的等效結(jié)點(diǎn)力自重的等效結(jié)點(diǎn)力111表面力表面力112線性分布的表面力線性分布的表面力113溫度荷載假設(shè)：得到溫度載荷的等效結(jié)點(diǎn)力為(平面應(yīng)力，各向同性)溫度荷載假設(shè)：得到溫度載荷的等效結(jié)點(diǎn)力為(平面應(yīng)力，各向同性114收斂準(zhǔn)則對于一個(gè)數(shù)值方法，我們總是希望隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)分，得到的解答收斂于問題的精確解。從上面分析中可以看出，在單元形狀確定以后，位移模式的選擇是關(guān)鍵。等效載荷的計(jì)算，剛度矩陣的建立和應(yīng)變應(yīng)力的計(jì)算等等，都依賴于位移模式。顯然，一個(gè)與真實(shí)位移分布有很大差別的位移模式，是很難得到很好的數(shù)值結(jié)果。位移模式包含單元的剛體位移

位移模式包含單元的常應(yīng)變

位移模式在單元內(nèi)連續(xù)，相鄰單元間協(xié)調(diào)

完備協(xié)調(diào)完備的協(xié)調(diào)單元保證有限元計(jì)算的收斂性收斂準(zhǔn)則對于一個(gè)數(shù)值方法，我們總是希望隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)分，得115位移模式的幾何各向同性位移模式的幾何各向同性116對稱性的利用對稱性的利用117應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的整理應(yīng)力在單元間不連續(xù)P(1)(2)