量子場論講義

精品精品第一章預備知識§1粒子和場以現(xiàn)有的實驗水平，確認能夠以自由狀態(tài)存在的各種最小物質(zhì)，統(tǒng)稱為粒子。電子、光子、中子、質(zhì)子等是最早認識的一批粒子，陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了大量的粒子、介子和共振態(tài)，粒子的數(shù)目達數(shù)百種，它們是物質(zhì)存在的一種形式。場是物質(zhì)存在的另一種形式，這種形式主要特征在于場是彌散于全空間的，全空間充滿著各種不同的場，它們互相滲透和相互作用著。按量子場論觀點，每一種粒子對應一種場，場的激發(fā)表現(xiàn)為粒子的出現(xiàn)，不同激發(fā)態(tài)表現(xiàn)為粒子的數(shù)目和狀態(tài)不同，場的退激發(fā)，表現(xiàn)為粒子的湮沒。場的相互作用可以引起激發(fā)態(tài)的改變，表現(xiàn)為粒子的各種反應過程，也就是說場是物質(zhì)存在的更基本的形式，粒子只是場處于激發(fā)態(tài)時的表現(xiàn)。四種相互作用目前已確定的粒子之間的相互作用有四種，即在經(jīng)典物理中人們早已認識到了的引力相互作用和電磁相互作用，以及在原子核物理的研究中才逐步了解的強相互作用和弱相互作用。四種相互作用的比較見表1.1表1.1四種相互作用的比較作用強相互作用電磁作用弱作用引力作用強度0.150.00736.34x1O-io?5.90x10-39力程10-15OO10-1800媒介子介子膠子、【丄P兒JW+W-Z0粒子引力子？典型反應n+pYPvp電磁相互作用的強度是以精確結(jié)構(gòu)常數(shù)a==7.2973x10-3來4兀c137.036表征的，可以同時參與四種相互作用的粒子（例如質(zhì)子p）為代表，通過典型的反應過程的比較研究，確定各種作用強度的大小。粒子的屬性不同粒子有不同的內(nèi)稟屬性，這些屬性不因粒子產(chǎn)生的來源和運動狀態(tài)而改變。最重要的屬性有：質(zhì)量m，粒子的質(zhì)量是指靜止質(zhì)量，以能量為單位，它和能量E和動量P的關系為E2一p2c2=m2c4電量Q,粒子的電荷是量子化的，電荷的最小單位是質(zhì)子的電荷。自旋S,粒子的自旋為整數(shù)或半整數(shù)，如n介子的自旋為0,電子的自旋為1/2，矢量介子的自旋為1。平均壽命工，粒子從產(chǎn)生到衰變?yōu)槠渌Ｗ铀?jīng)歷的時間稱為粒子的壽命。由于粒子的壽命不是完全確定值，具一定的幾率分布，如果N0個相同粒子進行衰變，經(jīng)過時間t后還剩下N個，則N二Ne^，式中t即為粒子的平均壽命。0磁矩卩，指粒子的自旋磁矩卩。它與粒子的自旋S滿足關系：卩=g—S，2m式中e是粒子電荷，m為粒子質(zhì)量，g是數(shù)量因子。宇稱P，描述粒子在空間反演下的性質(zhì)的一個量子數(shù)。若在空間反演下(xT-X)，若粒子的態(tài)函數(shù)改變符號，此粒子具奇宇稱(P=—l)。若態(tài)函數(shù)保持不變，粒子具偶宇稱(P=l)。粒子的性質(zhì)，可查閱有關資料。例如：ParticleDataGroup編的ReviewofParticlePhysics,刊登于Plys.Lett.B592(2004)。粒子的分類可按多種方式對粒子分類。按參與相互作用的性質(zhì)，可分為三類：強子，既參與強相互作用，也參與弱相互作用。已發(fā)現(xiàn)的粒子大多數(shù)是強子，包括重子，介子。輕子，不參與強相互作用的粒子，有的參與電磁作用和弱作用，如電子和口子，有的只參與弱作用。規(guī)范玻色子，傳遞作用力的粒子，如Y，W+,W-，Z0。按輕子——夸克層次可分三類：按強子夸克結(jié)構(gòu)理論，強子不是“基本”粒子，強子是復合粒子，是若干個夸克構(gòu)成的復合體，夸克是構(gòu)成強子的組元粒子。夸克有6種：上夸克(u),下夸克(d)，奇異夸克(s)，粲夸克(c)，底夸克(b)和頂夸克(t)。按Gell_Mann&Zweig理論，夸克帶有分數(shù)電荷，理論上稱有“六味”夸克，其所帶電荷如下表：表1.2夸克的電荷味上u下d奇s粲c底b頂t電荷(e)2/3-1/3-1/32/3-1/32/3按此理論，強子不是粒子，而由夸克所構(gòu)成，例如質(zhì)子由u,u,d組成:

p—(uud),中子n—(udd),兀+=(ud),兀-=(du),d,u為反夸克，強^子不看作粒子后，按輕子—夸克將粒子分類為：規(guī)范玻色子，傳遞相互作用的粒子費米子，包括輕子和夸克Higss粒子，按弱電統(tǒng)一理論，應該有存在有自旋為0的Higss粒子，但實際上至今未發(fā)現(xiàn)。按此理論分類，有兩個實驗上未解決的問題，一是夸克禁閉，還找不到自由夸克，二是Higss粒子還未找到。按粒子的自旋分類.自旋s=0的粒子，稱標量粒子，如兀，k介子等自旋s—的粒子，稱旋量粒子，如電子e、質(zhì)子p等2自旋s—1的粒子，稱為矢量粒子，如m主0的JQ粒子，m=0的光子。高自旋粒子。這種分類，方便場方程的研究?！?自然單位制物理學中確定單位制的通常做法是，依據(jù)研究對象，為研究方便，選取幾個相互獨立的物理量及其單位作為基本單位，其它物理量和單位則根據(jù)基本物理量及公式來表示，這些導出的單位稱為導出量和導出單位。在微觀高速現(xiàn)象的研究中，涉及的物理量有：長度、質(zhì)量、時間、電荷和溫度。為減少獨立的基本物理量的數(shù)目，利用庫侖定律并規(guī)定真空的介電常數(shù)為無量綱的數(shù)1來定義電荷，使電荷不再是基本物理量。為進一步減少獨立的量綱，注意到，在微觀高速領域，有三個重要的量：量綱dimC—LT-1量纟岡dimk量綱dimC—LT-1量纟岡dimk—EK-1量綱dim力—ET玻爾茲曼常數(shù)：k—1.3806505(24)x10-23Jk-1—8.617343(15)x10-5evk-1h普朗克常數(shù)：力—―—1.05457168(18)x10-34J?s2?！?.58211915(56)x10-22Mev-s(數(shù)據(jù)來自Pyhs?LettB592.91(2004)).建立一個在微觀鄰域應用方便的新單位制，規(guī)定這三個量的值為無量綱的1，即c=1,=1,k=1這樣在這一單位制中，量綱關系為:dimc=1

dimk=1dimh=1E=T-1即E=K=T-i=L，只剩一個獨立的量綱。這一個獨立的量綱可以選作能量、時間、長度或其它任何一種有量綱的物理量，這一單位制稱為自然單位制。在量子場論中，應用自然單位制，選能量為基本量綱，基本單位為Mev或Gev.應用上，物理公式中的三個量力、c、k都取為1。相對論能量動量關系.E2=P2C2+M2C4即為E2=P2+M2。方程的簡化，給計算過程帶來方便。當然在實際應用中，還是要用到實際單位制的。因為物理方程中的各項，都必須具有相同的量綱，將自然單位制方程中的各項乘上三個量（或兩個量）的冪次積，由各項必須具有相同量綱決定冪次數(shù)值，即可將自然單位制的方程還原為實用單位制的方程。例如：在自然單位制中Klein一Kordon方程為C-2方acP-m2加C§畔=(C-2方acP-m2加C§T-2屮代入力c的量綱，求得a=0B=2丫=-24，則方程返回為實用制的方程。m2c2d2p(x)m2c2dt2§3狹義相對論相對論的基本原理相對論的基本原理是：（a）相對性原理。所有慣性參考系都是等價的。物理規(guī)律對于所有慣性參考系都可以表為相同的形式。（b）光速不變原理。真空中的光速對于任何慣性系沿任一方向恒為C,并且與光源運動無關這兩個原理說明時間和空間是運動著的物質(zhì)存在的形式，時間和空間是不可分割的，打破了絕對的時空觀念。三維空間和一維時間應該構(gòu)成一個統(tǒng)一體一一四維時空。

在四維時空中，任意事件定義為：x=(x,x,x,x)=(x,y,z,ict)卩1234而事件的間隔定義為：S2=c2At2一(Ax2+Ay2+Az2)S2=一Ax-Ax在坐標系E和相對E運動速度為v的坐標系Z'中，具有間隔不變性,Ax'-Ax'=Ax-Ax兩坐標系之間作坐標變換x'=ax(1.1a)卩|1VV依間隔不變性，變換矩陣元滿足關系aa=6(1.1b)jia卩卩ap當兩坐標系的X軸和X「軸沿Z'相對于刀的運動方向時,Lorentz變換的矩陣是:1.2)iV式中引入符ax)=v，ax)=v，-iataa=V2-at2四維時空中的協(xié)變量(1.3a)四維時空中，在Lorentz變換下，滿足變換規(guī)律:(1.3a)S'=S的物理量，即變換下不變的量S,稱為Lorentz標量。滿足變換規(guī)律V'=aV(1.3b)卩|1VV的物理量，即在坐標系變換下與坐標有相同變換關系的具有四個分量的量，稱為四維矢量。滿足變換規(guī)律F=aaF(1.3c)|1V卩九VTXt的物理量，稱為四維二階張量。這些在Lorentz變換下有確定變換性質(zhì)的量稱為協(xié)變量。相對論要求，在不同慣性系中，物理規(guī)律應該有相同的形式，即在參考系變換下，方程形式不變，這一性質(zhì)稱為協(xié)變性。構(gòu)建協(xié)變量,組建協(xié)變方程,驗證了Maxwell方程組的協(xié)變性，證明Maxwell方程是符合相對論要求的。構(gòu)建協(xié)變量，組建協(xié)變方程，改造了不符合相對論要求的經(jīng)典力學，發(fā)現(xiàn)了符合高速運動規(guī)律的運動定律，這是理論工作的重大成就。四維能量—動量矢量p=(p?-E)(1.4)卩?c是協(xié)變量。兩個協(xié)變矢量的標積是不變量。因為A'B'=aAaB=AB卩?卩jia?a叩?卩a?a式中對相同指標作求和運算，這一運算稱為指標的縮并。作pp的標積，構(gòu)成的不變量：iipp=IPI2-—=不變量11c2當p=0,W=me2，推導的關系式E2-p2c2=m2c4(1.5a)即E2-p2=m2(1.5b)這是關于物體的能量、動量和質(zhì)量的一個重要關系式?！?量子力學一維諧振子1．量子力學的假定描述微觀粒子運動規(guī)律的量子力學是基于下列假定的微觀體系的狀態(tài)可由一個波函數(shù)屮(X，J完全描述。例如，在時刻t，在坐標x—x+dx,yfy+dy,z_z+dz的無限小區(qū)域dt內(nèi)找到子的幾率為：dwc是比例系數(shù)。力學量用厄密算符表示。經(jīng)典力學中的力學量(C數(shù))在量子力學中用表示這個力學量的算符(Q數(shù))表示。如能量E和動量p，對應算符是：6TOC\o"1-5"\h\zET滴—,pt—i力V(1.6)6t算符滿足一定對易關系，如：[p,q]=ihbijij[p,p]=0[q,q]=0(1.7)ijij對易關系就是量子化規(guī)則。體系狀態(tài)滿足薛定格方程6H屮=E屮,i屮=H屮(1.8)6t體系的波函數(shù)屮(X,t)可以用算符的本征函數(shù)申(X,t)作展開：\o"CurrentDocument"屮(x,t)=YC申(X,t)(1.9)nnn體系滿足泡利原理。動力系的量子化，就是將體系的力學量變?yōu)槎蛎芩惴⑺惴倪\動方程和對易關系。在量子力學中可以用薛定格表像或海森伯表像對體系進行量子化。一維諧振子的量子化在經(jīng)典力學中，線形諧振子的運動方程是精品精品?2?2精品mX二-kx拉格朗日量是：11L=—m(x)2-kx222mX二-kx拉格朗日量是：11L=—m(x)2-kx222哈密頓量為：?1H二xX-L=(p2+m2X2?2)2m(1.10)(1.11)(1.12)現(xiàn)將線形諧振子量子化，把x,p作為算符，作替代xTx，PT一2.運動方程—》—》H屮(x,t)=E屮(x,t)(1.13)2d21TT(—m?2x)屮(x,t)=—EV(x,t)2mdx22引入對易關系：x,p=isij(1.14)ijx,x]=「p,pijij這就完成了線形諧振子在坐標空間中的量子化?，F(xiàn)引入一個新表象作處理，用算符a和a+代替p，x，令

1?a=(p—i?mx)2m?a+=(p+i?mx)x/2m?(1.15)(1.16a)(1.16b)容易證明：［a,a+］二11.17)(1.18a)［a,a］二［a+,a+］二01.17)(1.18a)H1a+a=———1.18b)式中N=a+a(1.19)則諧振子的量子化問題轉(zhuǎn)變成為對算符N的本征態(tài)求解問題。本征方程是Nn>=n|n>(1.20)n〉是算符N的本征態(tài)。方程(1.20)和對易關系(1.17)完成了在新表象中對諧振子的量子化。這一表象稱為占有數(shù)表象。量子力學中已證明：、N厄密正定，N+=N,n>0、a+和a分別稱為產(chǎn)生算符和湮滅算符。當m為正整數(shù)時，Nan>=(n—1)a|n>，Namn>=(n一m)am|n>(1.21a)Na+n>=(n+1)a+|n>,Na+mn>=(n+m)a+m|n>(1.21b)式中：am或a+m表m次作用a或a+。由(1.21)式知，若|n>是N的本征矢。那么a|n>，a+\n>也是N的本征矢，且aln>?ln-1>.a+1n>~In+1>，每作用一次a或a+，本征矢減少或增加一級.所以，a+和a分別稱為產(chǎn)生算符和湮滅算符.、n為整數(shù).、記最低能態(tài)為|0>，且<0|0>=1.有：a|0>=0(1.22)|n>=丄a+n|0>(1.23)n!這些是一維諧振子量子化的主要結(jié)果。§5Lorentz變換Lorentz變換兩慣性坐標系之間的時空變換中，使間隔s2保持不變的變換稱為Lorentz變換，即要求

dx'dx'=dxdxuuVV由dx'dx'dx'dx'=udxudx=dxdxuudxadxpVVa卩顯然有：dx'dx'u亠=6(1.21)dxdxapap式中5為Kronecker符號。這是Lorentz變換的正交條件。|!V慣性系的概念本身要求從一個慣性坐標系到另一個慣性坐標系的時空變換必須是線形的，即x'=a+ax或X'=AXuuuVV式中A為變換矩陣，a為A的矩陣元，不考慮平移則變換應是齊次的：uVx'=ax(1.22)uuVV正交變換條件(1.21)變?yōu)閍a=5(1.23)uaupap令At代表變換矩陣的轉(zhuǎn)置，則(1.23)可寫為aT?a=5auupapAt?A=I(1.24)記A的行列式IA1=detA，依據(jù)IAB1=1AI?IBI有detAtA=detAt?detA=detI=11.25)而detAt=detA，故有(detA)2=1，即1.25)detA=±1利用aa=1，有u4u4a2=1一工aa=1+I工aaI>144i4i4i4i4i=1a<-1，或a>+1(1.26)4444由(1.25)和(1.26)式，可將Lorentz變換作如下分類：表1.3Lorentz變換的分類detAa44類別性質(zhì)+1>1E連續(xù)+1<-1R分立-1>1P分立-1<-1T分立DetA=1,a>+1的E類變換稱為正Lorentz變換，detA二±1，a>+1的E4444和P變換，稱為完全Lorentz變換。例：(a)恒等變換條件是：fX—Xp變換矩陣為11000A0100A=0010(0001丿detA=+1，a>+1，屬于E類，是連續(xù)變換。44b)空間反演變換條件是：X'二-X，t'=t變換矩陣為1-100-1000A0A=00-10、0001丿detA=-1,aA>0，屬于P類，是分立變換。44時間反演變換條件是：X'二X，t'=-t變換矩陣為/1000、0100A=0010、000-1丿detA=-l,a<0，屬于T類，是分立變換。44d）時間空間聯(lián)合反演變換條件是：X'二—X,t'=-t變換矩陣為r—1000、A=0—10000—101000-1丿detA=1,a<0，屬于R類，是分立變換。442.無窮小變換在恒等變換鄰域作無窮小變換a=5+s|1V|1V式中s是無窮小量，將上式代入正交條件（1.23）式知s=—sjivvp(1.27)(1,28)s是反對稱的。因為detA=+1，a>+1，屬于E類，是連續(xù)變換。iv44變換式（1，27）可寫為矩陣形式A=I+-sJ（1,29）2iviv由s的反對稱性，可將s改寫為ivivsiv11—(s—s)=—s(55—55)2pvvp2郵pavPvai卩=1s(J)2aPpvaP式中(J)=—i(55—55)pvaPpavPvapP(1.30)J是4x4矩陣，（1.30）是它的（a,p）矩陣元的表示，例如（J）=-i，pv1212(J)=—i等，有:2323ro-i00「r0000]i000J=00-i0o000230i00<0000丿<0000丿0-iJ120)r0J31(1.31)J也可表為J|!V-E)VP(1.32)式中E是除矩陣元(卩,VJ31(1.31)J也可表為J|!V-E)VP(1.32)式中E是除矩陣元(卩,V)為1之外，其余為0的矩陣?可見,|!V是三度空間角動量矩陣的四度時空推廣．J滿足對易關系：v(1.33)若令iVpaJ=18JipVaVaipiaVp，K=Ji4ii2ijkk式中r+1若ijk是1,2,3的一個偶排列8=r0其它情況ijk；-1若ijk是1,2,3的一個奇排列則有對易關系：,JL-iJ5+J5—J5—J51Vpjia(1.34),J1=泥Jij1ijkk,K=泥Kij1ijkk:,K=-ieJij(1.35)ijkk3．有限變換對于無窮小變換+丄82若作連續(xù)的有限多次N的無窮小變換，即A(b)=A(8)A(8)A(8)A(8)=A(胡N稱有限變換。令：b=N?￡IVIV???A(*)=|1V|1V由于A(b)=仁ib由于A(b)=仁ib)N1+y^-sI2Nyv丿依公式有l(wèi)im1+一=exA(b)=lim1+NsA(b)=lim1+Ns\1ibsN2yvyv丿n—e2byvsyv即有限變換的生成元s與無窮小變換的生成元相同，只是結(jié)構(gòu)常數(shù)不同。因而yv有限變換的性質(zhì)可用無窮小變換作研究，這給處理問題帶來方便。場量的變換設場物理量由申(x,t)描述，當時空作Lorentz變換時，X'=AX場函數(shù)也可能改變，設場量的變換矩陣為人(A).即0(Xt')=A(A)申(元,t)(1.36)A(A)依賴于變換矩陣A。對于無窮小變換A—1+上￡s2yvyv可將A(A)按％展開QAA(A)—QAA(A)—1+-比yv￡+O(￡2)+????yvyv￡略去咼階無窮小，A可表示為A(A)—1+-1?￡2yvyvyv=0(1.37)(1.37)(1.38a)場量的改變是8^(x)=0(x')-0(x)—I?￡-0(x)2yvyv場量的改變也可表為80(x)=0'(x')-0(x')+0(x')-0(x)=80+800x式中80(x)=0'(x)-0(x)0

6p(x)=Q(x')-p(x)=dp(x)6xx卩(1.38b)6p腳標p表示坐標不變，場函數(shù)改變(在某點場函數(shù)的變化)，6p腳標x表示(1.38b)px場函數(shù)不變，坐標改變。將6p定義為場的主動變換，它著重于場量p(x)的泛p函變化。從(1.37)及(1.38b)知，主動變換可表為6p=&p-0p6xpmm(1.39)由于X'=AX或x'=x+6x有x=A-ix'=A-i(x+6x)=A-1x+6x(1.39)則p'(x')=Ap(x)=Ap(A-ix')即p'(x)=Ap(A-ix)=Ap(x-6x)=A[p(x)一如"兀)6x]Qxmm結(jié)合(1.38)式，主動變換可表為：6p(x)=A[p(x)-Qp*6x]-p(x,t)(1.40)pmm它與場的變換算子有關，不同的場的主動變換因場變換算子A不同而異。笫二章相對論性的自由場§1克萊因-戈登(Klein-Gordon)方程克萊因-戈登方程薛定諤方程中，粒子的動量和能量滿足的是經(jīng)典力學的關系，因而薛定諤方程是非相對論性的，為了建立滿足相對論要求的粒子運動方程，顯然應從相對論性的能量動量關系出發(fā)。在自然單位制中，相對論性的能量動量關系是E2一P2=m2(2.1)將力學量過渡到量子算符d?E=i—PtiVdt則(2.1)式化為—2-——+V2-m2=0(2.2)—t2將此式作用于波函數(shù)申(X,t)，得

注意到02-(V注意到02-(V2一)9(x,t)=m2申0t2d2ddV2—==00St20x0x□□則(2.3)式化為(dd-m2)p(x,t)=0(2.3)(2.4a)(2.4b)(2.4)式稱為克萊因-戈登方程。因僅有一個波函數(shù)9(X,t)，適用于自旋為零的標□量粒子。?克萊因-戈登方程有平面波形式的解：9(X,t)?"(P'X-已七)E滿足(2.1)式，即能量為E二土\；'p2+m2(2.5)對有確定動量的粒子，能量有正、負能兩個解。對于自由粒子，可定義物理態(tài)處于正能態(tài)，負能態(tài)可以不考慮，但存在相互作用時，能量有躍遷，沒有理由不考慮負能解，這給問題帶來困難。由常規(guī)方法易知，由(2.4)式可得連續(xù)性方程;0j=0(2.6)式中j=—i(09**9—9**09)(2.7)若將j表示為j=(j,ip)j的空間分量j和時間分量P可表示為(2.8b)j=i[V9**9—9**V9](2.8a)(2.8b)p=—i[9**9—9**9]

注意到，H^=E申,即i—^=E申，能量的本征態(tài)滿足icp=E申及ftp，-E?,因dt而有p=2Ep*-p如果把P解釋為粒子出現(xiàn)的幾率。當能量是負值時，P為負，出現(xiàn)負幾率，這是無法解釋的。顯然，不能將克萊因-戈登方程看作是描述一個微觀粒子運動的方程。當將克萊因-戈登方程作為標量場方程并進行量子化以后，j和P解釋為電流密度和電荷，負幾率的問題不再存在。Lorentz不變性為滿足相對性原理要求，表示物理規(guī)律的運動方程應該是Lorentz協(xié)變的,即在參考系變換下，運動方程的形式應該保持不變。(2.9)在Lorentz變換(2.9)x'=ax卩|1VV下，設波函數(shù)p(x)變換為p'(x')=Ap(x)(2.10)在(2.9)變換下，易知d'd'=dd則克萊因-戈登方程變換為(d'd'-m2)Ap'(x')=0(2.11)如果A=1，則(2.11)式寫為(d'd'一m2)p'(x')=0與變換前的克萊因-戈登方程形式一致，說明克萊因-戈登方程具有Lorentz協(xié)變性，且p'(x')=p(x)(2.12)即變換后p(x)不變，波函數(shù)是Lorentz標量?，F(xiàn)在計算p(x)的主動變換，由主動變換表式(1.40)式5p(x)=A[p(x)-dp-5x]-p(x,t)pmm

因為A=1，有6=-dxd*對無窮小變換x=(6+s)x=x+6xTOC\o"1-5"\h\z卩|1VV卩6x=sx=(s-s)x卩pvV2MVVRV因為式中所以—6xQ*=—因為式中所以—6xQ*=—(sMM2MV—s)xQ*=—VMVM1s2MV(xQVM—xQ)9=-sL申

pv2RVwvLwV(xQpVVp—xQ)pV(2.13)69=—sL9(2.13)92pVwV主動變換與軌道角動量L有關。wV§2狄拉克（Dirac）方程克萊因-戈登方程利用相對論的能量動量關系，建立的相對論性粒子運動方程，出現(xiàn)了負能和負幾率的困難。困難的根源在于（2.1）式作算符替代后，方程含有對時間的二階微商。能否既利用相對論的能動量關系式，而又保持對時間的一階微商，避免出現(xiàn)負能呢？Dirac方程做到了這一點。Dirac方程從質(zhì)量能量動量關系式（2.1）看到，能量應是質(zhì)量和動量的函數(shù)。因而將H用m和p展開為.H=dc-p+卩m（2.14）式中係數(shù)a（i=1，2,3）和0是四個與（x,t）無關與量綱無關的常數(shù)。i將（2.14）過渡到算符，且作用于波函數(shù)屮（x,t）上，得Q（d-v+—+im卩）屮（x,t）=0（2.15）

顯然，這是對時間一階微分的符合相對性原理的方程，這就是Dirac方程。問題是&和卩存不存在，如果存在，共有什么性質(zhì)。因為要求H是厄密算符，因而要求&和卩也是厄密算符a*，卩*=卩(2.16)將(2.14)代入(2.1)式，兩邊展開，并比較式中m和p的係數(shù)，可知算符a和卩應滿足條件i{a,a}_25ijij(2.17a){a,B}_0i(2.17b)B2_1(2.17c)式中{a,b}_AB+BA是A,B的反對易關系式，(2.17)式表明a2_1B2_1i(i_1，2，3)(2.17d)(2.16)和(2.17)是a和卩的代數(shù)性質(zhì)?？梢宰C明，a和卩是維數(shù)至少是4的4X4矩陣。在Dirac表象中，它們被取為下列形式(2.18)_(10)(2.18)乙01,式中I為2x2單位矩陣，0為2x2零矩陣。o是泡利矩陣:—f—f01)f0-i)f10)a_a_a_1I10丿2J0丿3<0一1(2.19)易于驗證(2.18)式滿足(2.17)的條件，說明a和卩是存在的。因為a和卩為4X4矩陣，要求方程(2.5)的波函數(shù)為4個元素的列矩陣，即(2.15)可分解為4個方程。TOC\o"1-5"\h\zd^4ddQ、\o"CurrentDocument"一屮_X(a+a+a)屮

dto1Qx2Qx3QxTT_1123ox(2.20)(o_1，2，3，4)(2.20)可以證明，屮的所有4個分量屮都滿足Klein-Gordon方程。Dirac方程的協(xié)變形式丫矩陣將-i卩左乘Dirac方程(2.15)式，得到(-/Pd-V+P一+m)屮(X,t)=06x4定義Y矩陣為Y二iPdY4二卩(2.21)r和P構(gòu)成丫矩陣丫=er,y)，則上式化為卩4(Yd+m)屮(x,t)=0.(2.22)這就是協(xié)變形式的Dirac方程。由d和P?的代數(shù)性質(zhì)，易知Y矩陣具有下列性質(zhì){Y,Y}=25卩V(IV(?,V=1,2,3,4)(2.23a)Y+=Y(2.23b)定義Y=YYYY51234(2.23c)則：Y+=YY2=1555{Y5,S=0(2.23d)(2.23)式是y矩陣的代數(shù)性質(zhì)對協(xié)變形式的Dirac方程(2.22)取厄米共軛，得：屮+(Y6*+m)=0式中6*=(V,-6),6表示對左邊的屮+作微分，上式右乘y得

44屮+(Y6*+m)Y=0TOC\o"1-5"\h\z卩4由于YY6*=Y-Y-V-Y-Y-66=-Y-YV6-Y-Y-66=-YY-66卩4444444444□卩上式改寫為「

(2.24)屮(Yd-m)=0(2.24)式中(2.25)屮定義為共軛旋量，（1,24）稱為Dirac方程的共軛方程，由Dirac方程和它的共軛方程，按常規(guī)做法，可得到守恒定律式中dj=式中dj=0j=iV(x)Y屮(x)2.26a)(2.26b)令j=（j,j）,且j=ip則密度為：44p=V~Y屮二屮叩（2.26c）V這一密度是正定的，負幾率問題不再出現(xiàn)，這一結(jié)果，似乎支持了P作為幾率密度的解釋。實際上，在場的量子化理論中，P作為荷密度，並不要求P的正定性?？勺C明，Y評Y5可構(gòu)成16個線性獨立的矩陣:I（4x4單位矩陣）Y□G|LIV二2(YY2i-YVY)屮主—1,2,3.4)(2.27)Y5iYY5它們有性質(zhì)：r2二1(t二1,2,3,,16)1,28)t1,28)Trr=0(單位矩陣T門二4tdetr二1Lorentz不變性在Lorentz變換x'=ax下，設旋量波函數(shù)2（x）作變換屮'(X)=A(a)=屮(x)設變換后屮'G‘)滿足的方程與原方程相同(d'+mM(x')=0由于2，29)dddxd==u=apdXdxdX中ddxU=adpvV則(2，29)式化為：(a*y*d+m)Av(x)=0pvpv左邊乘上A-1,有(A-iayAd+mpUpUA-1ayA=y

pvpv則上式與原坐標系中的Dirac方程相同，(2,30a)可化為:A-1yA=ay

ppUp即在此條件下，Dirac方程保持Lorentz不變性。對無窮小變換，令：a=8+￡pUpUpUA=1+-￡Z2pUpU2，30a)2，30b)(2.31a)相應有：A-1=1-i￡E2pUpU2，31b)將變換算子(2.31a,b)代入條件(2.30b)可得:；[丫，￡Y]2匚paPa卩」=￡?ypUU8-r=8-8卩卩卩a卩ya=8ryaP=8ryaP-Sr,S"yaP由此式可解得：工=—「r,ryv4iLyv」丫稱為自旋張量，由此變換算子化為aP2，32)對主動變換，將(1，33)及8x=-i8L代入(1.40)對主動變換，將(1，33)yyuyu的主動變換為/)3(x)+；8L屮(x))—屮(x)4yuyu2aPaP2，33)=；8J屮(x)2，33)2yuyu式中J=L+-c是Dirac粒子的總角動量，包括軌道角動量L和內(nèi)稟自yuyu2yuyu旋動量張量c。yu§3自旋為1的有質(zhì)量矢量場克萊因-戈登方程用一個波函數(shù)描述自旋為s=0的中性標量場，自旋為s=1/2的粒子，正反粒子共有4個物理態(tài)，用4分量旋量屮(x)滿足的Dirac方程描述，對于S=1的粒子，正反粒子共6個物理態(tài)，顯然需要6個波函數(shù)的方程描述，因此，我們設法尋找6個波函數(shù)的方程描述自旋為1的有質(zhì)量矢量場。1.有質(zhì)量矢量場的場方程：設有全對稱的雙旋量屮二屮，屮T=屮aPPa滿足方程

(丫Q+m)屮=0卩卩aa'a'p(YQ+m)屮二0(2.34)卩卩PP'ap'若將二階對稱的張量屮q寫成4X4的矩陣屮(x),則矢量場的波函數(shù)2滿足aP方程(YQ+m)屮(x)=0(2.35a)由于屮T=屮，則有：屮(YTQ+m)=0(2.35b)定義一個C算子滿足：C-1YC=-YT(2.36)C算子具有性質(zhì)：C+=C-1(2.37)2.38a)2.38b)CT=(2.37)2.38a)2.38b)則(2.35b)式可寫為：2(C-1YCQ-m)=0即2C-1(YQ-m)=0由(2.35a)有CQ+mhC-i=0現(xiàn)在，我們將2C-1按16個獨立矩陣展開:屮C-1=S(x)I+imA(x)Y+—Fc+p(x)Y+B(x)YY(2.39)卩卩2yvyv5卩5卩利用屮T=v，及矩陣C的(2.36)和(2.37)式，可以證明上式僅存在丫和a兩項：屮C-1=imA(x)Y+-Fa(2.40)卩卩2I^V而且，F(xiàn)二一FTOC\o"1-5"\h\z|1Vvp將(2.40)代入(2.1。35)有：m(dA-dA+F)a+2i(dF+m2A)y二0VppVpVpVVpVp由于a和Y線性獨立，令a和Y的待數(shù)等于零，則得聯(lián)立方程：pVppVVF=dA-dA(2.41a)pVpVVpdF=m2A(2.41b)ppVV這一組方程稱為Froca方程。將(2.41a)代入(2.41b)得ddA-ddA=m2A(2.42)\o"CurrentDocument"ppVpVpV作用a有Vaa(aA-aA)=m2aAppVVVVVV由于m主0，則有條件aA=0VV聯(lián)合(2.42)有：aaA=m2A(2.43a)ppVVaA=0(2.43b)pp前一式運動方程，后一式是條件。方程組(2.41)或方程組(2.43)即為矢量場方程組。

(2.44a)(2.44b)若定義：(2.44a)(2.44b)A=(A,祁)□(F=sB,F=-iE)F=ijijkki4i世IF=iE,F=04iig即以矢勢A和標勢申及場量B、E定義A和F，則矢量場方程可以寫為:B=VxAE=-Vy-色atVxB一=-m2申?atVE=-m2p_(2.45)—>顯然，后兩式含時間導數(shù)，是真正的運動方程。注意到當m=0，(2.41)方程化為電磁場方程。F=aA-aA|1VVV卩aF=0(2.46a)卩pv方程(2.43)中m=0時化為aaA=0卩卩、aA=0(2.46b)pp也是熟知的電磁場方程，但是方程(2.43)是在m豐0的條件下推導的，顯然不能以m=0為條件從方程(2.43)得出電磁場方程。我們可以利用電磁場的規(guī)范不變性從(2.46a)導出(2.46b)。由(2.46a)aF=aaA-aaAppvppVpVp=aaa-a兀=oppvp式中x=aa設場量a作下列變換ppA=A+aB(x)ppp式中B(x)是任意函數(shù)，則有dF=ddA+ddB=0卩p*卩卩*卩卩卩由于B(x)是任意函數(shù)，可選取B(x)滿足ddB-d%=0ppp及aab二opp則有aaa=opp*及條件aa=opp即為在Lorentz條件下的電磁場方程(2.46b)Lorentz不變性與Dirac方程協(xié)變性的討論相同,在變換x'二axpp**下，設A'(xJ=A(x)，而A氣x')二AA(x)(2.47)假定變換之后方程組不變:(a'a'一m2)a(xr)=oppa'a'(x')=o**由于aa=aa,a=aapppp**gg上式即為:(aa-m2)AA(x)=0pp*ggaAaA=0vpgp若A=a,由aa=6有*p*p*g*pgp(aa-m2)A(x)=0pp*aA=0**與原方程組相同.而變換不變的條件是:A=a,A=A.(2.48)p*p*矢量場的變換規(guī)律與坐標變換規(guī)律相同。對無窮小變換:a=5+—8(S)yvpv2切切卩V則A/(x/)=(5+i8(S))A(x)yyv2切切卩vv將Ay看作列矢量，有yA/(x/)=(1+-8S)A(x)2yvyv對矢量場A(x)的變換A/(x/)=A(x)+-8SA(x)(2.49)2ijij式中S是三個自旋矩陣ij‘0-10、‘001、'000'S=100，S=000，S=00-1123123衛(wèi)00丿100丿衛(wèi)10丿現(xiàn)在計算A(x)的主動變換，依(2.48)式的A代入(1.40)有5A=(1+1-8S)(A(x)—5x6A(x))-A(x)A2yvyvyy=(1+-8S)(A(x)+-8LA(x))-A(x)2yvyv2yvyv=-8(L+S)A(x)2yvyvy=-8JA(x).(2.50)2yvyv式中J二L+S是總角動量，如同Dirac場一樣，包含有自旋項。這里S是yvyvyv自旋為I的自旋張量?！?場的正則描述不同自旋的自由粒子分別用Klein一Gordon方程、Dirac方和Proca方程等微分方程作描述。為了討論自由場的普遍特性，應該從描述任意系統(tǒng)運動規(guī)律的基本原理，即最小作用量原理出發(fā)，將各種場的描述納入統(tǒng)一的形式。

最小作用量原理一個力學系統(tǒng)的廣義坐標取為q=q(t)，廣義速度是q(t)。拉格朗日函數(shù)L(或稱拉格朗日量，簡稱拉氏量)是廣義坐標q，廣義速度q的函數(shù)：L=L(q(t),q(t))(2.51)系統(tǒng)的作用量定義為：S=112L(q,q)dtt1(2.52)一個物理系統(tǒng)實際發(fā)生的運動狀態(tài)是所對應的作用量具有最小值的狀態(tài)，這就是最小作用量原理,即：5S二階L(q,q)dt二0t(2.53)t1根據(jù)這一原理，可導出Euler一Lagrange方程叫-1(色)=0dqdtQq(2.54)對多粒子體系L(t)二L(q(t),q(t)…q(t),q(t)…q(t),q(t))11iinn對應Euler一Lagrange方程為QLdQL(i12)()一0(1=1，2，n)QqdtQqii(2.55)從Euler一Lagrange方程可以過度到哈密頓方程。定義正則動量：p-|^Qq(t)(2.56)哈密頓量：H(q,p)一Ypq一Lii(2.57)從Euler一Lagrange方程可以推得哈密頓方程QHp一Qq(2.58a)

6Hd6Hdp2.58b)系統(tǒng)運動既可以用Euler一Lagrange方程，也可以用Hamilton方程描述。2．場經(jīng)典的拉格朗日方程場是物質(zhì)存在的形式之一，它有粒子所具有的質(zhì)量、線量、動量等性質(zhì)，但它是充滿全空間，沒有不可入性，是一個有無窮自由度的動力學體系。把拉格朗日形式應用於場，關健是如何把經(jīng)典力學的拉氏形式推廣到具有無窮多自由度的系統(tǒng)的場。為便于與經(jīng)典力學對比，我們可以把場分為無窮多個但可數(shù)的小格，把場看作有無窮多但可數(shù)自由度的動力系。對于每個小格，認為是一個“實物”，寫出它的拉格朗日方程。為此，選場量是申(x,t)作為場的廣義坐標，對于第i個小格AV，場的廣義i坐標申(t)取為場量申(x)在這小格中的平均值i2.59a)2.59b)P(t)=丄fp(x,t)d3x2.59a)2.59b)iAViAVi對應的廣義速度是：P(t)=Av(x，t)d3xiAViAvi將Eular-Lagrange方程用于這個小格希號希)二0(i=1,2,?…n)(2-60)i為描述場的運動，分立形式的方程必須取nTa的連續(xù)極限，為此，我們引進泛函的概念。泛函F[p(x)]是以函數(shù)p(x)為宗量的函數(shù)，其值不依賴于p(x)在某點x之值,而依賴于p(x)在整個定義域之值。若p(x)在每一點有變分5p，則泛函F[p(x)]的變分是5F叩(X)]=F叩(X)+剛—F叩(X)]式中，需定義為砸]式中，需定義為砸]對于申在點x之值的泛函導數(shù)。2.61)按(2.61)式，若F叩(X)]=申(X)，則切(X)(X')d3X'對比5函數(shù)的性質(zhì)知5(X5(X-X')=5仇X)5申(X')2.62)對于兩個函數(shù)的泛函，例如拉氏量Lg,cp)，我們有伽，P)J伽，P)J船切(X)+5L5p(X)5p(X))d3x(2.63a)另一方面，在分立記號中有5帥,pQ(釜叫i5帥,pQ(釜叫iii二工(丄亙5Vdpiii1dL5p+—i5Vdpii5p)5Vii(2.63b)令(2.63a)等同于(2.63b)式的連續(xù)極限，由于在不同點的變分互相獨立，可得到：5L5p(X,t5L5p(X,t)=lim5vtoi1dL5Vdp(t)ii5L5p(X,t)=lim5Vtoi1dL5Vdp(t)i2.64)其中X位于第i個小格中。將(2.60)公式作

lim丄(丄-d亠—0

葉°Qp/)dtQp“)利用(2.64)lim丄(丄-d亠—0

葉°Qp/)dtQp“)利用(2.64)式得場的Eular-Lagrange方程aLaaL-、.-)—0ap(x,t)atap(x,t)(2.65)這是拉氏量L?,(p)滿足的方程。引入拉氏密度函數(shù)作進一步的研究，定義：L=JLd3x(2.66)L是拉氏函數(shù)密度，注意L是p(x,t),p(x,t)的泛函，考慮到作為協(xié)變量也應與Vp(x,t)有關，所以L應為p和ap的泛函L(p,Qp),這樣作用量為：s=JL(p,Qp)d4x由最小作用原理Jd4x^^5p+faL5apaap"由于x不變5(ap)—a5p上式化為

""aL_5(ap)]=0丿aLaLapaL])5p+a(=—5p)=0"aap汀丿上式最后一項利用四維高斯定理出QQp積分為0,并考慮積分區(qū)域的任意性,所以導(2.67)Qp-aQp"、(2.67)這就是用拉氏密度函數(shù)表示的場的Enlar-Lagrage方程，這一方程，統(tǒng)一的描述了各類的場。2.68)例如,設2.68)L——_apQp—_m2ppKG2卩卩2代入Enlar-Lagrage方程，得標量場的Klein-Gorden方程Ca-m22(x)-0即L氏標量場的拉氏量的一個選擇。KG2.69)2.69)由(2.69)知，方程化為旋量場的Dirac方程a+m\(x)=即L是旋量場拉氏量的一個選擇。A若L=——FF——m2AAA4yvyv2卩V方程化為矢量場的Froca方程aaA=m2AyyvvaA=0yy2.70)即L是矢量場拉氏量的一個選擇。A4.場的Hamilton的形式現(xiàn)在將場的Lagrange形式過渡到Hamilton形式。還是將場分為無窮多但可數(shù)的nN個小格，對場中第i個小格v,選正則坐i標為場函數(shù)申(x,t)在小格v中的平均值。i2.71)vi共軛動量是p(t)=泌_i勿(t)i即(、aytaLp(t)=乙LV=i-V=兀Via申(t)iia申iiiii式中△△△2.72)2.73)6L兀=ii如i哈密頓量定義為?H二工p屮一Lii即對小格體元5v?iH=p(p—Lv=(兀(p—L)viiiiiiiii令H二兀p——△iiii則H=2Hvii體元AV的Hamilton方程為i△QHOH。=—p,=POpidpj\o"CurrentDocument"ii取NUAAVT0，即過渡到連續(xù)情況。i定義場變量p(x)的共軛動量為:兀(x)=Lim兀AVi—OdLdp(x)哈氏量(2.77)過度為H=Lim工HAV=Lim(兀p—L)AVAVtOi1AVtO1111II=J(兀p-L)d3x即H=JHd3x式中H(x)=兀(x)p(x)一L(x)(2.74)(2.75)(2.76)(2.77)(2.78)(2.79)(2.80a)(2.80b)(2.81)稱為哈氏量密度。由(2.78)式，作OHy.1dH(t)=Lim卻(x)AVTOAV卻(t)iiiOH1OH(t)(一兀AV)=一兀ii=Lim預(x)av(一兀AV)=一兀iiAViLim(一p)=Lima「0AV.?iav，AVi所以Hamilton運動方程是OH。申(x)OHO兀(x)(2.82)這樣Lagrange方程等價地可由Hamilton方程(2.82)所代替。5.泊松括號定義泛函F[p,兀]和Gtp,兀]的泊松括號為：If,g]=J(止旦一止斗3xpbVOp(x)O兀(x)O兀(x)Op(x)對于泛函Fp,兀]的時間微分：dFfZOF?OF?、=Jd3x(p+兀)

dxOpO兀代入(2.82)式有：gJd3x(竺竺-竺竺)OpO兀(x)O兀Op(x)依據(jù)泊松括號定義(2.83)則戶=[f,G]pb泊松括號定義(2.83)中，若令F=p(x)，G=H則[p(x),H]=J-Op(x)OHd3x，pbOp(x，)O兀(x，)2.83)2.84)=I6(x-x力(xJd3x'=(p(x)((x)=(((x)=((x)H]pb同理有Tt(x)=lil(x)H]pb這是Hamilton方程(2.82)

同理，還可導出((x,t)T(x',t)]pb的另一表式。=63(X-x')((x,t),((x',t)]=lr(x,t),t(x',t)]=0pbpb這些關系式可用于向量子括號過渡。2.85a)2.85b)2.86a)2.86b)§5對稱性與守恒律1.概說對稱是一個古老的觀念，這一觀念來源于自然界存在著對稱，如六角形的雪花，對稱的葉片，美麗的蝴蝶，人體的左右對稱等。在人類生活中，也早已喜愛對稱，如古代的有些對稱的青銅器，莊重對稱的皇宮建筑，對稱的詩歌等。生活中的對稱是美，是藝術。對稱觀念應用于科學，最早見于幾何學，十九世紀把對稱應用于晶體研究，是對稱在物理學上應用的一大進步。但是什么是對稱，例如問：“有多少種移動和轉(zhuǎn)動使晶格不變？”這些促使數(shù)學家提出了群的觀念，群的觀念是十九世紀數(shù)學的一大發(fā)明，對數(shù)學和物理都有著深刻的影響。對稱的科學觀念及其重要性是逐步形成的，二十世紀初期，相對論和量子論的發(fā)現(xiàn)，使對稱性在物理上的應用大為推廣，并突顯其重要性。物理學中的對稱性觀念是：物質(zhì)的狀態(tài)和運動規(guī)律在某一變換下不改變，則稱該狀態(tài)和運動規(guī)律具有這一變換的對稱性。也就是說，將所研究的對象稱為系統(tǒng)，將系統(tǒng)從一個狀態(tài)變化到另一個狀態(tài)稱為變換，如果狀態(tài)在某一變換下不變，即變換后到一個等價的狀態(tài)，則這個變換就稱為系統(tǒng)的一個對稱變換。在物理學中應用對稱性的概念，發(fā)現(xiàn)了對稱性與守恒律的深刻關系，這方面最重要的是Noether的證明。按李政道說法，一切對稱性的根源在與對于某些基本量的不可觀測性。例如絕對空間是不可觀測的,坐標原點的選取不影響兩個'l'?粒子的相互作用能V=V(r-r)，或者說，坐標原點從A處的0點平移至B處12的o'，相互作用位能V不改變，因為兩粒子的總動量改變率是力，F(xiàn)F.,(V+V)V(r-r)=0，它等于零，所以兩粒子系統(tǒng)的總動量守恒。這例子說明,1212由于絕對時空間位置是不可觀測量，空間平移這一變換不改變位能，相應守恒量是動量，表1.1列出了部分對稱性與守恒律的關系表1.1不可觀測量對稱性變換守恒定律或選擇定則絕對空間位置空間平移rTr+Ar動量絕對時間時間平移tTt+At能量絕對空間方向轉(zhuǎn)動rTr'角動量電荷絕對符號eT-e電荷共軛宇稱P和n不同的相干混合態(tài)之間的差別(p)(n)In丿Ip丿同位旋電荷不同態(tài)之間的相對相位—te電荷狹義相對論把麥克斯韋方程組的對稱抽取出來，變成重要的協(xié)變性概念，這是物理學的又一大進步，把電磁場方程對稱化，是把實驗方程作對稱化，先實驗后理論，反之若先理論上確定對稱性，后尋找對稱化的方程，再由實驗驗證，這就為物理學的研究提供了有力的武器。設定力學方程必須對稱，構(gòu)建力學協(xié)變量，組建力學的協(xié)變方程，改造了經(jīng)典力學，建立了相對論論力學，這是研究最成功的一例。理論物理中，不少研究就是按這個思路，從對稱性出發(fā)做研究的。愛因斯坦是按照不管坐標怎什么改，方程形式不應該改這一思路，建立了廣義相對論。.對稱性有兩類，一類是時空的對稱性，例如時空平移和洛倫茲變換，另一類是內(nèi)部對稱性，在場論中，它們是與不改變時空坐標的場的變換相聯(lián)系的，在不同時空點的場作獨立變換，稱為規(guī)范變換，最早發(fā)現(xiàn)的定域?qū)ΨQ性是電磁場的規(guī)范對稱性。量子力學建立了以后，發(fā)現(xiàn)帶電粒子與電磁作用的量子理論是一種規(guī)范不變理論，在這個理論中，運動方程在帶電粒子波函數(shù)的定域相位變換下保持不變?(電磁場勢作用相應變換)。1954年楊振寧和Mills把電磁場的規(guī)范理論作了推廣，推廣到非阿貝爾規(guī)范，認為定域?qū)ΨQ性不只是適用于帶電粒子與電磁場的相互作用，這一對稱性應當在物質(zhì)作用的理論中起基本作用，通過一系列的工作，得到一個結(jié)論，所有相互作用都是由對稱所支配的，這就是楊振寧所說的：“今天得到一個原則，對稱支配作用力”。對稱性在物理中的重要性，楊振寧1995年在廣西大學講演中給出了的圖表見表1.1：19花年現(xiàn)在表1.1在物理學中，對稱性分為四類：置換對稱性：玻色一愛因斯坦統(tǒng)計和費米一狄拉克統(tǒng)計；連續(xù)時空對稱性：坐標平移、轉(zhuǎn)動等；分立對稱性：空間反射、時間反演、正反粒子共軛等；幺正對稱性：與電荷守恒、同位旋守恒等聯(lián)系的對稱性。對稱性顯示了物質(zhì)世界的統(tǒng)一性，反映了不同物質(zhì)形態(tài)在運動中的共性。不對稱性顯示了物質(zhì)世界的多樣性。對稱性依賴于不可觀測量，一旦一個不可觀測量被證實是可觀測的，這就產(chǎn)生了對稱破缺，最著名的例子是左右對稱的宇稱守恒，1957年，李政道、楊振寧的理論，吳健雄的實驗，證明在弱作用下，左右是不對稱的。“絕對的左”可觀測。宇稱不守恒。這說明，不僅有對稱，也有稍微的不對稱，今日的對稱，明日又可能是不對稱的。Norther定理：為了研究場系統(tǒng)在對稱變換下的對稱性。我們利用Lagrange的一個基本性質(zhì)證明，使拉氏量密度保持不變的連續(xù)對稱性變換產(chǎn)生守恒定律，由此可以確定運動常數(shù)。1、Norther定理的證明如果作用量s在關于時空坐標x和場量申(x)的某種連續(xù)變換下是不變的，則一定存在著守恒律和守恒量。這就是Norther定理。假定，在坐標的無窮小變換：fx=x+5x(2.87a)卩卩卩

及相應的場量變換：0(x')=申(x)+旳(x)的聯(lián)合變換下，作用量保持不變6s二"Ld4x二02.87b)2.88)2.89)則有連續(xù)性方程：2.87b)2.88)2.89)式中=T6=T6xpvvdL+6pddpp2.90)是守恒流，Tpv6-Tpv6-pvdL8pddpdxpv2.91)是能量動量張量守恒量為2.92)2.93)G=-iJfd3x2.92)2.93)4這就是Norther定理得數(shù)學表示。證明如下：在無窮小變換下，作用量變分6s=JL(0(x‘),d0(x'))d4x'-JL(申(x),。申(x))d4xpp因為d2=j(x)d4x式中J是Jaccobi變換因子。在x無窮小變換(2.87a)xp下x‘dJ(—)=1+6x(2.94)xdxpp則(2.93)化為：6S=J(6L+Ld6x)d4x(2.95)pp式中6L=L(p'(x'),d0(x'))—L(p(x),dp(x))pp將6L分解為兩部分，6L=6L+6L(2.96)px式中88Lx_L(9(x'),a'(x'))—L(9(x),a9(x))p這里依2.38)(2.97)二L(9'(x'),a'9'(x'))—Lp(9(x'),a9(x'))p式,aLa9aL89+8a9aa99

pp9a9+a(a'a99paa99p9)—(a)a9paa99p=a(亙a9)paa99

p(2.98)a9=9'(x)—9(x)=89-a989xppaL_a((89—a98x))paa9ppp將(2.96)—(2.98)代入(2.95)有(2.99)8s_J[a(——(89—a98x))+—paa9ppaxpp_Jafd4x_0pppp即得（2.89）至（2.91）式，Norther定理得證。守恒量易于證明。G（t）=一iJfd3x4因為3xapfppp所以所以G=\-▽-fd3x=￡(f親=0即G是守恒量。時空平移和能量動量守恒應用Norther定理，討論幾種變換和相應的守恒量。時空平移是：fx=x+￡dx=￡￡是無窮小常數(shù)，在時空平移下，由于時空的均勻性，場函數(shù)不變0(xf)=申(x)8^=02.100)即時空平移條件是：2.100)dx=￡，yy將這個條件代入f表式(2.90)，時空平移下的守恒流為yyvv2.101)T的表式是(2.91)，所以守恒律是：|1VdT=0yyv相應的守恒量是G=-ifT-d3x=-if(L8v4v=f[-iL4vdL-d申)d3xdd申v42.102)8—兀]d3x4vdxv當v=4時：G=J(-iL4—兀)d3x=if(兀q—L)d3xdx42.103)式中唧-L=H是Harmiton量密度，即'G=ifHd3x=iEy這是能動量的第四分量，所以守恒量的第四個分量是能量(2.104)(2.107)(2.108)5^=-￡(2.107)(2.108)5^=-￡S申(x)2AUAU(2.109)式中￡是無窮小量,AS是自旋張量。S=-SAAA當v=1,2,3G[-兀竺]d3x(2.105a)idxi即G=f[-KV-P]d3x(2.105B)這是空間部分的守恒量，應該認為是場的動量，所以守恆量是p=(p,iE)(2.106)是四維能量動量守恒。所以從物理觀點看，時空平移下的不變性表明場系統(tǒng)與所加的外源之間沒有能量動量交換。時空平移的不變性可以認為是絕對時空位置是不可觀察量。絕對空間位置的不可觀察，在空間平移的對稱性變換下，動量守恒。絕對時間的不可觀察在時間平移的對稱變換下，能量守恒。5．時空旋轉(zhuǎn)與角動量守恒在時空旋轉(zhuǎn)下X'=X+￡XAARUu場量作相應的無窮小變換0(X')=(1+i￡Sg(X)2AuAu即時空旋轉(zhuǎn)的條件是5x=￡xAauuS=0(自旋為0)AS=1b(自旋為1/2)A2AS=S=S(自旋為1)AA(2.110)將(2.109)代入fa表式的=TQL=TQL￡x+(一￡S)p(x)Auu九九QQ(p2u九u九A(2.111)由于8滿足反對稱條件8=-8有yuuy=丄8(Tx-Tx)2u九yu九y九u(2.112)有守恒律式中守恒量是a由于8滿足反對稱條件8=-8有yuuy=丄8(Tx-Tx)2u九yu九y九u(2.112)有守恒律式中守恒量是aL[(Tx-Tx)+iSp(x)]yu九y九upu九yF丿入入yux-Tx)-iaLyu九uy九yu(FJ=(T九Myu=-iJ(F)d3x4yu取比v為Ij=1,2,3，守恒量為M=JijD3x-i(TX-TaL)-亍Sp(x)jiijaapij4(2.113)2.114)式中aLap=i=-i兀ap空apdxi所以M=JijD3X一兀(Xa-x)p-inSp(x)iaxjaxijji利用p的定義（2?99）式’可知Mij可表示為M=JD3xZxp-px)p-IkSijijijijM=L+Sijijij2.115)(2.116)式中L=Jdx3(xp-px)(2.117)ijijij是三維空間的軌道角動量，S=-Jdx3饑Sp(x)(2.118)ijij是場的內(nèi)部空間的自旋角動量。即在空間旋轉(zhuǎn)變換下體系的總角動量M守恒。ij這就說明，空間的絕對方向是不可觀測量，在轉(zhuǎn)動的對稱變換下，角動量守恒。6.內(nèi)部對稱性研究所謂的內(nèi)部對稱性，即假定坐標不改變，場量作變化，將有什么物理量守恒。作為例子，討論復標量場的相變換，即p'(x)=eiop(x)p+'(x)=p+(x)e-□(2.119)在無窮小變換下p'(x)=(1+ia)p(x)p+'(x)=(1-ia)p+(x)(2.120)相變換的條件是5x=08p=iap8p+=-iap+將這個條件代入f表示式’注意到’現(xiàn)有兩個場量’所以ddp5p+ddp5p+ddp+5p+守恆量是QL守恆量是QLQLf=ia[p-p+]卩QQpQQp+(2.121)Q=-JfdQ=-Jfd3x=4(2.122)這一守恆量稱為場的“荷”，這一不變量所對應的是什么物理量，由因子a作選擇，例如選為電荷，是電荷Q守恆。因為電荷不同態(tài)之間的相位是不可觀察量，在相變換下，電荷量守恆。第三章標量場研究場和粒子的性質(zhì)、相互作用和相互轉(zhuǎn)化規(guī)律及粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)規(guī)律，必須通過對場的相互作用進行研究，因為任何粒子的產(chǎn)生、湮滅和相互轉(zhuǎn)化都是通過粒子的相互作用進行的。但是從研究的方法上看，應該是從簡單到復雜，首先簡單的把粒子近似認為是“自由”的，即先不考慮它與其他粒子的作用，研究它們各自的特性，然后再進一步研究復雜的粒子間的作用。“自由”粒子相應于自由量子場，從本章起研究三種自由場，分別是標量場、旋量場、矢量場和電磁場?！?標量場的量子化1.場量子化的基本思想場和粒子是物質(zhì)存在的兩種基本形式，作為物理系統(tǒng)，粒子系統(tǒng)是具有有限自由度的，但場是由場變量申(x,t)描述，空間不同點的場量可以看作是相互獨立的運動學變量，因而場是具有連續(xù)無窮維自由度的系統(tǒng)。但是，不管系統(tǒng)是具有有限自由度，還是具有連續(xù)無窮維自由度，都適用最小作用量原理，因而場或粒子體系的運動方程都可用最小作用量原理推導，即對場和粒子都可作正則描述。對場系統(tǒng)進行量子化，關鍵在于選取什么物理量(C數(shù))作為量子化的算符(Q數(shù))，它們滿足什么運動方程，引進什么樣的量子化條件，即算符應遵從什么樣的對易規(guī)則。對無窮維自由度的場，為便于應用正則化方法，我們把它分成數(shù)目有無窮多的小格，但小格數(shù)目是可數(shù)的，對于第n個“格元”設體積為Av，場變量p(X,t)i在這小格中的平均值是：p(t)=—Jp(X,t)d3X(3.1)iAvAviii我們選定p(t)作為場的廣義坐標，相應場的廣義速度是：ip(t)=Jp(X,t)d3x(3.2)iAvAviiii場的拉氏量是：L=Z三Av(3.3)iii式中拉氏量的密度N是X點的p(t)和p(t)及鄰域的p(t)及p(t)的泛函，即iiii土ai土a==L(p,p,p,p+)(3.4)iiiii土ai土a

場的共軛動量是p(t)二iSp(t)二i。申S申ii為了對小格Av進行量子化，我們選定廣義坐標p.(t)、廣義速度p(t)iii動量p(t)作為算符。應用量子力學規(guī)律，將泊松括號過度到量子括「i[A,B]L1[A，B]pbi量子場算符滿足下列對易關系[P(t),p(t)]_i5iiij[p(t),p(t)]_[p(t),p(t)]_0ijij這些對易關系就是量子化規(guī)則。正則運動方程是：p(t)_i[H,p(t)]iip(t)_i[H,p(t)]ii為了把可數(shù)的無窮多個分立的小格過渡到連續(xù)的場，作AvT0(ii并令nfg。利用p_nAViin_limn(t)AVf0ilim—5_5(f-f')Avif0AVjii于是場的量子化規(guī)則寫為[p(x,t),n(x',t)]_i5(3)(x一x')ii[p(x,t),p(x',t)]_[n(x,t),n(x',t)]_0iiii正則運動方程是(3.5)廣義共軛(3.6)(3.7)_1,2,…,(3.5)廣義共軛(3.6)(3.7)_1,2,…,n)(3.8)(3.9)3.10)兀(x)=i[H,兀(x)]3.10)量子場的性質(zhì)由場算符的正則運動方程和對易關系決定。2.實標量場的量子化最簡單的自由場量是只有一個場變量*(X,t)的場。設*(X,t)是實標量或?qū)嵹I標量。這個場變量只有一個時空分量，它所能描述的粒子的自旋必須是零。例如“介子、K介子等。對宇稱為正的粒子用實標量描述，宇稱為負的粒子，如兀+,兀-，用贋標量描述。自旋為0的粒子滿足Klein-Gordon方程(dd-m2)*(x)=0(3.11)拉氏量密度為：L=-丄@*。*+m2*2)(3.12a)2□卩哈氏量密度為：H=丄(兀2+V*-V*+m2*2)(3.12b)2動量是：P=T*V*d3x=-J兀V*d3x(3.13)我們選場變量*(x,t)及共軛動量兀(x,t)作為場量子化的算符。那么，在坐標空間中，方程(3.10)和對易關系(3.9)原則上解決了實標場的量子化問題。即標量場的正則運動方程是*(x)=i[H,*(x)]兀(x)=i[H,兀(x)](3.14a)場的量子化規(guī)則寫為[*(x,t),兀(x',t)]=i5(3)(x-x')ii

叩(x,t),申(x',t)]=[兀(x,t),兀(x',t)]=0iiii3.14b)例如：結(jié)合對易關系，對能量動量算符P=(P,iH)的本征方程求解:3.14b)P防=KR〉式中K爐動量能量的本征值’對本征方程求解后’實標量場的量子化問題原則上己解決。這是在坐標空間進行量子化，以空間點x作為自由度參數(shù)分析量子標量場的物理內(nèi)容。fk(x)=—fk(x)=—ei(k-x?t)叫3.15a)3.15b)3.16a)我們將場量申(x,t)用平面波解的完備集展開3.16a)申(x,t)=z(af(x)+bkf：(x))kkkkk對實標場申(x,t)=申*(x,t)，顯然要求:akak=bkak=bk兀(x,t兀(x,t)①k(aei(k?x—wt)T(akek3.16b)3.17)即(3.16a)改寫為11/i(k?x—?t)*—i(k?x—?t)、TOC\o"1-5"\h\z申(x,t)=工(aye'k丿+a7e'k7)◎臣kk共軛動量兀(x,t)=申(x,t)，即展開式為:」*—i(k?x—wt)、—akek)

這樣在坐標空間用場變量p（X,t）及共軛動量兀（X,t）作為場量子化的算符描述的標量場，可用在動量空間的算符a.a+來描述?？梢宰C明，a.a+的對易關系k,kk,k是：[a,a+]=5k心kk'[a,a]=[a+,a+]=0（3.18）kk‘kk‘這一關系式的證明，可利用坐標空間的對易關系式（3.14b）及從（3.16）及（3.17）求得的aka；表示式加以證明?，F(xiàn)在，我們把（3.18）式的證明倒過來做，即假定（3.18）式正確，然后證明p和兀的對易關系（3.9）式成立。由（3.16）和（3.15）式有：[P(X,t),兀(X,[P(X,t),兀(X,t)]=ei(k-x—k'-x')+a,aa+,a+kk''kk'a+,ak'ke—iC-x—k'-x')}a+,akk'e—i由（3.18）式,上式化為ik-ik-(x—xr)+e—ik-(x—x，))當Vfg,可將遍及動量k的求和用積分代替(3.19)又：—Jd3—Jd3kek-(x-x，)8兀3(3.20)5(3)(x)=5(3)(—x)則可導出(3.21),t)兀6:t)]=i5(3)(x—十)(3.21)可見（3?9）式成立，這就證明了a，a+k的對易關系（3?18）正確。

現(xiàn)在求動量空間中能量動量的表式，H的表式（3.12b）,可改寫為3.22)將兀的表式（3.17）和由此式求得的申，E代入上式并作積分，可得H-丄2H-丄2k3.23)利用（3.18），得到3.24)式中-a-a+akkH中的1工?是一個無窮大常量，稱為零點能，以后將看到，通過適當理論處2kk理可以去掉，則H-YN6（3.26）kkk類似計算，可求得動量為P-工（N+-）K-工NK（3.27）k2k式中，由于K和-K相抵消，零點動量K為零。（3.26）和（3.27）表明，場的能量和動量是以算子N-a+a為表征的無窮和來表示的?，F(xiàn)分析，H和P有沒kkk有共同的本征函數(shù)。依據(jù)量子力學，如果兩個算符對易，則這兩個算符有組成完全系的共同本征函數(shù)，由于說明H和P有共同的本征函數(shù)。注意到能量的（3.26）表示與諧振子的能量表式相同，設|n］表示一個具有k本征值n的本征態(tài)，即k3.28)這就是a+,a的本征方程，它與對易關系（3.18），描述了場在動量空間的量子化。kk粒子解釋將場在動量空間量子化的表式（3.28）和（3.18）與諧振子量子化的表式（1.17）和（1.20）對比，可以看出量子場的本征問題的求解與諧振子的量子力學問題數(shù)學形式完全一樣，這樣，是否可以把量子場理解為一系列簡諧振子的組合呢？注意到，量子場與諧振子的能量是相同的，但簡諧振子的動量是p=m-（a+a+），與場的動量不同，而某一動量為k的場的能量和動量是2kkE二力?.」（3.29）p=力k這恰恰是粒子的能量和動量。因而場的能量和動量表式（3.26）和（3.27），表明量子場不是一系列簡諧振子的組合，而是一系列動量為k的粒子的集合。諧振子的量子化與量子場的量子化只是本征方程的數(shù)學形式一致，可將諧振子本征問題的結(jié)果應用于量子場，但應將場解釋為粒子的集合。這樣，各個物理量的的意義是：申（X,t）描述一個由粒子組合的標量場；N是粒子數(shù)算符，代表動量為k的粒子的數(shù)目，其本征值為n=0,1,2…是kk正整數(shù)；

a+是粒子的產(chǎn)生算符，產(chǎn)生一個動量為k的粒子;ka是粒子的湮滅算符，湮滅一個動量為k的粒子。k|0是場的真空態(tài)，是沒有激發(fā)粒子的場的本征態(tài)，a|0=0,;0\a+=0(3.30)kk具有動量為k的n個粒子的態(tài)表示為k|n1=.a+nk|0(3.31)㈠詐Jk'式中a+nk=a+.an個a+的作用。kkkkkk具有n個動量為k的粒子，n個動量為k'…的粒子態(tài)表示為kk'n,nkk'n,nkk'連續(xù)動量空間中的表示場量按平面波(3.15)展開;?動量k是分立的，是按傅立葉級數(shù)展開，將分立的k過渡到連續(xù)k，是將P(X,t)作傅立葉積分:(3.33)9(x,t)=(1)JL(k)eik+a+(k(3.33)V2k)32J2—式中k.x—k.X-—t,k是粒子的動量，—是粒子的能量—-彳k2+m2。共軛動量是兀Cx兀Cx)=申(x)—Jd3k(2k)32\2■—L(k)eikx-a+(k)e-ikx3.34)在動量空間的算符a(k),a+(k)是k的連續(xù)函數(shù)。從分立的級數(shù)求和到連續(xù)的積分可作下列替代而得-工Jd3kVK◎)3

aT(2兀)23a(k)KvV3.35a)在連續(xù)動量空間a(k)和a+(k)的對易關系是3.35a)[a(k),a+(k')]=6(3)(k-k')[a(k),a(k')]=[a+(k),a+(k')]=0(3.35b)場的能量和動量，不計零點能后，結(jié)果是P=id3kkN(k)(3.36)式中N(k)=a+(k)a(k)。從表式(3.36)可見：N(k)d3k是動量在kTk+dk之間的粒子數(shù)。而N(k)是單位動量空間體積內(nèi)動量為k的粒子數(shù)算符。類似于分立動量空間的分析得知：a+(k)是單位動量空間體積內(nèi)產(chǎn)生一個動量k的粒子的算符;a(k)是單位動量空間體積內(nèi)湮沒一個動量k的粒子的算符。為方便討論，現(xiàn)將(3.33)式分寫為兩項之和甲(x)=申(+)(x)+申(-)(x)(3.37)式中甲(+)(甲(+)(x)=1(2兀)23Q(-)(x)=J也z(k)(2兀)232①(3.38)3.39)9(+)(x),(9(-)(x))可解釋為在X點單位體積內(nèi)產(chǎn)生(湮滅)一個粒子的算符。不過，這時產(chǎn)生或淹沒的粒子動量是完全不確定的，這表明符合測不準原理。9(+)(x)和9(-)(x)可稱為場量的正頻和負頻部分。

介子的玻色統(tǒng)計性現(xiàn)在我們證明實標量場服從玻色—愛因斯坦統(tǒng)計。我們知道，作為玻色子的標量粒子，粒子是不可分辨的且每個態(tài)上占據(jù)的粒子數(shù)不限。由（3.32）式知，量子標量場的正交歸一的本征態(tài)矢一般可寫為：K?-.K…K?-.K…K…K：=a+…a+1ijnvn!Ki\a+KJa+K

n3.40）這是存在n個動量為KK…K的粒子的態(tài)。若交換K和K.由于所有產(chǎn)12nij，生算符對易，有：K…K…K…K\=K…K…K…K\（3.41）1ijn1jin■'即交換任意粒子后，狀態(tài)相同。所以標量粒子是在運動中不可分辨的全同粒子。從（3.31）式，量子標量場允許有本征態(tài)：lnp=lnp=a+nK（3.42）3.43）3.44）3.43）3.44）（這里，同一個動量為K的粒子數(shù)n可以取任意數(shù)目，即每個態(tài)上占據(jù)的粒子數(shù)不限。另外，玻色子組成的系統(tǒng)的波函數(shù)，對于其中任意兩個粒子的置換，波函數(shù)應是對稱的。設量子場的一般性物理態(tài)為：|A；=藝工…工|k…k::;k…k|A；TOC\o"1-5"\h\zk=0kk1n=無工…工Q6）（k…k）k…k■:A1n1n'k=0kk1n式中叮）*…k）是物理態(tài)⑷中n個粒子的動量空間波函數(shù)。Q（n）Q…k…k…k）=k…k…k…k|A.：A1ijn'■1ijn■'結(jié)合（3.35）和（3.44）式，可知O（n）Q...k…k…k）=0（n）?...k…k…k）A1ijnA1jin

3.45)即標量場粒子系統(tǒng)的波函數(shù)對粒子的交換的對稱的。由上述討論可見，為反映玻色子服從玻色—愛因斯坦統(tǒng)計的性質(zhì)，對易關系應采取(3.35)式。.§2復標量場的量子化實標量場用一個場變量申(x,t)可描述不帶電的自旋為零的粒子，對于荷電標量粒子，如兀+,兀-，可用復標量描述。取場函數(shù)為申(x,t)和「6,t)，且+6,t)，即用兩個獨立場變量描述帶正、負電的標量粒子，復函數(shù)的p和p+滿足Klein一Gordon方程:（5a（aa0+（x,t）=0對復標量場，取拉氏量密度為：L（5a（aa0+（x,t）=0對復標量場，取拉氏量密度為：L=-5p+5p-m2p+p則場的共軛動量為：aL+5p=PaL兀+==pap+復標場的能量和動量是:P=JC