充分必要條件老師

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精益求精，善益求善。Goodisgood,butbettercarriesit.

精益求精，善益求善。充分必要條件老師精銳教育班主任必讀精銳教育班主任必讀PAGEPAGEPAGE8精銳教育班主任必讀PAGE志格教育學科教師輔導講義課題充分條件和必要條件教學目標1．使學生理解充要條件的概念，掌握充要條件的判斷；2．在師生、學生間的數(shù)學交流中增強邏輯思維活動，為用等價轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題打下良好的邏輯基礎(chǔ).教學內(nèi)容同學們，當某一天你和你的媽媽在街上遇到老師的時候，你向老師介紹你的媽媽說：“這是我的媽媽”.那么，大家想一想這個時候你的媽媽還會不會補充說：“你是她的孩子”呢？不會了！為什么呢？因為前面你所介紹的她是你的媽媽就足于保證你是她的孩子.那么，這在數(shù)學中是一層什么樣的關(guān)系呢？今天我們就來學習這個有意義的課題—充分條件與必要條件.二、講解新課：⒈符號“”的含義前面我們討論了“若p則q”形式的命題，其中有的命題為真，有的命題為假.“若p則q”為真，就是說，如果p成立，那么q一定成立，記作pq，或者qp；如果由p推不出q，命題為假，記作pq.簡單地說，“若p則q”為真，記作pq（或qp）；“若p則q”為假，記作pq（或qp）.符號“”叫做推斷符號.例如，“若x>0，則x2>0”是一個真命題，可寫成：x>0x2>0；又如，“若兩三角形全等，則兩三角形的面積相等”是一個真命題，可寫成：兩三角形全等兩三角形面積相等.說明：⑴“pq”表示“若p則q”為真；也表示“p蘊含q”.⑵“pq”也可寫為“qp”，有時也用“p→q”.⒉什么是充分條件？什么是必要條件？如果已知pq，那么我們就說，p是q的充分條件，q是p的必要條件.在上面是兩個例子中，“x>0”是“x2>0”的充分條件，“x2>0”是“x>0”的必要條件；“兩三角形全等”是“兩三角形面積相等”的充分條件，“兩三角形面積相等”是“兩三角形全等”的必要條件.⒊充分條件與必要條件的判斷1.直接利用定義判斷：即“若pq成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”.（條件與結(jié)論是相對的）4.什么是充要條件？如果既有pq，又有qp，就記作pq.此時，p既是q的充分條件，p又是q的必要條件，我們就說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.（當然此時也可以說q是p的充要條件）例如，“x=0，y=0”是“x2+y2=0“三角形的三條邊相等”是“三角形的三個角相等”的充要條件.說明：⑴符號“”叫做等價符號.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等價于q”.⑵“充要條件”有時還可以改用“當且僅當”來表示，其中“當”表示“充分”，“僅當”表示“必要”.5.幾個相關(guān)的概念若pq，但pq，則說p是q的充分而不必要條件；若pq，但pq，則說p是q的必要而不充分條件；若pq，且pq，則說p是q的既不充分也不必要條件.例如，“x>2”是“x>1”的充分而不必要的條件；“x>1”是“x>2”的必要而不充分的條件；“x>0,y>0”是“x+y<0”的6.充要條件的判斷方法四種“條件”的情況反映了命題的條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，所以在判斷時應該：⑴確定條件是什么，結(jié)論是什么；⑵嘗試從條件推出結(jié)論，從結(jié)論推出條件（方法有：直接證法或間接證法）；⑶確定條件是結(jié)論的什么條件.7.怎樣用集合的觀點對“充分”、“必要”、“充要”三種條件進行概括？答：有兩種說法：⑴若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件（此時B也是A的充要條件）.在含有變量的命題中，凡能使命題為真的變量x的允許值集合，叫做此命題的真值集合.⑵若pq，說明p的真值集合q的真值集合，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，說明p，q的真值集合相等，即p，q等價，則p是q充要條件（此時q也是p的充要條件）.例1指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件：⑴p：x=y；q：x2=y2.⑵p：三角形的三條邊相等；q：三角形的三個角相等.分析：可根據(jù)“若p則q”與“若q則p”的真假進行判斷.解：⑴由pq，即x=yx2=y2，知p是q的充分條件，q是p的必要條件.⑵由pq，即三角形的三條邊相等三角形的三個角相等，知p是q的充分條件，q是p的必要條件；又由qp，即三角形的三個角相等三角形的三條邊相等，知q也是p的充分條件，p也是q的必要條件.例2(補)如圖1，有一個圓A，在其內(nèi)又含有一個圓B.請回答：⑴命題：若“A為綠色”，則“B為綠色”中，“A為綠色”是“B為綠色”的什么條件；“B為綠色”又是“A為綠色”的什么條件.⑵命題：若“紅點在B內(nèi)”，則“紅點一定在A內(nèi)”中，“紅點在B內(nèi)”是“紅點在A內(nèi)”的什么條件；“紅點在A內(nèi)”又是“紅點在B內(nèi)”的什么條件.解法1(直接判斷)：⑴∵“A為綠色B為綠色”是真的，∴由定義知，“A為綠色”是“B為綠色”的充分條件；“B為綠色”是“A為綠色”的必要條件.⑵如圖2⑴，∵“紅點在B內(nèi)紅點在A內(nèi)”是真的，∴由定義知，“紅點在B內(nèi)”是“紅點在A內(nèi)”的充分條件；“紅點在A內(nèi)”是“紅點在B內(nèi)”的必要條件.解法2(利用逆否命題判斷)：⑴它的逆否命題是：若“B不為綠色”則“A不為綠色”.∵“B不為綠色A不為綠色”為真，∴“A為綠色”是“B為綠色”的充分條件；“B為綠色”是“A為綠色”的必要條件.⑵它的逆否命題是：若“紅點不在A內(nèi)”，則“紅點一定不在B內(nèi)”.如圖2⑵，∵“紅點不在A內(nèi)紅點一定不在B內(nèi)”為真，∴“紅點在B內(nèi)”是“紅點在A內(nèi)”的充分條件；“紅點在A內(nèi)”是“紅點在B內(nèi)”的必要條件.★★★如何理解充分條件與必要條件中的“充分”和“必要”呢？下面我們以例2為例來說明.先說充分性：說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的.例如，說“A為綠色”是“B為綠色”的一個充分條件，就是說“A為綠色”，它足以保證“B為綠色”.它符合上述的“若p則q”為真（即pq）的形式.再說必要性：必要就是必須，必不可少.從例2的圖可以看出，如果“B為綠色”，A可能為綠色，A也可能不為綠色.但如果“B不為綠色”，那么“A不可能為綠色”.因此，必要條件簡單說就是：有它不一定，沒它可不行.它滿足上述的“若非q則非p”為真（即┐q┐p）的形式.總之，數(shù)學上的充分條件、必要條件的“充分”、“必要”兩詞，與日常生活中的“充分”、“必要”意義相近，不過，要準確理解它們，還是應該以數(shù)學定義為依據(jù).例：指出下列各組命題中，p是q的什么條件（在“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選出一種）？⑴p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.⑵p：同位角相等；q：兩直線平行.⑶p：x=3；q：x2=9.⑷p：四邊形的對角線相等；q：四邊形是平行四邊形.解：⑴∵(x-2)(x-3)=0x-2=0，(x-2)(x-3)=0x-2=0，∴p是q的必要而不充分的條件；⑵∵同位角相等兩直線平行，∴p是q的充要條件；⑶∵x=3x2=9，x=3x2=9，∴p是q的充分而不必要的條件；⑷∵四邊形的對角線相等四邊形是平行四邊形，四邊形的對角線相等四邊形是平行四邊形，∴p是q的既不充分也不必要的條件.課堂練習1：（補充題）用“充分”或“必要”填空，并說明理由：⒈“a和b都是偶數(shù)”是“a+b也是偶數(shù)”的充分條件；⒉“四邊相等”是“四邊形是正方形”的必要條件；⒊“x3”是“|x|3”的充分條件；⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的充分條件；⒌“兩個角是對頂角”是“這兩個角相等”的充分條件；⒍“至少有一組對應邊相等”是“兩個三角形全等”的必要條件；⒎對于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不為0）來說，“b2-4ac0”是“這個方程有兩個正根”的必要條件；⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的充分⒐“a+b是偶數(shù)”是“a和b都是偶數(shù)”的必要條件；⒑“個位數(shù)字是5的自然數(shù)”是“這個自然數(shù)能被5整除”的充分條件.課堂練習2：1、“”是“”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A2．設則“且”是“”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件【答案】A3．若為實數(shù)，“”是的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A4、設是向量，命題“若，則∣∣=∣∣”的逆命題是 A．若，則∣∣∣∣ B．若，則∣∣∣∣ C．若∣∣∣∣，則 D．若∣∣=∣∣，則=-【答案】D5．若實數(shù)a,b滿足且，則稱a與b互補，記，那么是a與b互補的 A．必要而不充分的條件 B．充分而不必要的條件 C．充要條件 D．即不充分也不必要的條件【答案】C6．若aR，則a=2是（a-1）（a-2）=0的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 C．既不充分又不必要條件【答案】A7．命題“所有能被2整聊的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是 （A）所有不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù) （B）所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù) （C）存在一個不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù) （D）存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)【答案】D一、選擇題1.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的充要條件是（A）（B）（C）（D）答案A解析：函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的對稱軸為x＝－于是－＝1m2..“a＞0”是“＞0”(A)充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件解析：本題考查充要條件的判斷，a＞