平面向量知識(shí)點(diǎn)

1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.兩個(gè)向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa．[做一做]1．判斷下列四個(gè)命題：①若a∥b，則a＝b；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若|a|＝|b|，則a∥b；④若a＝b，則|a|＝|b|.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案：A2．已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(OC,\s\up6(→))等于()A．2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)) B．－eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))答案：A1．辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)作兩個(gè)向量的差時(shí)，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)．(2)在向量共線的重要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)．2．三點(diǎn)共線的等價(jià)關(guān)系A(chǔ)，P，B三點(diǎn)共線?eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，t∈R)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．[做一做]3．若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝________.解析：|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2.答案：24．已知a與－b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ的值為________．解析：∵a＋λb與－(b－3a)共線，∴存在實(shí)數(shù)μ，使a＋λb＝μ(3a－b)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝3μ，,λ＝－μ，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3))).答案：－eq\f(1,3)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一)__平面向量的有關(guān)概念__________________①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則A、B、C、D四點(diǎn)共線；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命題中正確的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．0[解析]①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量；②不正確，若a與b中有一個(gè)為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；④不正確，如果b＝0時(shí)，則a與c不一定平行．[答案]D[規(guī)律方法]對(duì)于向量的概念應(yīng)注意以下幾條：(1)向量的兩個(gè)特征：有大小和方向，向量既可以用有向線段和字母表示，也可以用坐標(biāo)表示；(2)相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量；(3)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小．1.設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選D.向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二)__平面向量的線性運(yùn)算(高頻考點(diǎn))_______平面向量的線性運(yùn)算包括向量的加、減及數(shù)乘運(yùn)算，是高考考查向量的熱點(diǎn)．常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．高考對(duì)平面向量的線性運(yùn)算的考查主要有以下三個(gè)命題角度：(1)求已知向量的和；(2)用已知向量表示未知向量；(3)求參數(shù)的值．(2014·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))[解析]如圖，eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)·2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).[答案]C[規(guī)律方法](1)解題的關(guān)鍵在于搞清構(gòu)成三角形的三個(gè)向量間的相互關(guān)系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化．(2)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧是：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果．2.(1)(2015·福建福州質(zhì)量檢測(cè))在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－bC．c＝eq\f(3a,2)－eq\f(b,2) D．c＝eq\f(3b,2)－eq\f(a,2)(2)在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)解析：(1)選D.因?yàn)樵凇鰽BC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a(2)選A.如圖所示，過點(diǎn)D分別作AC，BC的平行線，分別交BC，AC于點(diǎn)F，E，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)).∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，故eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三)__平面向量共線定理的應(yīng)用____________已知非零向量e1，e2不共線．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值．[解](1)證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))共線，且有公共點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線．(2)∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，則(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1與e2不共線，只能有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))∴k＝±1.[規(guī)律方法](1)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，否則向量a、b不共線．3.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共線，向量c＝2e1－9e2.問是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？解：∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，則應(yīng)有實(shí)數(shù)k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ.故存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線．,[學(xué)生用書P79])考題溯源——平面向量的線性運(yùn)算(2014·高考福建卷)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up6(→)) B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→)) D．4eq\o(OM,\s\up6(→))[解析]因?yàn)辄c(diǎn)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)M是AC和BD的中點(diǎn)，由平行四邊形法則知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，故eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).[答案]D[考題溯源]本考題是由教材人教A必修4P92第11題“已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，用向量a、b分別表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→)).”改編而成．1.(2013·高考四川卷改編)在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，則λ＝()A．1 B．2C．4 D．6解析：選B.由向量加法的平行四邊形法則，得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).又O是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2AO，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，∴λ＝2.2．P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，則△ABC的面積與△ABP的面積之比為()A．2 B．3C.eq\f(3,2) D．6解析：選B.由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，得3eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＋(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0.所以eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，P是△ABC的重心．所以△ABC的面積與△ABP的面積之比為3.1．給出下列命題：(1)兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；(2)兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；(3)λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；(4)λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C.(1)錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)；(2)正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大??；(3)錯(cuò)誤，當(dāng)a＝0時(shí)，不論λ為何值，λa＝0；(4)錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb＝0，此時(shí)，a與b可以是任意向量．2．(2015·福建四地六校聯(lián)考)已知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，則()A．點(diǎn)P在線段AB上B．點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上C．點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上D．點(diǎn)P不在直線AB上解析：選B.因?yàn)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，所以2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上，故選B.3.如圖，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．a(chǎn)＋eq\f(3,4)bB.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b解析：選B.∵eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝a－b，又eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(a－b)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,4)(a－b)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.4．若A，B，C，D是平面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))；②eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；③eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)).其中正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C.①式的等價(jià)式是eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))，左邊＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，右邊＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，不一定相等；②式的等價(jià)式是eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))成立；③式的等價(jià)式是eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))成立．5.如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，若AB＝4，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，則AD的長(zhǎng)為()A．2eq\r(3) B．3eq\r(3)C．4eq\r(3) D．5eq\r(3)解析：選B.因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線，所以有eq\f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(3,4)，如圖，過點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)M，N，則eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，經(jīng)計(jì)算得AN＝AM＝3，AD＝3eq\r(3).6．已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿足等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀為________．解析：∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，BA綊CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．答案：平行四邊形7．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用a，b表示)．解析：由eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，得4eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))＝3(a＋b)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b8．(2013·高考江蘇卷)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．解析：由題意eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，故λ1＋λ2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9.在△ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).解：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.10．設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點(diǎn)共線；(2)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且A、C、D三點(diǎn)共線，求k的值．解：(1)證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線．又∵eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))有公共點(diǎn)C，∴A、C、D三點(diǎn)共線．(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，從而存在實(shí)數(shù)λ使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(4,3).第2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示,[學(xué)生用書P80])1．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐標(biāo)的求法：①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b?x1y2－x2y1＝0．[做一做]1．若向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4，7)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－2，－4) B．(2，4)C．(6，10) D．(－6，－10)答案：A2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))答案：D1．辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1)注意能作為基底的兩個(gè)向量必須是不共線的．(2)注意運(yùn)用兩個(gè)向量a，b共線坐標(biāo)表示的充要條件應(yīng)為x1y2－x2y1＝0.(3)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息．2．有關(guān)平面向量的兩類本質(zhì)平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解．向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵．[做一做]3．已知e1，e2是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是()A．a(chǎn)＝0，b＝e1＋e2B．a(chǎn)＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2C．a(chǎn)＝e1－2e2，b＝e1＋e2D．a(chǎn)＝e1－2e2，b＝2e1－4e2答案：C4．已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，則實(shí)數(shù)m等于()A．－ eq\r(2)B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．0答案：C,[學(xué)生用書P80～P81])eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一)__平面向量基本定理及其應(yīng)用__________如圖，以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b為鄰邊作?OADB，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).[解]∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵eq\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.綜上，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.[規(guī)律方法]用平面向量基本定理解決問題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便．另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理．1.設(shè)e1、e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a、b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析：由題意，設(shè)e1＋e2＝ma＋nb.因?yàn)閍＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))答案：eq\f(2,3)－eq\f(1,3)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二)__平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算________________已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M、N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．[解]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．∴M(0，20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N(9，2)．∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．[規(guī)律方法]平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用．2.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且A(1，1)，C(2，3)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是________．解析：由點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|，得eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→)).設(shè)點(diǎn)B為(x，y)，則(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x＝－2，,3－y＝－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝7.))所以向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是(4，7)．答案：(4，7)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三)__平面向量共線的坐標(biāo)表示(高頻考點(diǎn))____平面向量共線的坐標(biāo)表示是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，屬容易題．高考對(duì)平面向量共線的坐標(biāo)表示的考查主要有以下三個(gè)命題角度：(1)利用兩向量共線求參數(shù)；(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)；(3)三點(diǎn)共線問題．(1)已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)x))，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x的值為()A．4 B．8C．0 D．2(2)已知點(diǎn)A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．[解析](1)a－2b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－2x，\f(1,2)x－2))，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由已知(a－2b)∥(2a＋b)，顯然2a＋b≠0，故有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－2x，\f(1,2)x－2))＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8－2x＝λ（16＋x）,\f(1,2)x－2＝λ（x＋1）))?x＝4(x>0)．(2)法一：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4，4λ)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，6)，由eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3，3)，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，3)．法二：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，因?yàn)閑q\o(OB,\s\up6(→))＝(4，4)，且eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))共線，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y(tǒng).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，6)，且eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，3)．[答案](1)A(2)(3，3)[規(guī)律方法](1)向量共線的兩種表示形式設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b?a＝λb(b≠0)；②a∥b?x1y2－x2y1＝0，至于使用哪種形式，應(yīng)視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用②.(2)兩向量共線的充要條件的作用判斷兩向量是否共線(平行)，可解決三點(diǎn)共線的問題；另外，利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組)，求出未知數(shù)的值．3.(1)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是()A．k＝－2 B．k＝eq\f(1,2)C．k＝1 D．k＝－1(2)(2015·河北唐山模擬)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2，1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為________．(3)(2014·高考陜西卷)設(shè)0＜θ＜eq\f(π,2)，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，則tanθ＝________．解析：(1)若點(diǎn)A、B、C不能構(gòu)成三角形，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.(2)∵b＝(2，1)，且a與b的方向相反，∴設(shè)a＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a|＝2eq\r(5)，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a＝(－4，－2)．(3)因?yàn)閍∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.因?yàn)?＜θ＜eq\f(π,2)，所以cosθ＞0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝eq\f(1,2).答案：(1)C(2)(－4，－2)(3)eq\f(1,2),[學(xué)生用書P82])方法思想——求向量中的范圍、最值問題(解析法)給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為eq\f(2π,3).如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的eq\o(AB,\s\up8(︵))上運(yùn)動(dòng)．若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．[解]以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).設(shè)∠AOC＝αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))))，則C(cosα，sinα)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα＝x－\f(1,2)y,sinα＝\f(\r(3),2)y))；所以x＝cosα＋eq\f(\r(3),3)sinα，y＝eq\f(2\r(3),3)sinα，所以x＋y＝cosα＋eq\r(3)sinα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，又α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以當(dāng)α＝eq\f(π,3)時(shí)，x＋y取得最大值2.[名師點(diǎn)評(píng)]本題首先通過建立平面直角坐標(biāo)系，引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算，然后用三角函數(shù)的知識(shí)求出x＋y的最大值．引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算使得本題比較容易解決，體現(xiàn)了坐標(biāo)法解決問題的優(yōu)勢(shì)，凸顯出了向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法研究向量問題奠定了基礎(chǔ)．已知|a|＝|b|＝2，a⊥b，若向量c滿足|c－a－b|＝2，求|c|的取值范圍．解：因?yàn)閍⊥b，不妨令a＝(0，2)，b＝(2，0)，c＝(x，y)，由|c－a－b|＝2，得(x－2)2＋(y－2)2＝4，|c|可看做(x，y)到原點(diǎn)的距離，而點(diǎn)(x，y)在以(2，2)為圓心，2為半徑的圓上．如圖所示，當(dāng)點(diǎn)(x，y)在位置P時(shí)到原點(diǎn)的距離最近，在位置P′時(shí)到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，而PO＝OA－2＝2eq\r(2)－2，P′O＝OA＋2＝2eq\r(2)＋2，所以2eq\r(2)－2≤|c|≤2eq\r(2)＋2.1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝()A．b－eq\f(1,2)a B．b＋eq\f(1,2)aC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D．a(chǎn)－eq\f(1,2)b解析：選A.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝b－eq\f(1,2)a.2.(2015·寧夏質(zhì)檢)如圖，設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組：①eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→)).其中可作為該平面內(nèi)其他向量的基底的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④解析：選B.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))不共線，eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))不共線，而eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))共線，由平面向量基底的概念知①③可作為該平面內(nèi)其他向量的基底．3．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－2)．若實(shí)數(shù)k與向量c滿足a＋2b＝kc，則c可以是()A．(eq\r(3)，－1) B．(－1，－eq\r(3))C．(－eq\r(3)，－1) D．(－1，eq\r(3))解析：選D.∵a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－2)，∴a＋2b＝(eq\r(3)，－3)＝－eq\r(3)(－1，eq\r(3))，故向量c可以是(－1，eq\r(3))．4．已知點(diǎn)A(1，3)，B(4，－1)，則與向量eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))解析：選A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4－1，－1－3)＝(3，－4)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋（－4）2)＝5.與eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量為eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|))＝eq\f(1,5)(3，－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).5.(2015·長(zhǎng)春模擬)設(shè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝e2，若e1與e2不共線，且點(diǎn)P在線段AB上，|eq\o(AP,\s\up6(→))|∶|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)e1－eq\f(2,3)e2B.eq\f(2,3)e1＋eq\f(1,3)e2C.eq\f(1,3)e1＋eq\f(2,3)e2D.eq\f(2,3)e1－eq\f(1,3)e2解析：選C.由題意知eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)e1＋eq\f(2,3)e2.6．若三點(diǎn)A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－1，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，4)，據(jù)題意eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－eq\f(5,4).答案：－eq\f(5,4)7．在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4，3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1，5)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．解析：eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－3，2)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(－6，4)．eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，7)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－6，21)．答案：(－6，21)8．(2015·九江模擬)P＝{a|a＝(－1，1)＋m(1，2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2，3)，n∈R}是兩個(gè)向量集合，則P∩Q等于________．解析：P中，a＝(－1＋m，1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋m＝1＋2n，,1＋2m＝－2＋3n.))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－12，,n＝－7.))此時(shí)a＝b＝(－13，－23)．答案：{(－13，－23)}9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線？(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A、B、C三點(diǎn)共線，求m的值．解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)法一：∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ,3＝mλ))，解得m＝eq\f(3,2).法二：eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝eq\f(3,2).10.(2015·山東萊蕪模擬)如圖，已知△OCB中，點(diǎn)C是以A為中點(diǎn)的點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，D是將eq\o(OB,\s\up6(→))分為2∶1兩部分的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求實(shí)數(shù)λ的值．解：(1)由題意知，A是BC的中點(diǎn)，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→)).由平行四邊形法則，得eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→)).∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝(2a－b)－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)如題圖，eq\o(EC,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→)).又∵eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝2a－eq\f(5,3)b，∴eq\f(2－λ,2)＝eq\f(－1,－\f(5,3))，∴λ＝eq\f(4,5).第3講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例,[學(xué)生用書P82～P83])1．平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cos_θ叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b．即a·b＝|a||b|cos_θ，規(guī)定0·a＝0.2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)性質(zhì)幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(（xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)）（xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)）)[做一做]1．(2014·高考湖北卷)設(shè)向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ＝________．解析：由題意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.答案：±32．(2014·高考江西卷)已知單位向量e1，e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝________．解析：|a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×eq\f(1,3)＋4＝9.∴|a|＝3.答案：31．辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1)①0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0eq\a\vs4\al(＝)0≠0；②0的方向是任意的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系．(2)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍·b＝0時(shí)，有可能a⊥b.(3)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．2．有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論(1)兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立(因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立)；(2)兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立(因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立)．[做一做]3．已知向量a，b和實(shí)數(shù)λ，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()A．|a|＝eq\r(a·a) B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|解析：選B.|a·b|＝|a||b||cosθ|，只有a與b共線時(shí)，才有|a·b|＝|a||b|，可知選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的．4．(2015·湖北武漢調(diào)研)已知向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝2eq\r(3)，且a⊥(a＋b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)解析：選D.a⊥(a＋b)?a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－eq\f(\r(3),2)，故所求夾角為eq\f(5π,6).,[學(xué)生用書P83～P85])eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一)__平面向量數(shù)量積的運(yùn)算______________(1)(2015·滄州模擬)已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，則eq\f(x1＋y1,x2＋y2)的值為()A.eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(5,6) D．－eq\f(5,6)(2)(2014·高考江蘇卷)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．[解析](1)由已知得，向量a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0，0)，得x1＝－eq\f(2,3)x2，y1＝－eq\f(2,3)y2，故eq\f(x1＋y1,x2＋y2)＝－eq\f(2,3).(2)由eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，得eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(3,4)\o(AB,\s\up6(→))))＝2，即eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2.又因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))2＝25，eq\o(AB,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝22.[答案](1)B(2)22[規(guī)律方法]向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法：(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.運(yùn)用兩向量的數(shù)量積可解決長(zhǎng)度、夾角、垂直等問題，解題時(shí)應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解．1.(1)(2013·高考湖北卷)已知點(diǎn)A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影為()A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2) D．－eq\f(3\r(15),2)(2)(2015·貴陽市適應(yīng)性考試)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是()A.eq\r(2) B．2C．0 D．1(3)(2015·廣東梅州模擬)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，1)，在x軸上存在一點(diǎn)P使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))有最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(－3，0) B．(2，0)C．(3，0) D．(4，0)解析：(1)選A.由已知得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(5，5)，因此eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影為eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).(2)選A.∵eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(