初中數(shù)學(xué)專(zhuān)題《整式乘法與因式分解》含答案解析

專(zhuān)題04整式的乘法與因式分解1．同底數(shù)冪的乘法

同底數(shù)冪的乘法法則：（m，n都是正整數(shù)）；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．注意底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式．2．冪的乘方冪的乘方法則：（m，n都是正整數(shù)），冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．冪的乘方法則可以逆用：即．3．積的乘方法則：（n是正整數(shù)）．積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積．4．整式的乘法（1）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．（2）單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即（都是單項(xiàng)式）．（3）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．（4）同底數(shù)冪的除法法則：（都是正整數(shù)，且），同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．（5）零指數(shù)：，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1．（6）單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．注意：首先確定結(jié)果的系數(shù)（即系數(shù)相除），然后同底數(shù)冪相除，若只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．（7）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所得的商相加．即：．5．平方差公式：，注意平方差公式展開(kāi)只有兩項(xiàng)．公式特征：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)．右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．6．完全平方公式：完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，首尾2倍中間放，符號(hào)和前一個(gè)樣．公式的變形使用：（1）；；；．（2）三項(xiàng)式的完全平方公式：．7．提公因式法

（1）會(huì)找多項(xiàng)式中的公因式；公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)、字母、指數(shù)①系數(shù)——各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項(xiàng)含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；（2）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來(lái)檢驗(yàn)是否漏項(xiàng)．（3）注意點(diǎn)：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”；②如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的．8．公式法

運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是：把整式中的乘法公式反過(guò)來(lái)使用；常用的公式：（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2．考點(diǎn)一、同底數(shù)冪的乘法例1（2020重慶）計(jì)算結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn) B．a(chǎn)2C．a(chǎn)3 D．a(chǎn)4【答案】C【解析】了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，，故選C．【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)二、冪的乘方例2（2020衢州）計(jì)算：，正確結(jié)果是（）A．a(chǎn)5 B．a(chǎn)6 C．a(chǎn)8 D．a(chǎn)9【答案】B【解析】（a2）3＝a6，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三、積的乘方例3（2020陜西）計(jì)算：=A． B． C． D．【答案】C【解析】=，故選C．【名師點(diǎn)睛】本題考查積的乘方的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．考點(diǎn)四、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式例4（2020臺(tái)州）計(jì)算2a2?3a4的結(jié)果是（）A．5a6 B．5a8 C．6a6 D．6a8【答案】C【解析】2a2?3a4＝6a6．故選：C．【名師點(diǎn)睛】本題考查的是單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)分別相乘，相同字母的冪分別相加，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式．考點(diǎn)五、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式例5（2020桂林）計(jì)算：=______.【答案】．【解析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，把單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，=，故答案為：．【名師點(diǎn)睛】本題考查的是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．考點(diǎn)六、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式例6（2020焦作模擬）計(jì)算（x+y）（x2﹣xy+y2）【答案】x3+y3．【解析】（x+y）（x2﹣xy+y2），＝x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3，＝x3+y3．【名師點(diǎn)睛】此題考查多項(xiàng)式的乘法，關(guān)鍵是根據(jù)多項(xiàng)式乘法的法則解答．考點(diǎn)七、整式的除法例7（2020吉林）下列運(yùn)算正確的是（）A．B．C． D．【答案】D【解析】A、，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C．，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意； D．，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)八、乘法公式的應(yīng)用例8（2020棗莊）圖（1）是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱(chēng)軸）剪開(kāi)，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖（2）那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空的部分的面積是（）A．a(chǎn)bB．(a+b)2C．(a-b)2 D．a(chǎn)2-b2【答案】C【解析】中間部分的四邊形式正方形，邊長(zhǎng)是a+b-2b=a-b,則面積是(a-b)2，故選：C．【名師點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，正確表示出小正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)九、運(yùn)用提公因式法分解因式例9（2020沈陽(yáng)）因式分解：2x2+x=______．【答案】x（2x+1）.【解析】2x2+x=x（2x+1）.故答案為：x（2x+1）.【名師點(diǎn)睛】本題考查了提取公因式法，正確找出公因式是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)十、運(yùn)用提公因式法、公式法分解因式例10（2020深圳）分解因式：m3-m=.【答案】.【解析】【名師點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)十一、因式分解的綜合運(yùn)用10.（2020西藏）下列分解因式正確的一項(xiàng)是（）A．x2-9=（x+3）（x-3）B．2xy+4x=2（xy+2x）C．x2-2x-1=（x-1）2 D．x2+y2=（x+y）2【答案】A.【解析】A、原式=（x+3）（x-3），符合題意；B、2xy+4x=2x（y+2）；不符合題意；C、原式不能分解，不符合題意；D、原式不能分解，不符合題意．故選：Ａ．【名師點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．一、選擇題1.（2020黔南州）下列運(yùn)算正確的是（）A．（a3）4=a12 B．a(chǎn)3·a4=a12C．a(chǎn)2+a2=a4 D．（ab）2=ab2【答案】A【解析】（a3）4=a3×4=a12，故A正確；∵a3·a4=a7，故B錯(cuò)誤；∵a2+a2=2a2，故C錯(cuò)誤；（ab）2=a2b2，故D錯(cuò)誤．故選A．2.（2020河北）對(duì)于①x-3xy=x（1-3y），②（x+3）（x-1）=x2+2x-3，從左到右的變形，表述正確的是（）A.都是因式分解B.都是乘法運(yùn)算C.①是因式分解②是乘法運(yùn)算D.①是乘法運(yùn)算②是因式分解【答案】C【解析】①x-3xy=x（1-3y），從左到右的變形都是因式分解；②（x+3）（x-1）=x2+2x-3，從左到右的變形是乘法運(yùn)算，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法運(yùn)算.故選：C.3.（2020德陽(yáng)）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2·a3=a6 B．（3a）3=9a3C．3a-2a=1 D．（-2a2）3=-8a6【答案】D.【解析】A選項(xiàng)，a2·a3=a5，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，（3a）3=27a3，故錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，3a-2a=a，故錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，（-2a2）3=-8a6，D正確.

故選D．4．計(jì)算（）2021×1.52020×（-1）2022的結(jié)果是（）A． B．C．- D．-【答案】A【解析】，故選A．5．（2020眉山）已知a2+b2=2a-b-2，則3a-b的值為（）A.4B.2C.-2D.-4【答案】A.【解析】∵a2+b2=2a-b-2∴a2-2a+1+b2+b+1=0，∴（a-1）2+（b+1）2=0，∴a-1=0，b+1=0，∴a=1，b=-2，∴3a-b=3+1=4.故選：A.6.（2020益陽(yáng)）下列因式分解正確的是（）A.a（a-b）-b（a-b）=（a-b）（a+b）B.a2-9b2=（a-3b）2C.a2+4ab+4b2=（a+2b）2D.a2-ab+a=a（a-b）【答案】C.【解析】A.a（a-b）-b（a-b）=（a-b）2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.a2-9b2=（a-3b）（a+3b），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.a2+4ab+4b2=（a+2b）2，正確；D.a2-ab+a=a（a-b+1），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.5．化簡(jiǎn)的結(jié)果正確的是（）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】==．故選C．7．(2020青海)下面是某同學(xué)在一次測(cè)試中的計(jì)算：①3m2n-5mn2=2mn；②2a2b（-2a2b）=-4a6b；③（a3）2=a5;④（-a3）÷（-a）=a2．其中運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為（）A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)【答案】D【解析】①3m2n與5mn2不是同類(lèi)項(xiàng)；不能合并，計(jì)算錯(cuò)誤；②2a2b（-2a2b）=-4a5b2；計(jì)算錯(cuò)誤；③（a3）2=a6;計(jì)算錯(cuò)誤；④（-a3）÷（-a）==（-a）3-1=a2．計(jì)算正確；故選D．8.（2020郴州）如圖1，將邊長(zhǎng)為x的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形（陰影部分），并將剩余部分沿線剪開(kāi)，得到兩個(gè)長(zhǎng)方形，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成圖2所示長(zhǎng)方形，這兩個(gè)圖能解釋下列哪個(gè)等式（）A.x2-2x+1=（x-1）2B.x2-1=（x+1）（x-1）C.x2+2x+1=（x+1）2D.x2-x=x（x-1）【答案】B.【解析】由圖可知，圖1的面積為：x2-12，圖2的面積為：（x+1）（x-）所以x2-1=（x+1）（x-），故選：B．9．一次課堂練習(xí)，一位同學(xué)做了4道因式分解題，你認(rèn)為這位同學(xué)做得不夠完整的題是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】．故選D．10．(2020荊門(mén)一模)已知xy＝﹣3，x+y＝2，則代數(shù)式x2y+xy2的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1【答案】A【解析】∵xy＝﹣3，x+y＝2，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝﹣6故選：A．二、填空題11.(2020株洲)因式分解：_____．【答案】．【解析】12．計(jì)算：（a-b）（a+b）=______；（-2x-5）（2x-5）=_____．【答案】；【解析】，．13．(2020焦作期末)如果（nx+1）（x2+x）的結(jié)果不含x2的項(xiàng)（n為常數(shù)），那么n＝．【答案】﹣1．【解析】（nx+1）（x2+x）＝nx3+nx2+x2+x＝nx3+（n+1）x2+x，∵（nx+1）（x2+x）的結(jié)果不含x2的項(xiàng)，∴n+1＝0，解得n＝﹣1，故答案為：﹣1．14.(2020宜昌)數(shù)學(xué)講究記憶方法．如計(jì)算時(shí)，若忘記了法則，可以借助（a5）2=a5×a5=a5+5=a10，得到正確答案．你計(jì)算（a2）5-a3×a7的結(jié)果是．【答案】0．【解析】（a2）5-a3×a7=a10-a10=0．故答案為：0．15.（2020成都）已知a=7-3b，則代數(shù)式a2+6ab+9b2的值為_(kāi)_____．【答案】49.【解析】∵a=7-3b，∴a+3b=7，∴a2+6ab+9b2=（a+3b）2=72=49，故答案為：49．16.（2020咸寧模擬）若整式x2+my2（m為常數(shù)，且m≠0）能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，則m的值可以是（寫(xiě)一個(gè)即可）．【答案】﹣1【解析】令m＝﹣1，整式為x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．故答案為：﹣1（答案不唯一）．17.（2020衢州）定義a※b=a（b+1），例如2※3=2×(3+1)=2×4=8，則（x-1）※x的結(jié)果為_(kāi)_____．【答案】x2-1【解析】根據(jù)題意得：（x-1）※x=（x-1）（x+1）=x2-1．故答案為：x2-1．三、解答題18.（2020武漢模擬）計(jì)算：（1）a3?a2?a4+（﹣a）2；（2）（x2﹣2xy+x）÷x【答案】（1）a9+a2；（2）x﹣2y+1．【解析】（1）a3?a2?a4+（﹣a）2＝a9+a2；（2）（x2﹣2xy+x）÷x＝x﹣2y+1．19．分解因式：（1）（m2+3m）2-8（m2+3m）-20；（2）4a2bc-3a2c2+8abc-6ac2；（3）（y2+3y）-（2y+6）2．【答案】詳解見(jiàn)解析．【解析】（1）==．（2）===．（3）===．20.（1）（2020長(zhǎng)春模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：(2a+1)2-4a(a-1)，其中．（2）（2020梧州一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】（1）2；（2）．【解析】（1）原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1，

當(dāng)時(shí)，原式=8a+1=2．（2）原式，當(dāng)時(shí)，原式．21.（2020荊州一模）利用因式分解簡(jiǎn)便計(jì)算：（1）57×99+44×99-99；（2）．【答案】詳解見(jiàn)解析．【解析】（1）57×99+44×99-99=（57+44–1）×99=100×99=9900．（2）=．22.（2020黃岡模擬）如圖，某市有一塊長(zhǎng)為（2a+b）米，寬為（a+b）米的長(zhǎng)方形地塊，規(guī)劃部門(mén)計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間將修建一座雕像．（1）試用含a，b的代數(shù)式表示綠化的面積是多少平方米？（2）若a＝3，b＝2，請(qǐng)求出綠化面積．【答案】（1）a2+3ab+b2；（2）31平方米．【解析】（1）綠化的面積是（2a+b）（a+b）﹣a2＝2a2+3ab+b2﹣a2＝a2+3ab+b2；（2）當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)，原式＝9+3×2×3+4＝31平方米．23.（200江西模擬）圖a是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中實(shí)現(xiàn)用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖b的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）圖b中，大正方形的邊長(zhǎng)是．陰影部分小正方形的邊長(zhǎng)是；（2）觀察圖b，寫(xiě)出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的一個(gè)等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）m+n；m﹣n；（2）見(jiàn)解析．【解析】（1）由圖b可得，大正方形的邊長(zhǎng)是m+n，陰影部分小正方形的邊長(zhǎng)是m﹣n；故答案為：m+n；m﹣n；（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．理由如下：右邊＝（m+n）2﹣4mn＝m2+2mn+n2﹣4mn＝m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝左邊，所以結(jié)論成立．24．探究題：觀察下列式子：（x2-1）÷（x-1）=x+1；（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1；（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1；（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1；（1）你能得到一般情況下的結(jié)果嗎？（n為正整數(shù)）（2）根據(jù)（1）的結(jié)果計(jì)算：1+2+22+23+24+…+262+263．【答案】詳解見(jiàn)解析．【解析】由題意可得：（1）…+1；（2）．25.（2020內(nèi)江）我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)x都可