初中數(shù)學(xué)：最短路徑求最值12個(gè)模型詳解

第第頁(yè)共8頁(yè)初中數(shù)學(xué)：最短路徑求最值12個(gè)模型詳解姓名：指導(dǎo)：日期：初二數(shù)學(xué)最短路徑問(wèn)題【問(wèn)題槪溢】銀卡R路徑冋題是團(tuán)論研究中的一個(gè)經(jīng)典算法問(wèn)題：盲在尋找圖〔由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的）中兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑.算法具體的形式包括；:①確定起點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題-即已知起始結(jié)點(diǎn)’求鍛短路徑的問(wèn)題.②確定終點(diǎn)的最垣路徑問(wèn)題-與確定起點(diǎn)的冋題相反，該問(wèn)題是已知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求最垣路徑的問(wèn)題.冷確定起點(diǎn)終點(diǎn)的爲(wèi)短路徑問(wèn)題-即已知起點(diǎn)和線(xiàn)點(diǎn)’求兩結(jié)點(diǎn)之間餉勰短路徑.④全局蟲(chóng)短路徑問(wèn)題-求圖中所有的最短踣徑.【問(wèn)題原型】“將軍牧馬3“造橋選址二“辭點(diǎn)：【涉及知誼】■■網(wǎng)點(diǎn)之間線(xiàn)嚴(yán)氨短冷“垂線(xiàn)段巔短”「-三毎刑三邊關(guān)系叫嘲對(duì)稱(chēng)\“平移敘【出題背景〕角、三角形、蓋形、拒吆正方晦、拂形，圓1坐標(biāo)軸、拋物線(xiàn)等.【解題思路】找對(duì)栢點(diǎn)實(shí)甥“折”轉(zhuǎn)“直二近兩年出現(xiàn)“三折垓”轉(zhuǎn)“啟T芳變式問(wèn)題若査.【十二個(gè)基本問(wèn)題】【問(wèn)題1]柞法圖舷原理1At?甘在直線(xiàn)/上求一點(diǎn)巴便刖+PB值最蕊連如與/交痰即為巴AR兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，鬼+PR最極值為「敗【問(wèn)題21??軍飲馬、作法原理叫J作西關(guān)于/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連A/i\與/交點(diǎn)即為廠(chǎng)簡(jiǎn)單初中生J「兩點(diǎn)之間線(xiàn)段蟲(chóng)短.用+円?最小值為討/}\

在直線(xiàn)F上求一點(diǎn)巴ffi瘞冊(cè)值最小.tHK3]作法J團(tuán)矗腫理/“zh在直線(xiàn)IJ上井別求點(diǎn)仏N,i^A/>WV的周長(zhǎng)罐小+分別件點(diǎn)F關(guān)于兩自線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1和P'；連a;與兩直線(xiàn)交點(diǎn)即為必M@簡(jiǎn)單初中主M,?p?兩點(diǎn)之間線(xiàn)段呆短.pmzz的最傘值為線(xiàn)逾廠(chǎng)嚴(yán),的長(zhǎng)，【問(wèn)題4】作法圖矗原理厶在直線(xiàn),仃上分別*點(diǎn)M、■使四邊出/\>u.v的周長(zhǎng)眾小.分別作點(diǎn)0*P關(guān)于直線(xiàn)人，心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)0'和P連0卩；與兩直線(xiàn)交點(diǎn)即為業(yè)N.V"嚴(yán)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段鍛張鼻四邊時(shí)心爪周長(zhǎng)的最小值為線(xiàn)段P'P、‘的￡【問(wèn)題刃“適橋選址F憚法圖磷膿理-?_*■1V?J直線(xiàn)冊(cè)//kt在也、n.上分別求點(diǎn)M.曲使MN丄刖，且總燈+械加+陽(yáng)的值最小.將點(diǎn)A向下平移處的長(zhǎng)度單位得A\連用戰(zhàn)交”于點(diǎn)他過(guò)N作胡制丄加于憂(yōu)=^=-■/T兩點(diǎn)之間線(xiàn)段蠱短.A\f+X/\^iN的最肌值為A'fl+VA；

【問(wèn)題"作法圖刑原理□1t1MITN在直線(xiàn)/上求兩點(diǎn)科5在左兒使AfjV=a,并便的值撮小.梅點(diǎn)A向右平移M牛長(zhǎng)度單位^A\作.4'關(guān)于/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)彳；連A黑交直線(xiàn)丿于點(diǎn)#將N點(diǎn)向左平移燈個(gè)單位得W.4ArM:A■.|T*Atl兩點(diǎn)之間結(jié)段鍛斑-.^f+MN+fiN的最屮2直為A仲他i【問(wèn)題門(mén)作法圖形原理￡在h上求點(diǎn)A.在兒上求點(diǎn)乩使PA+AJ1慣作點(diǎn)P關(guān)于人前對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸：件尸;?丄匚于/?,交打于A.￡◎b點(diǎn)到直線(xiàn)，垂線(xiàn)段最短.PA^AB的巔小値為線(xiàn)段P7?的長(zhǎng)*【問(wèn)題8】作法圖形原理.VR彳為片上一定點(diǎn)，k為4上一定點(diǎn)，在4上求點(diǎn)磧?cè)谌松锨簏c(diǎn)鼠使/f.-W+M'V+A'W的值最小.件點(diǎn)A芙于人的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)川\作點(diǎn)*關(guān)于人的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)「連AH1交4干慎交片于臥IT?/\/\/tlA'兩點(diǎn)之間線(xiàn)段長(zhǎng)短.AM+MN+NK的蟲(chóng)小值為線(xiàn)段川礦的論

【問(wèn)題叮作法圖形原理1在直線(xiàn)/上求一點(diǎn)耳使鬥-綱的值最少.連労乩作丿加的中垂線(xiàn)與:M錢(qián)丿的交點(diǎn)即垂直平分上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相|F4-?7i|=氏【剛￡10]作法圖形原理-■J在直線(xiàn)/上求…點(diǎn)匕便\PA-綱的値噩大.作直線(xiàn)4艮與直線(xiàn)/的交點(diǎn)即為只.rl三甬盤(pán)任意兩邊之差小于第三邊*懈-綱曲因\pa-ph\的最大值=AB.【問(wèn)題11】件法圖形原理A?/在直線(xiàn)f上求一點(diǎn)匕便'rA-pn\的值最大.件R關(guān)于/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H1作直線(xiàn)AH；與/交點(diǎn)即為P.■711ff三角形任意兩邊之差小于第三邊+|旳-』訓(xùn)MRS戶(hù)i-f購(gòu)最人值=4/J'.【問(wèn)題"】“賽馬點(diǎn)”件法圖形原理厶me中每一宵爲(wèi)都小于120°,在內(nèi)求一點(diǎn)P、便^4+PB+PC值備小.所求點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)S即滿(mǎn)足fiPC=WAP(J120°,以AB、A「為邊向外作等邊AABD.H：、連C7JxHE相交于P,點(diǎn)F即為所求.AC兩點(diǎn)之間短.PA+PR+PC>小值=CD.【例題及解析】例1如圖1,在直角梯AB('D中，ZABC^^O0,AD//BC,AD=4.AB=5,BC=6k點(diǎn)卩是幾忖上一牛動(dòng)點(diǎn).當(dāng)I忙+FD的和遍寸誦寸，四的長(zhǎng)為1}(A)l(Ff)2(C)25(D)3陽(yáng)I分析此題首先要確定P點(diǎn)的位董，可以延悵CB〔或DA)的一倍”即CB=BM,再連接MD交AE于點(diǎn)鞏大家可以思若一下P盤(pán)的正確性與合理性一可運(yùn)用兩點(diǎn)之間。線(xiàn)段最垣這一性質(zhì)〉.我們可以通過(guò)aMPB-ADPA,從而求出卩B的長(zhǎng)丫故選D.例2如圖2’AARC中，AB=AC=13.BC=W,川)是邊上的中堆，F(xiàn)為AD上的動(dòng)點(diǎn)，E^AC邊上的動(dòng)點(diǎn).則CE+EF的謊小值為-分折顯黙，本題撚要確定兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)K和片那么，怎樣確定這兩牛點(diǎn)呢？我們可以過(guò)點(diǎn)R作BE丄AC交AD于點(diǎn)廠(chǎng)從面確定了E和F點(diǎn)(大家可以用從直線(xiàn)外一點(diǎn)與肓錢(qián)上所有點(diǎn)的連線(xiàn)中，垂線(xiàn)段最毎來(lái)加以說(shuō)明).此時(shí)工F+EF=BE.用他臨=+仙-BC三抽-兀匚構(gòu)迤方程，求HlffE=詈.即CE+EF的垠小和為罟.例3如團(tuán)3,已卻平面直資塑標(biāo)系中，H(2a一3人B(4,-t).⑴若點(diǎn)卩兇0)是X軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APAB的周恢最短時(shí)，求x的值］(2)著C、門(mén)是X軸上的兩亍動(dòng)點(diǎn)，且口2,町，CD=3,當(dāng)四邊形ABCD的周悵最短時(shí),求日的僧：卩)設(shè)M,N分別為x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn):是否存在遠(yuǎn)樣的點(diǎn)M(m,0)5ftN(0,n)P使得四邊秤ABMN的周長(zhǎng)強(qiáng)垣？若存在，求出mTb的值.若不存在，請(qǐng)說(shuō)聊理由.分新與解⑴如圖二找出A(或0)關(guān)于r軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)知，連結(jié)A田交x軸于點(diǎn)P,設(shè)直^AiB的解祈式為尸kix+bi.將九館穌BQ-I)代入，褥故y=-2\-故y=-2\-+7?r=0時(shí),±=--.I打陽(yáng)』K4門(mén))如圖％過(guò)A點(diǎn)作X軸的平行線(xiàn)，幷戡取AA,=?.畫(huà)點(diǎn)A|關(guān)于工軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).g連結(jié)人田交X鈾于點(diǎn)仁再存汶軸上裁販「口=乩可得闔長(zhǎng)最短的四邊ARCI)(大家也可以利用兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最娠，來(lái)證明凰短周長(zhǎng)的正確性).由題倉(cāng)，可対4t(5.J).設(shè)由題倉(cāng)，可対4t(5.J).設(shè)AtB的玄線(xiàn)解析集為y工打工+1>±.啟2.-I)代兒轉(zhuǎn)如團(tuán)耳我們可以先分別找出仏B關(guān)于y軸和x魅前對(duì)稱(chēng)點(diǎn)九和乩再連結(jié)AtRi,分別交X軸和y軸于點(diǎn)M與2此時(shí)*四邊ABMN的周從是最短的(同釋,可戍用兩點(diǎn)之間’線(xiàn)股嚴(yán)短來(lái)加以證明〉.設(shè)九隔的宜線(xiàn)解析式沏y=k/+旳.將鉗-監(jiān)代人"得例斗如團(tuán)①四邊形AIKD是正右形，M星對(duì)角線(xiàn)BD上的任恿一點(diǎn).（I）當(dāng)點(diǎn)時(shí)在何處時(shí)，AM4-CM的值謚??？⑵當(dāng)點(diǎn)削在何址時(shí)，AM十BM+CM的值最小？井說(shuō)明理由一HUIS7分析（1｝（如風(fēng)叫顯酬，連結(jié)加？與BD的交點(diǎn)即為陽(yáng)點(diǎn)（可利用兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段羅逅來(lái)證明〉一（可如圖人以九B為邊在正右形外畫(huà)等邊三角形ABE,連