《偶然誤差理論》課件

大學物理實驗1a大學物理實驗1a內(nèi)容提示第1節(jié)偶然誤差理論第2節(jié)測量結(jié)果不確定度評定第3節(jié)有效數(shù)字的記錄與計算第4節(jié)實驗方案的選擇原則第5節(jié)數(shù)據(jù)處理常用方法2a內(nèi)容提示第1節(jié)偶然誤差理論第2節(jié)測量結(jié)果不確定度評定第1節(jié)偶然誤差理論一、測量與誤差的基本概念二、偶然誤差理論3a第1節(jié)偶然誤差理論一、測量與誤差的基本概念二、偶然誤差理一、測量與誤差的基本概念/MeasurementandError1.測量的定義與分類2.真值、算術(shù)平均值3.誤差、偏差4.誤差的分類5.測量結(jié)果的兩種表示4a一、測量與誤差的基本概念/Measurementand1.測量的定義與分類測量:

就是通過物理實驗的方法，把被測量與作為標準的同類單位量進行比較的過程。直接測量法（directmethodofmeasurement)間接測量法

分類5a1.測量的定義與分類測量:就是通過物理實驗的方法，把被2.真值、算術(shù)平均值（truevalueandarithmeticmean)真值:某物理量客觀存在的值稱真值是個理想的概念，一般不可能準確知道。多次測量的算術(shù)平均值可作為真值的最佳近似值算術(shù)平均值6a2.真值、算術(shù)平均值（truevalueandari3.誤差、偏差

(errorandresidualerror)誤差：被測物理量的測量值與真值之差

偏差：被測物理量的測量值與算術(shù)平均值之差7a3.誤差、偏差(errorandresiduale4.誤差的分類系統(tǒng)誤差(systematicerror)偶然誤差(accidentalerror)在同一條件下多次測量同一物理量時，其結(jié)果的符號和大小按一定規(guī)律變化的誤差儀器誤差方法誤差環(huán)境誤差人為誤差

來源對于數(shù)學期望值為零的隨機誤差通常稱它為偶然誤差。8a4.誤差的分類系統(tǒng)誤差(systematicerro隨機誤差(randomerror)在消除或修正系統(tǒng)誤差之后，測量結(jié)果仍會出現(xiàn)一些無規(guī)律的起伏。這種絕對值和符號隨機變化的誤差，稱為隨機誤差9a隨機誤差(randomerror)在消除或修正系統(tǒng)誤差之后4.誤差的分類系統(tǒng)誤差偶然誤差在同一條件下多次測量同一物理量時，其結(jié)果的符號和大小按一定規(guī)律變化的誤差儀器誤差方法誤差環(huán)境誤差人為誤差

來源主觀方面測量儀器方面環(huán)境方面

來源對于數(shù)學期望值為零的隨機誤差通常稱它為偶然誤差。10a4.誤差的分類系統(tǒng)誤差偶然誤差在同一條件下多次測量同一物

一、判別下列幾種情況產(chǎn)生的誤差屬于何種誤差？

1.米尺的刻度不均勻；

2.游標卡尺或外徑千分尺零點不準；

3.加熱絲的電阻隨溫度變化對熱功率帶來的誤差；

4.電網(wǎng)電壓的變化對加熱功率帶來的誤差；

5.電表接入被測電路所引起的誤差； 11a11a5.測量結(jié)果的兩種表示測量結(jié)果的誤差表示方式測量結(jié)果的不確定度表示方式測量結(jié)果＝x±Δx

測量結(jié)果＝xu12a5.測量結(jié)果的兩種表示測量結(jié)果的誤差表示方式二、偶然誤差理論1.偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律2.標準誤差的意義3.的最佳估計值——樣本的標準偏差13a二、偶然誤差理論1.偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律2.標準誤差1.偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律偶然誤差分布函數(shù)：x：表示測量誤差（測量值與真值之差）

f（x）：表示測量誤差x出現(xiàn)的概率14a1.偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律偶然誤差分布函數(shù)：x：表示測對應(yīng)正態(tài)分布(normaldistribution)的圖：有界性單峰性對稱性抵償性15a對應(yīng)正態(tài)分布(normaldistribution)的圖：2.標準誤差的意義(populationstandarddeviation)

是正態(tài)分布函數(shù)的一個參數(shù)

σ可以表示測量值偏離真值大小的程度。此時，被稱為標準誤差測量誤差在（－σ，+σ）內(nèi)的概率為68.3%；測量誤差在（－3σ，+3σ）內(nèi)的概率為99.73%；σ小σ大16a2.標準誤差的意義(populationstan3.的最佳估計值——樣本的標準偏差

(experimentalstandarddeviation)貝塞耳(Bessel)公式利用計算器的統(tǒng)計功能可以直接計算樣本的標準偏差17a3.的最佳估計值——樣本的標準偏差貝塞耳(Bes一、不確定度的兩類分量二、直接測量量的不確定度評定步驟第2節(jié)測量結(jié)果不確定度評定三、間接測量量的不確定度評定步驟18a一、不確定度的兩類分量二、直接測量量的不確定度評定步驟第2節(jié)一、不確定度的兩類分量1.不確定度的定義(uncertaintyofmeasurement)其中u值可以通過一定的方法進行估算，稱為不確定度。它表示由于測量誤差的存在而對被測量值不能確定的程度?；蛘哒f以測量結(jié)果作為被測量真值的估計值時可能存在誤差的范圍，并且在這個范圍內(nèi)以一定的概率(probability)

包含真值。

測量結(jié)果＝ｘu

（P=）

對測量值的準確程度給出一個量化的表述19a一、不確定度的兩類分量1.不確定度的定義(uncer2.不確定度的兩類分量是指可以采用統(tǒng)計方法計算的不確定度。（即具有隨機誤差性質(zhì)）這類不確定度被認為是服從正態(tài)分布規(guī)律的Ａ類統(tǒng)計不確定度(Standarduncertainty:TypeA)

20a2.不確定度的兩類分量是指可以采用統(tǒng)計方法計算的不確定度。是指用非統(tǒng)計方法求出或評定的不確定度Ｂ類非統(tǒng)計不確定度(Standarduncertainty:TypeB)

對Ｂ類不確定度的估計作簡化處理，只討論因儀器不準對應(yīng)的不確定度。儀器不準確的程度主要用儀器誤差來表示，即：21a是指用非統(tǒng)計方法求出或評定的不確定度Ｂ類非統(tǒng)計不確定度3.合成不確定度(combinedstandarduncertainty)22a3.合成不確定度(combinedstandardu二、直接測量量的不確定度評定步驟（1）修正測量數(shù)據(jù)中的可定系統(tǒng)誤差；（2）計算測量列的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果的最佳值；（3）計算測量列的樣本標準偏差；（4）樣本標準偏差作為不確定度Ａ類分量；（5）計算不確定度的Ｂ類分量；（6）求合成不確定度（7）寫出最終結(jié)果表示：23a二、直接測量量的不確定度評定步驟（1）修正測量數(shù)據(jù)中的可定系[解]：1）修正測量數(shù)據(jù)中可定系統(tǒng)誤差（如零點修正，本題不用）例：用毫米刻度的米尺，測量物體長度十次，其測量值分別是：l=53.27；53.25；53.23；53.29；53.24；53.28；53.26；53.20；53.24；53.21(單位cm）。試計算合成不確定度，并寫出測量結(jié)果。2）計算l的最佳估值;3)計算Ａ類不確定度:4)Ｂ類不確定度:5）合成不確定度：6）測量結(jié)果：24a[解]：例：用毫米刻度的米尺，測量物體長度十次，其測量值分別三、間接測量量的不確定度評定步驟間接測量量直接測量量25a三、間接測量量的不確定度評定步驟間接測量量直接測量量25a1.間接測量量的最佳值為間接測量量的最佳值注意：

26a1.間接測量量的最佳值為間接測量量的最佳值注意：262.不確定度的傳遞以微小量代替微元，得：不確定度與微小量之間的關(guān)系：27a2.不確定度的傳遞以微小量代替微元，得：不確定度與微小28a28a對于以乘、除運算為主的函數(shù)29a對于以乘、除運算為主的函數(shù)29a例：已知質(zhì)量m=（213.04±0.05）g，的銅圓柱體，用0~125mm、分度值為0.02mm的游標卡尺測量其高度h六次；用一級0~25mm千分尺測量其直徑D也是六次，其測值列入下表（儀器零點示值均為零），求銅的密度。次數(shù)123456高度h/mm80.3880.3780.3680.3880.3680.37直徑D/mm19.46519.46619.46519.46419.46719.46630a例：次數(shù)123456高度h/mm80.3880.3780.3解：銅圓柱體的密度：可見ρ是間接測量量。由題意，質(zhì)量m是已知量，直徑D、高度h是直接量。31a解：銅圓柱體的密度：31a（1）高度h的最佳值及不確定度：游標卡尺的儀器誤差：（中間運算，可以多取一位）因此得：32a（1）高度h的最佳值及不確定度：游標卡尺的儀器誤差：（中間運（2）直徑D的最佳值及不確定度：（中間運算，可以多取一位）因此得千分尺的儀器誤差：33a（2）直徑D的最佳值及不確定度：（中間運算，可以多取一位）因（3）密度的算術(shù)平均值：（4）密度的不確定度：34a（3）密度的算術(shù)平均值：（4）密度的不確定度：34a因此得：（5）密度測量的最后結(jié)果為：35a因此得：（5）密度測量的最后結(jié)果為：35a一、直接測量量的有效數(shù)字之運算二、間接測量量的有效數(shù)字之運算三、有效數(shù)字的舍入法則第3節(jié)有效數(shù)字的記錄與計算

(significantfigure)36a一、直接測量量的有效數(shù)字之運算二、間接測量量的有效數(shù)字之運算一、直接測量量的有效數(shù)字之運算1.一般讀數(shù)應(yīng)讀到最小分度以下再估一位;2.有時讀數(shù)的估計位，就取在最小分度位；4.數(shù)字式儀表及步進讀數(shù)儀器不需要進行估讀，儀器所顯示的未位就是欠準數(shù)字；3.游標類量具只讀到游標分度值，一般不估讀；5.在讀取數(shù)據(jù)時，如果測值恰好為整數(shù)，則必須補“０”，一直補到可疑位。37a一、直接測量量的有效數(shù)字之運算1.一般讀數(shù)應(yīng)讀到最小分讀數(shù)舉例：2.02cm0.919KΩ0~500mA0~200mA129mA114.8mA38a讀數(shù)舉例：2.02cm0.919KΩ0~500mA0~2二、間接測量量的有效數(shù)字之運算（1）加減運算時，“尾數(shù)取齊”。例如：278.2+12.451=290.7。（3）乘方、開方運算，其結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與被乘方、開方數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例如：（4）一般說來，函數(shù)運算的有效數(shù)字，應(yīng)按間接量測量誤差（不確定度）傳遞公式進行計算后決定。(中間運算過程中可以多取幾位)（2）乘除運算時，“位數(shù)取齊”。例如：5.438×20.5=11139a二、間接測量量的有效數(shù)字之運算（1）加減運算時，“尾數(shù)取齊三、有效數(shù)字的舍入法則

(rulesforroundingoffofnumericalvalue)“小于五舍去，大于五進位，等于五湊偶”將下列數(shù)據(jù)保留三位有效數(shù)字：40a三、有效數(shù)字的舍入法則“小于五舍去，大于五進位，等于五湊偶一、測量儀器的選擇二、測量最佳條件的選擇三、測量環(huán)境的選擇第4節(jié)實驗方案的選擇原則41a一、測量儀器的選擇二、測量最佳條件的選擇三、測量環(huán)境的選擇第一、測量儀器的選擇①儀器選擇：精度、量程、使用方式。②儀器搭配：保證測量時由儀器引入的誤差符合測量要求，同時又經(jīng)濟實惠42a一、測量儀器的選擇①儀器選擇：精度、量程、使用方式。測間接測量量，若對函數(shù)的最大相對誤差給出限制，即要求不大于給定的百分數(shù)值，則各獨立變量誤差對函數(shù)Ｎ的相對誤差傳遞按等貢獻分配。儀器搭配原則—誤差均分原則43a測間接測量量最大相對誤差傳遞公式：（儀器誤差傳遞公式）

注意：均分原則不是絕對的。實驗設(shè)計時可根據(jù)具體情況，適當調(diào)整各直接測量量的所占分額。但均分原則理論上講是科學的。誤差均分：44a最大相對誤差傳遞公式：（儀器誤差傳遞公式）注意：均例：測量某圓柱體的體積（H≈40mm；D≈4mm)，要求由儀器引入的相對誤差≤0.5%，問應(yīng)如何選配儀器？解：由誤差均分原則：相對誤差傳遞公式：用十分度的游標卡尺（）測高度H；用外徑千分尺（）測直徑D可滿足要求。45a例：測量某圓柱體的體積（H≈40mm；D≈4mm)，要求由儀二、測量最佳條件的選擇

測量結(jié)果的誤差大小除了與儀器的精度有關(guān)外，還與測試條件有關(guān)。46a二、測量最佳條件的選擇測量結(jié)果的誤差大小除了設(shè)間接測量量，其相對誤差為：欲使最小，只要滿足下式即可。NND確定最佳測試條件的原則：47a設(shè)間接測量量例1．用線式電橋測電阻，，式中和為滑線兩臂長，Ｌ＝+，問滑動片在什么位置作測量，能使相對誤差最?。縂48a例1．用線式電橋測電阻，解：相對誤差假定R0與滑線總長L為準確數(shù)這就是線式電橋測電阻時的最佳條件

49a解：相對誤差假定R0與滑線總長L為準確數(shù)這就是線式三、測量環(huán)境的選擇

在選擇實驗方案、設(shè)計實驗裝置時，總是要突出所要研究或測量的對象，排除干擾，也就是要盡量的提高“信噪比”，不能使待測量淹沒在誤差之中。50a三、測量環(huán)境的選擇在選擇實驗方案、設(shè)計實驗裝第5節(jié)數(shù)據(jù)處理常用方法一、列表法二、作圖法三、逐差法四、最小二乘法51a第5節(jié)數(shù)據(jù)處理常用方法一、列表法二、作圖法三、逐差1.列表法

一種記錄測量數(shù)據(jù)的方法；根據(jù)需要有時把計算過程的中間值列在數(shù)據(jù)表中；要交代清表中各符號所代表的物理量并在符號后寫明單位；表中數(shù)據(jù)要正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字一實驗數(shù)據(jù)的處理方法52a1.列表法一種記錄測量數(shù)據(jù)的方法；一52a列表法示例1:伏安法測電阻數(shù)據(jù)記錄次數(shù)12345電流I（A）0.0820.0940.1310.1700.210電壓U（V）0.871.001.401.802.30電流I和電壓U均為直接測量量；電流I的單位：A；電壓U的單位：V；按有效數(shù)字規(guī)則記錄數(shù)據(jù)。53a列表法示例1:伏安法測電阻數(shù)據(jù)記錄次數(shù)12312…….8（℃）14.623.2……61.90.003470.00337……0.00298

（Ω）271.3223.4……66.95.60325.4090……4.203列表法示例2:熱敏電阻溫度特性研究數(shù)據(jù)記錄直接測量量中間量54a12…….8（℃）14.623.2……61.90.003472.作圖法（1）常用圖線類型一實驗數(shù)據(jù)的處理方法函數(shù)曲線校準曲線55a2.作圖法（1）常用圖線類型一函數(shù)曲線校準曲線55a函數(shù)曲線

在一定條件下，某一物理量與另一物理量之間的相互關(guān)系；圖線是光滑曲線UI熱敏電阻的溫度曲線

伏安特性曲線

56a函數(shù)曲線在一定條件下，某一物理量與另一物理量UI熱敏電阻校準曲線

相鄰校準點以直線連接；校準曲線與被校準儀器一起使用Ix△Ix△Imax電流表校準曲線57a校準曲線相鄰校準點以直線連接；Ix△Ix△Imax電流表校（2）作圖方法與規(guī)則2.作圖法1）作圖一定要用坐標紙2）圖中要標明圖名、軸名，并適當選取x軸、y軸比例（且符合有效數(shù)字位數(shù)要求）及坐標的起點，使圖形比較對稱地充滿整個圖紙。3）描點和連線。描點可用“+、×、⊙”符號表示數(shù)據(jù)點。連線要縱觀所有數(shù)據(jù)點的變化趨勢，充分尊重實驗事實，不要人為地往理論上靠。所連的線不一定要通過所有的數(shù)據(jù)點，而要在線的兩測數(shù)據(jù)點均衡分布。4）表明圖線特征（截距、斜率等，標出被選計算點坐標）58a（2）作圖方法與規(guī)則2.作圖法1）作圖一定要用坐標紙58

不同類型的坐標紙一實驗數(shù)據(jù)的處理方法直角坐標紙單對數(shù)坐標紙雙對數(shù)坐標紙極坐標紙59a不同類型的坐標紙一直角坐標紙單對數(shù)坐標紙雙對數(shù)坐標紙極坐標某金屬絲電阻溫度曲線（23.0，77.00）（50.0，85.00）t**金屬絲電阻溫度曲線作圖人：張三同組人：李四日期：05.9.2060a某金屬絲電阻溫度曲線（23.0，77.00）（50.0，85（3）作圖法應(yīng)用

粗略確定兩物理量間相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系；

圖線內(nèi)插法或外推法測得無法測得的物理量；

校準曲線；一實驗數(shù)據(jù)的處理方法2.作圖法曲線改直；61a（3）作圖法應(yīng)用粗略確定兩物理量間相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系；圖線外推法一實驗數(shù)據(jù)的處理方法通過外推法可推算出氣墊導(dǎo)軌上滑塊的瞬時速度V△X（cm）246810V瞬時062a外推法一通過外推法可推算出氣墊導(dǎo)軌上滑塊的瞬時速度V△X（c曲線改直（例半導(dǎo)體熱敏電阻電阻溫度特性）一實驗數(shù)據(jù)的處理方法RTTlnRT1/T63a曲線改直（例半導(dǎo)體熱敏電阻電阻溫度特性）一RTTlnRT1/3.逐差法

當自變量成線性關(guān)系，而自變量為等間距變化時，用逐差法處理更具有獨特的優(yōu)點。一實驗數(shù)據(jù)的處理方法64a3.逐差法當自變量成線性關(guān)系，而自變量為一實驗數(shù)據(jù)的處理方法一般方法取平均：可見中間值全部消掉，只有始末兩個測量值起作用。例：楊氏模量實驗（鋼絲不斷地增加等負荷情況下，測定其伸長量

Δx的平均值）伸長量：Δx1Δx2Δx3Δx4Δx5Δx6Δx7

測量序號：12345678

測量值：x1x2x3x4x5x6x7x8

65a一實驗數(shù)據(jù)的處理方法一般方法取平均：可見中間值全部消掉，只有測量序號：12345678測量值：x1x2x3x4x5x6x7x8逐差法取平均：一實驗數(shù)據(jù)的處理方法逐差法具有充分利用數(shù)據(jù)，減小誤差的優(yōu)點

逐差伸長量：Δx1

Δx2Δx3Δx4逐差伸長量的定義（分兩組）：

Δxi=xi+4-xi66a測量序號：1234.最小二乘法？從一組實驗數(shù)據(jù)中客觀地找出一條最佳的擬合曲線作圖法直觀、方便，但在曲線的繪制上帶有一定的主觀隨意性。同一組數(shù)據(jù)可能會得到不同的擬合曲線。一實驗數(shù)據(jù)的處理方法YX67a4.最小二乘法？從一組實驗數(shù)據(jù)中客觀地找出一條最佳的擬合曲一實驗數(shù)據(jù)的處理方法（1）回歸方程的確定y=a+bx（2）相關(guān)系數(shù)r4.最小二乘法（一種精確的曲線擬合方法）68a一（1）回歸方程的確定y=a+bx（2）相關(guān)系數(shù)（1）回歸方程的確定x1x2…xi…xny1y2…yi…yn4.最小二乘法設(shè)兩個物理量之間滿足線性關(guān)系:測量值yi與計算出的y值之間的偏差為最小二乘法原理:所有偏差平方之和為最小值時，所擬合的直線為最佳。

69a（1）回歸方程的確定x1x2…xi…xny1y2…（1）回歸方程的確定x1x2…xi…xny1y2…yi…yny=a+bx一實驗數(shù)據(jù)的處理方法4.最小二乘法70a（1）回歸方程的確定x1x2…xi…xny1y2…（2）相關(guān)系數(shù)r一實驗數(shù)據(jù)的處理方法4.最小二乘法71a（2）相關(guān)系數(shù)r一4.最小二乘法71a相關(guān)系數(shù)r圖解一實驗數(shù)據(jù)的處理方法72a相關(guān)系數(shù)r圖解一72a一實驗數(shù)據(jù)的處理方法例題：

實驗測量一組數(shù)據(jù)點如下：x=0，1.000，2.000，3.000，4.000，5.000y=0，0.780，1.576，2.332，3.082，3.898用最小二乘法求經(jīng)驗公式。解：①設(shè)定x、y滿足線性關(guān)系：y=a+bx②用最小二乘法求系數(shù)a、b③求相關(guān)系數(shù)r=0.999999④經(jīng)驗公式：y=0.00517+0.7758x73a一例題：實驗測量一組數(shù)據(jù)點如下：解：73參考書《基礎(chǔ)物理實驗教程－物理測量的數(shù)據(jù)處理與實驗設(shè)計》

朱賀年編著高等教育出版社《物理實驗教程》第二版丁慎訓(xùn)主編清華大學出版社《物理實驗教學參考書》潘人培主編高等教育出版社《大學物理實驗》武瑞蘭主編中國計量出版社《普通物理實驗教程》曾貽偉主編北京師范大學出版社

《大學物理實驗》陸廷濟等編著同濟大學出版社74a參考書《基礎(chǔ)物理實驗教程－物理測量的數(shù)據(jù)處理與實驗設(shè)計》7

一、網(wǎng)絡(luò)選課說明所有參加實驗學生（含重修生）參加網(wǎng)絡(luò)選課，登陸物理實驗室網(wǎng)站85。用戶名：學號，密碼：學號。（杜偉勝老師負責）實驗時間及開設(shè)的實驗項目均公布在網(wǎng)站上，選課時間：提前一周（周一早0點開通下周實驗）選下一周的實驗。（做實驗的時間盡量在自己班時間內(nèi)，但可靈活掌握）注意事項：每周只能選1個實驗；（實驗前2天內(nèi)不能退實驗。如不辦理退課又不準時參加實驗，視為曠課）。75a一、網(wǎng)絡(luò)遺失密碼須到實驗室重新登記。第13周結(jié)束前必須完成6個實驗，并總成績合格（36分以上），否則不能參加期末考試。實驗中的一些問題或疑問除了在實驗中及時向教師請教、交流。也可通過網(wǎng)站的“實驗論壇”留言給教師。教師將在每星期三集中回答一星期的問題。76a遺失密碼須到實驗室重新登記。76a二、實驗注意事項遲到15分鐘，取消實驗資格。請假要有有效的假條。嚴肅處理中途退場、冒名頂替或偽造實驗數(shù)據(jù)者。學生進入實驗室后先交預(yù)習報告，再檢查本實驗儀器是否齊全、完好，如果發(fā)現(xiàn)問題及時報告。實驗過程中發(fā)現(xiàn)儀器損壞，要報告教師。實驗中若發(fā)現(xiàn)問題應(yīng)及時向教師請教。實驗中要求自己多動手操作。若兩個人合作，要輪流操作。反對所有內(nèi)容均有一個人完成。要用鋼筆或圓珠筆記錄原始數(shù)據(jù)，不能用鉛筆。實驗完畢，將實驗數(shù)據(jù)交教師審查簽字，再將實驗儀器整理還原后方可離開實驗室。決不允許偽造實驗數(shù)據(jù)。注意老師的具體實驗要求，部分實驗要求當堂交實驗報告。77a二、實驗注意事項77a大學物理實驗78a大學物理實驗1a內(nèi)容提示第1節(jié)偶然誤差理論第2節(jié)測量結(jié)果不確定度評定第3節(jié)有效數(shù)字的記錄與計算第4節(jié)實驗方案的選擇原則第5節(jié)數(shù)據(jù)處理常用方法79a內(nèi)容提示第1節(jié)偶然誤差理論第2節(jié)測量結(jié)果不確定度評定第1節(jié)偶然誤差理論一、測量與誤差的基本概念二、偶然誤差理論80a第1節(jié)偶然誤差理論一、測量與誤差的基本概念二、偶然誤差理一、測量與誤差的基本概念/MeasurementandError1.測量的定義與分類2.真值、算術(shù)平均值3.誤差、偏差4.誤差的分類5.測量結(jié)果的兩種表示81a一、測量與誤差的基本概念/Measurementand1.測量的定義與分類測量:

就是通過物理實驗的方法，把被測量與作為標準的同類單位量進行比較的過程。直接測量法（directmethodofmeasurement)間接測量法

分類82a1.測量的定義與分類測量:就是通過物理實驗的方法，把被2.真值、算術(shù)平均值（truevalueandarithmeticmean)真值:某物理量客觀存在的值稱真值是個理想的概念，一般不可能準確知道。多次測量的算術(shù)平均值可作為真值的最佳近似值算術(shù)平均值83a2.真值、算術(shù)平均值（truevalueandari3.誤差、偏差

(errorandresidualerror)誤差：被測物理量的測量值與真值之差

偏差：被測物理量的測量值與算術(shù)平均值之差84a3.誤差、偏差(errorandresiduale4.誤差的分類系統(tǒng)誤差(systematicerror)偶然誤差(accidentalerror)在同一條件下多次測量同一物理量時，其結(jié)果的符號和大小按一定規(guī)律變化的誤差儀器誤差方法誤差環(huán)境誤差人為誤差

來源對于數(shù)學期望值為零的隨機誤差通常稱它為偶然誤差。85a4.誤差的分類系統(tǒng)誤差(systematicerro隨機誤差(randomerror)在消除或修正系統(tǒng)誤差之后，測量結(jié)果仍會出現(xiàn)一些無規(guī)律的起伏。這種絕對值和符號隨機變化的誤差，稱為隨機誤差86a隨機誤差(randomerror)在消除或修正系統(tǒng)誤差之后4.誤差的分類系統(tǒng)誤差偶然誤差在同一條件下多次測量同一物理量時，其結(jié)果的符號和大小按一定規(guī)律變化的誤差儀器誤差方法誤差環(huán)境誤差人為誤差

來源主觀方面測量儀器方面環(huán)境方面

來源對于數(shù)學期望值為零的隨機誤差通常稱它為偶然誤差。87a4.誤差的分類系統(tǒng)誤差偶然誤差在同一條件下多次測量同一物

一、判別下列幾種情況產(chǎn)生的誤差屬于何種誤差？

1.米尺的刻度不均勻；

2.游標卡尺或外徑千分尺零點不準；

3.加熱絲的電阻隨溫度變化對熱功率帶來的誤差；

4.電網(wǎng)電壓的變化對加熱功率帶來的誤差；

5.電表接入被測電路所引起的誤差； 88a11a5.測量結(jié)果的兩種表示測量結(jié)果的誤差表示方式測量結(jié)果的不確定度表示方式測量結(jié)果＝x±Δx

測量結(jié)果＝xu89a5.測量結(jié)果的兩種表示測量結(jié)果的誤差表示方式二、偶然誤差理論1.偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律2.標準誤差的意義3.的最佳估計值——樣本的標準偏差90a二、偶然誤差理論1.偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律2.標準誤差1.偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律偶然誤差分布函數(shù)：x：表示測量誤差（測量值與真值之差）

f（x）：表示測量誤差x出現(xiàn)的概率91a1.偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律偶然誤差分布函數(shù)：x：表示測對應(yīng)正態(tài)分布(normaldistribution)的圖：有界性單峰性對稱性抵償性92a對應(yīng)正態(tài)分布(normaldistribution)的圖：2.標準誤差的意義(populationstandarddeviation)

是正態(tài)分布函數(shù)的一個參數(shù)

σ可以表示測量值偏離真值大小的程度。此時，被稱為標準誤差測量誤差在（－σ，+σ）內(nèi)的概率為68.3%；測量誤差在（－3σ，+3σ）內(nèi)的概率為99.73%；σ小σ大93a2.標準誤差的意義(populationstan3.的最佳估計值——樣本的標準偏差

(experimentalstandarddeviation)貝塞耳(Bessel)公式利用計算器的統(tǒng)計功能可以直接計算樣本的標準偏差94a3.的最佳估計值——樣本的標準偏差貝塞耳(Bes一、不確定度的兩類分量二、直接測量量的不確定度評定步驟第2節(jié)測量結(jié)果不確定度評定三、間接測量量的不確定度評定步驟95a一、不確定度的兩類分量二、直接測量量的不確定度評定步驟第2節(jié)一、不確定度的兩類分量1.不確定度的定義(uncertaintyofmeasurement)其中u值可以通過一定的方法進行估算，稱為不確定度。它表示由于測量誤差的存在而對被測量值不能確定的程度?；蛘哒f以測量結(jié)果作為被測量真值的估計值時可能存在誤差的范圍，并且在這個范圍內(nèi)以一定的概率(probability)

包含真值。

測量結(jié)果＝ｘu

（P=）

對測量值的準確程度給出一個量化的表述96a一、不確定度的兩類分量1.不確定度的定義(uncer2.不確定度的兩類分量是指可以采用統(tǒng)計方法計算的不確定度。（即具有隨機誤差性質(zhì)）這類不確定度被認為是服從正態(tài)分布規(guī)律的Ａ類統(tǒng)計不確定度(Standarduncertainty:TypeA)

97a2.不確定度的兩類分量是指可以采用統(tǒng)計方法計算的不確定度。是指用非統(tǒng)計方法求出或評定的不確定度Ｂ類非統(tǒng)計不確定度(Standarduncertainty:TypeB)

對Ｂ類不確定度的估計作簡化處理，只討論因儀器不準對應(yīng)的不確定度。儀器不準確的程度主要用儀器誤差來表示，即：98a是指用非統(tǒng)計方法求出或評定的不確定度Ｂ類非統(tǒng)計不確定度3.合成不確定度(combinedstandarduncertainty)99a3.合成不確定度(combinedstandardu二、直接測量量的不確定度評定步驟（1）修正測量數(shù)據(jù)中的可定系統(tǒng)誤差；（2）計算測量列的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果的最佳值；（3）計算測量列的樣本標準偏差；（4）樣本標準偏差作為不確定度Ａ類分量；（5）計算不確定度的Ｂ類分量；（6）求合成不確定度（7）寫出最終結(jié)果表示：100a二、直接測量量的不確定度評定步驟（1）修正測量數(shù)據(jù)中的可定系[解]：1）修正測量數(shù)據(jù)中可定系統(tǒng)誤差（如零點修正，本題不用）例：用毫米刻度的米尺，測量物體長度十次，其測量值分別是：l=53.27；53.25；53.23；53.29；53.24；53.28；53.26；53.20；53.24；53.21(單位cm）。試計算合成不確定度，并寫出測量結(jié)果。2）計算l的最佳估值;3)計算Ａ類不確定度:4)Ｂ類不確定度:5）合成不確定度：6）測量結(jié)果：101a[解]：例：用毫米刻度的米尺，測量物體長度十次，其測量值分別三、間接測量量的不確定度評定步驟間接測量量直接測量量102a三、間接測量量的不確定度評定步驟間接測量量直接測量量25a1.間接測量量的最佳值為間接測量量的最佳值注意：

103a1.間接測量量的最佳值為間接測量量的最佳值注意：262.不確定度的傳遞以微小量代替微元，得：不確定度與微小量之間的關(guān)系：104a2.不確定度的傳遞以微小量代替微元，得：不確定度與微小105a28a對于以乘、除運算為主的函數(shù)106a對于以乘、除運算為主的函數(shù)29a例：已知質(zhì)量m=（213.04±0.05）g，的銅圓柱體，用0~125mm、分度值為0.02mm的游標卡尺測量其高度h六次；用一級0~25mm千分尺測量其直徑D也是六次，其測值列入下表（儀器零點示值均為零），求銅的密度。次數(shù)123456高度h/mm80.3880.3780.3680.3880.3680.37直徑D/mm19.46519.46619.46519.46419.46719.466107a例：次數(shù)123456高度h/mm80.3880.3780.3解：銅圓柱體的密度：可見ρ是間接測量量。由題意，質(zhì)量m是已知量，直徑D、高度h是直接量。108a解：銅圓柱體的密度：31a（1）高度h的最佳值及不確定度：游標卡尺的儀器誤差：（中間運算，可以多取一位）因此得：109a（1）高度h的最佳值及不確定度：游標卡尺的儀器誤差：（中間運（2）直徑D的最佳值及不確定度：（中間運算，可以多取一位）因此得千分尺的儀器誤差：110a（2）直徑D的最佳值及不確定度：（中間運算，可以多取一位）因（3）密度的算術(shù)平均值：（4）密度的不確定度：111a（3）密度的算術(shù)平均值：（4）密度的不確定度：34a因此得：（5）密度測量的最后結(jié)果為：112a因此得：（5）密度測量的最后結(jié)果為：35a一、直接測量量的有效數(shù)字之運算二、間接測量量的有效數(shù)字之運算三、有效數(shù)字的舍入法則第3節(jié)有效數(shù)字的記錄與計算

(significantfigure)113a一、直接測量量的有效數(shù)字之運算二、間接測量量的有效數(shù)字之運算一、直接測量量的有效數(shù)字之運算1.一般讀數(shù)應(yīng)讀到最小分度以下再估一位;2.有時讀數(shù)的估計位，就取在最小分度位；4.數(shù)字式儀表及步進讀數(shù)儀器不需要進行估讀，儀器所顯示的未位就是欠準數(shù)字；3.游標類量具只讀到游標分度值，一般不估讀；5.在讀取數(shù)據(jù)時，如果測值恰好為整數(shù)，則必須補“０”，一直補到可疑位。114a一、直接測量量的有效數(shù)字之運算1.一般讀數(shù)應(yīng)讀到最小分讀數(shù)舉例：2.02cm0.919KΩ0~500mA0~200mA129mA114.8mA115a讀數(shù)舉例：2.02cm0.919KΩ0~500mA0~2二、間接測量量的有效數(shù)字之運算（1）加減運算時，“尾數(shù)取齊”。例如：278.2+12.451=290.7。（3）乘方、開方運算，其結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與被乘方、開方數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例如：（4）一般說來，函數(shù)運算的有效數(shù)字，應(yīng)按間接量測量誤差（不確定度）傳遞公式進行計算后決定。(中間運算過程中可以多取幾位)（2）乘除運算時，“位數(shù)取齊”。例如：5.438×20.5=111116a二、間接測量量的有效數(shù)字之運算（1）加減運算時，“尾數(shù)取齊三、有效數(shù)字的舍入法則

(rulesforroundingoffofnumericalvalue)“小于五舍去，大于五進位，等于五湊偶”將下列數(shù)據(jù)保留三位有效數(shù)字：117a三、有效數(shù)字的舍入法則“小于五舍去，大于五進位，等于五湊偶一、測量儀器的選擇二、測量最佳條件的選擇三、測量環(huán)境的選擇第4節(jié)實驗方案的選擇原則118a一、測量儀器的選擇二、測量最佳條件的選擇三、測量環(huán)境的選擇第一、測量儀器的選擇①儀器選擇：精度、量程、使用方式。②儀器搭配：保證測量時由儀器引入的誤差符合測量要求，同時又經(jīng)濟實惠119a一、測量儀器的選擇①儀器選擇：精度、量程、使用方式。測間接測量量，若對函數(shù)的最大相對誤差給出限制，即要求不大于給定的百分數(shù)值，則各獨立變量誤差對函數(shù)Ｎ的相對誤差傳遞按等貢獻分配。儀器搭配原則—誤差均分原則120a測間接測量量最大相對誤差傳遞公式：（儀器誤差傳遞公式）

注意：均分原則不是絕對的。實驗設(shè)計時可根據(jù)具體情況，適當調(diào)整各直接測量量的所占分額。但均分原則理論上講是科學的。誤差均分：121a最大相對誤差傳遞公式：（儀器誤差傳遞公式）注意：均例：測量某圓柱體的體積（H≈40mm；D≈4mm)，要求由儀器引入的相對誤差≤0.5%，問應(yīng)如何選配儀器？解：由誤差均分原則：相對誤差傳遞公式：用十分度的游標卡尺（）測高度H；用外徑千分尺（）測直徑D可滿足要求。122a例：測量某圓柱體的體積（H≈40mm；D≈4mm)，要求由儀二、測量最佳條件的選擇

測量結(jié)果的誤差大小除了與儀器的精度有關(guān)外，還與測試條件有關(guān)。123a二、測量最佳條件的選擇測量結(jié)果的誤差大小除了設(shè)間接測量量，其相對誤差為：欲使最小，只要滿足下式即可。NND確定最佳測試條件的原則：124a設(shè)間接測量量例1．用線式電橋測電阻，，式中和為滑線兩臂長，Ｌ＝+，問滑動片在什么位置作測量，能使相對誤差最小？G125a例1．用線式電橋測電阻，解：相對誤差假定R0與滑線總長L為準確數(shù)這就是線式電橋測電阻時的最佳條件

126a解：相對誤差假定R0與滑線總長L為準確數(shù)這就是線式三、測量環(huán)境的選擇

在選擇實驗方案、設(shè)計實驗裝置時，總是要突出所要研究或測量的對象，排除干擾，也就是要盡量的提高“信噪比”，不能使待測量淹沒在誤差之中。127a三、測量環(huán)境的選擇在選擇實驗方案、設(shè)計實驗裝第5節(jié)數(shù)據(jù)處理常用方法一、列表法二、作圖法三、逐差法四、最小二乘法128a第5節(jié)數(shù)據(jù)處理常用方法一、列表法二、作圖法三、逐差1.列表法

一種記錄測量數(shù)據(jù)的方法；根據(jù)需要有時把計算過程的中間值列在數(shù)據(jù)表中；要交代清表中各符號所代表的物理量并在符號后寫明單位；表中數(shù)據(jù)要正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字一實驗數(shù)據(jù)的處理方法129a1.列表法一種記錄測量數(shù)據(jù)的方法；一52a列表法示例1:伏安法測電阻數(shù)據(jù)記錄次數(shù)12345電流I（A）0.0820.0940.1310.1700.210電壓U（V）0.871.001.401.802.30電流I和電壓U均為直接測量量；電流I的單位：A；電壓U的單位：V；按有效數(shù)字規(guī)則記錄數(shù)據(jù)。130a列表法示例1:伏安法測電阻數(shù)據(jù)記錄次數(shù)12312…….8（℃）14.623.2……61.90.003470.00337……0.00298

（Ω）271.3223.4……66.95.60325.4090……4.203列表法示例2:熱敏電阻溫度特性研究數(shù)據(jù)記錄直接測量量中間量131a12…….8（℃）14.623.2……61.90.003472.作圖法（1）常用圖線類型一實驗數(shù)據(jù)的處理方法函數(shù)曲線校準曲線132a2.作圖法（1）常用圖線類型一函數(shù)曲線校準曲線55a函數(shù)曲線

在一定條件下，某一物理量與另一物理量之間的相互關(guān)系；圖線是光滑曲線UI熱敏電阻的溫度曲線

伏安特性曲線

133a函數(shù)曲線在一定條件下，某一物理量與另一物理量UI熱敏電阻校準曲線

相鄰校準點以直線連接；校準曲線與被校準儀器一起使用Ix△Ix△Imax電流表校準曲線134a校準曲線相鄰校準點以直線連接；Ix△Ix△Imax電流表校（2）作圖方法與規(guī)則2.作圖法1）作圖一定要用坐標紙2）圖中要標明圖名、軸名，并適當選取x軸、y軸比例（且符合有效數(shù)字位數(shù)要求）及坐標的起點，使圖形比較對稱地充滿整個圖紙。3）描點和連線。描點可用“+、×、⊙”符號表示數(shù)據(jù)點。連線要縱觀所有數(shù)據(jù)點的變化趨勢，充分尊重實驗事實，不要人為地往理論上靠。所連的線不一定要通過所有的數(shù)據(jù)點，而要在線的兩測數(shù)據(jù)點均衡分布。4）表明圖線特征（截距、斜率等，標出被選計算點坐標）135a（2）作圖方法與規(guī)則2.作圖法1）作圖一定要用坐標紙58

不同類型的坐標紙一實驗數(shù)據(jù)的處理方法直角坐標紙單對數(shù)坐標紙雙對數(shù)坐標紙極坐標紙136a不同類型的坐標紙一直角坐標紙單對數(shù)坐標紙雙對數(shù)坐標紙極坐標某金屬絲電阻溫度曲線（23.0，77.00）（50.0，85.00）t**金屬絲電阻溫度曲線作圖人：張三同組人：李四日期：05.9.20137a某金屬絲電阻溫度曲線（23.0，77.00）（50.0，85（3）作圖法應(yīng)用

粗略確定兩物理量間相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系；

圖線內(nèi)插法或外推法測得無法測得的物理量；

校準曲線；一實驗數(shù)據(jù)的處理方法2.作圖法曲線改直；138a（3）作圖法應(yīng)用粗略確定兩物理量間相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系；圖線外推法一實驗數(shù)據(jù)的處理方法通過外推法可推算出氣墊導(dǎo)軌上滑塊的瞬時速度V△X（cm）246810V瞬時0139a外推法一通過外推法可推算出氣墊導(dǎo)軌上滑塊的瞬時速度V△X（c曲線改直（例半導(dǎo)體熱敏電阻電阻溫度特性）一實驗數(shù)據(jù)的處理方法RTTlnRT1/T140a曲線改直（例半導(dǎo)體熱敏電阻電阻溫度特性）一RTTlnRT1/3.逐差法

當自變量成線性關(guān)系，而自變量為等間距變化時，用逐差法處理更具有獨特的優(yōu)點。一實驗數(shù)據(jù)的處理方法141a3.逐差法當自變量成線性關(guān)系，而自變量為一實驗數(shù)據(jù)的處理方法一般方法取平均：可見中間值全部消掉，只有始末兩個測量值起作用。例：楊氏模量實驗（鋼絲不斷地增加等負荷情況下，測定其伸長量

Δx的平均值）伸長量：Δx1Δx2Δx3Δx4Δx5Δx6Δx7

測量序號：12345678

測量值：x1x2x3x4x5x6x7x8

142a一實驗數(shù)據(jù)的處理方法一般方法取平均：可見中間值全部消掉，只有測量序號：12345678測量值：x1x2