一元二次方程單元復習精品

關于一元二次方程單元復習精品第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日定義及一般形式:

只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是______的___式方程,叫做一元二次方程。一般形式:________________二次整ax2+bx+c=o(a≠o)練習一第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日一、與一元二次方程定義有關的題目：1、下列方程中，哪些屬于一元二次方程，為什么？（1）4x-x2+2=0

（2）3x2-y-1=0（3）ax2+ｂx+c=0（a、b、c為常數(shù)）（4）x+=02、已知關于x的方程（m2-1）x2+（m-2）x-2m+1=0，當m

時是一元二次方程，當m=

時是一元一次方程。第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日3、把方程（1-x)(2-x)=3-x2化為一般形式是：___________,其二次項系數(shù)是____,一次項系數(shù)是____,常數(shù)項是____.4、方程（m-2)x|m|+3mx-4=0是關于x的一元二次方程，則（）A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2

2x2-3x-1=02-3-1C第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日(1)直接開平方法(2)配方法(3)公式法(4)因式分解法解一元二次方程的方法有幾種?第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日

例:解下列方程１、用直接開平方法：(x+2)2=９2、用配方法解方程4x2-8x-5=0

解:兩邊開平方,得:x+2=±3∴x=-2±3∴x1=1,x2=-5右邊開平方后，根號前取“±”。兩邊加上相等項“1”。第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日①二次項系數(shù)化為1；②移常數(shù)項到右邊；③兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④化直接開平方形式;⑤解方程。步驟歸納配方法步驟第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日

解:移項,得:3x2-4x-7=0

a=3b=-4c=-7

∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0

∴

∴x1=x2=

解:原方程化為（y+2)2﹣3（y+2）=0

(y+2)(y+2-3)=0(y+2)(y-1)=0y+2=0或y-1=0∴y1=-2y2=1先變?yōu)橐话阈问剑霑r注意符號。

把y+2看作一個未知數(shù)，變成(ax+b)(cx+d)=0形式。

3、用公式法解方程3x2=4x+74、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）-1第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日①先化為一般形式；②再確定a、b、c,求b2-4ac；③當b2-4ac≥0時,代入公式:步驟歸納若b2-4ac＜0,方程沒有實數(shù)根。公式法步驟第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日①右邊化為0,左邊化成兩個因式的積；②分別令兩個因式為0，求解。步驟歸納分解因式法步驟第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日選用適當方法解下列一元二次方程1、(2x+1)2=64(法）2、(x-2)2-４(x+１)2=0(法）3、(５x-４)2-(4-５x)=０(法）4、x２-４x-10=０(法）5、３x２-４x-５=０

(法）6、x２＋６x-1=0(法）7、x２-x-３=０(法）8、y2-y-1=0

(法）

小結：選擇方法的順序是：直接開平方法→分解因式法→配方法→公式法分解因式分解因式配方公式配方公式公式直接開平方練習三第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日

典型例題：

(1)x2-10x+24=0;(2)x2-8x+15=0;(3)x2+2x-99=0;(4)y2+5y+2=0;(5)3x2-1=4x;(6)2x2+2x-30=0;(7)x2+px+q=0(p2-4q≥0)；

第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日解方程:(x+1)(x+2)=62.已知:(a2+b2)(a2+b2-3)=10

求a2+b2的值。中考直擊思考第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日

一元二次方程根的判別式

兩不相等實根兩相等實根無實根一元二次方程一元二次方程根的判式是:判別式的情況根的情況定理與逆定理兩個不相等實根

兩個相等實根

無實根(無解)二、第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日例1：不解方程，判別下列方程的根的情況（1）（3）（2）解：（1）=

判別式的應用:所以，原方程有兩個不相等的實根。說明：解這類題目時，一般要先把方程化為一般形式，求出△，然后對△進行計算，使△的符號明朗化，進而說明△的符號情況，得出結論。1、不解方程，判別方程的根的情況第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日例2：當k取什么值時，已知關于x的方程：（1）方程有兩個不相等的實根；（2）方程有兩個相等的實根；（3）方程無實根；解：△=(1).當△>0，方程有兩個不相等的實根,8k+9>0,即

(2).當△=0，方程有兩個相等的實根,8k+9=0,即

(3).當△<0

，方程有沒有實數(shù)根,8k+9<0,即

2、根據(jù)方程的根的情況確定方程的待定系數(shù)的取值范圍

說明：解此類題目時，也是先把方程化為一般形式，再算出△，再由題目給出的根的情況確定△的情況。從而求出待定系數(shù)的取值范圍K＜第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日3.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍。解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根題目解好了嗎？知識運用第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日例：是否存在k，使方程有兩個相等的實數(shù)根？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。

解：a=(k-1)b=-（k+2)c=4∵方程有兩個相等的實數(shù)根即第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日歸納一元二次方程根與系數(shù)的關系(韋達定理）第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.應用一元二次方程的根與系數(shù)關系時，首先要把已知方程化成一般形式.2.應用一元二次方程的根與系數(shù)關系時，要特別注意，方程有實根的條件，即在初中代數(shù)里，當且僅當

b2-4ac≥0時，才能應用根與系關系.3.可以通過一元二次方程系數(shù)判斷方程根的情況.第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日補充規(guī)律：兩根均為負的條件：X1+X2

且X1X2

。

兩根均為正的條件：X1+X2

且X1X2

。

兩根一正一負的條件：X1+X2

且X1X2

。

當然，以上還必須滿足一元二次方程有根的條件：＜0＞0＞0＞0＜0第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日設X1、X2是方程X2－4X+1=0的兩個根，則

X1+X2=

___

X1X2=____，

X12+X22=

；

(X1-X2)2

=

；

基礎練習第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日拓廣探索當k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。解：設方程兩根分別為x1,x2(x1>x2)，則x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根與系數(shù)的關系得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3當k=9或-3時，由于△≥0，∴k的值為9或-3。第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日2、設x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值。拓廣探索解：由方程有兩個實數(shù)根，得即-8k+4≥0由根與系數(shù)的關系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4經(jīng)檢驗，k2=4不合題意，舍去?！鄈=0第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日例題回顧：例1：如果是方程2X2+mX+3=0的一個根，求它的另一個根及m的值.

第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日《根與系數(shù)的關系》練習一、填空：1、已知方程的兩根是,則

，

=

。2、已知方程的一個根是1，則另一個根是

，k的值是

..3、若關于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根互為相反數(shù)，則p=______;若兩根互為倒數(shù)，則q=_____．

4、已知一元二次方程2x2+bx+c=0的兩個根是–1、3，則

b=

，c=

.31-2101-4-6第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日5.已知方程3x2+2x-6=0,則它的兩根的倒數(shù)和為

.6.已知方程x2-bx+22=0的一根為5-,則另一根為

,b=

.返回10第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日二、選擇1、若方程中有一個根為零，另一個根非零，則的值為()ABCD

2、兩根均為負數(shù)的一元二次方程是(

)A.4x2+2x+5=0B.6x2-13x-5=0

C.7x2-12x+5=0D.2x2+15x+8=0AD第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日三、解答題：1、已知關于x的方程(a2–3)x2–(a+1)x+1=0的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)，求a的值.2、在解方程x2+px+q=0時，小張看錯了p，解得方程的根為1與－3；小王看錯了q，解得方程的根為4與－2。這個方程的根應該是什么?第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.審清題意，弄清題中的已知量和未知量找出題中的等量關系。2.恰當?shù)卦O出未知數(shù)，用未知數(shù)的代數(shù)式表示未知量。3.根據(jù)題中的等量關系列出方程。4.解方程得出方程的解。5.檢驗看方程的解是否符合題意。6.作答注意單位。列方程解應用題的解題過程。一元二次方程的應用第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日數(shù)字一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字是十位數(shù)字的平方還多1，若把個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對調，所得的兩位數(shù)比原數(shù)大27，求原兩位數(shù)。解:設十位上的數(shù)位X,則個位上的數(shù)為×第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日一二三四五六日

１２３４５６７８９１０１１１２１４１５１６１７１８１９２１２２２３２４２５２６２７２８２９３０３１

X-1XX+1

X-7XX+7X+7X+8XX+1XX+7X-7X-8X-6X-1X+1X+8X+6第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日例1.(中考）某工廠計劃在兩年內把產(chǎn)量翻一番，如果每年比上年提高的百分數(shù)相同，求這個百分數(shù)（精確到1%）增長率問題解：設這個百分數(shù)為x,根據(jù)題意得

解答略第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日典型題:

某林場原有森林木材存量為a，木材每年以25％的增長率生長，而每年冬天要砍伐的木材量是x，則經(jīng)過一年木材存量達到

，經(jīng)過兩年木材存量達到

.返回第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日利潤問題

某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn),在進貨價不變的情況下,若每千克漲價1元,日銷售量減少20千克,現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元,同時又要使顧客得到實惠,那么每千克應漲價多少元?解題過程分析：個利潤×銷售量=總利潤第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日解:設每千克水果應漲價x元,依題意得:(500-20x)(10+x)=6000整理得:x2-15x+50=0解這個方程得:x1=5x2=10（舍去）要使顧客得到實惠應取x=5答:每千克水果應漲價5元.第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日

某水果經(jīng)銷商上月份銷售一種新上市的水果,平均售價為10元/千克,月銷售量為1000千克.經(jīng)市場調查,若將該種水果價格調低至

元/千克,則本月份銷售量(千克)與(元/千克)之間滿足一次函數(shù)關系.且當時；當時．（1）求與之間的函數(shù)關系式；第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日

某水果經(jīng)銷商上月份銷售一種新上市的水果,平均售價為10元/千克,月銷售量為1000千克.經(jīng)市場調查,若將該種水果價格調低至

元/千克,則本月份銷售量(千克)與(元/千克)之間滿足一次函數(shù)關系.且當時；當時．（2）已知該種水果上月份的成本價為5元／千克，本月份的成本價為4元／千克，要使本月份銷售該種水果所獲利潤比上月份增加20%，同時又要讓顧客得到實惠，那么該種水果價格每千克應調低至多少元？第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日面積問題有一張長方形的桌子，長6尺，寬3尺，有一塊臺布的面積是桌面面積的2倍，鋪在桌面上時，各邊垂下的長度相同，求臺布的長和寬各是多少？（精確到0.1尺）提醒：一般從面積或體積找等量關系解：設這個臺布的長為x尺,根據(jù)題意得（6+2x）（3+2x）=6×3×2

解答略第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日復習一元二次方程第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日一元二次方程與其他知識結合1.一元二次方程與分式結合典型題:若分式的值為零,

則x的值是

.第四十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日一元二次方程與幾何圖形結合典型題:若一元二次方程x2-11x+28=0的兩根恰好是一等腰三角形的兩邊，則該三角形的周長是

.第四十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日

在三角形ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿射線AB向點B方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿射線CB也向點B方向運動．如果點P的速度是4cm/秒，點Q的速度是2cm/秒，它們同時出發(fā)，求：（1）幾秒鐘后，△PBQ的面積是△ABC面積的一半？（2）在第（1）問的前提下，P，Q兩點之間的距離是多少？BAC動態(tài)幾何PQ第四十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日PABCQ第四十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日效果檢測1.方程x2=7x

的解是

.2.對于任意的實數(shù)x,代數(shù)式x2－5x＋10的值是一個()A.非負數(shù)B.正數(shù)C.整數(shù)D.不能確定的數(shù)3.能使分式的值為零的所有的值是()A、1B、-1C、1或-1D、2或-14.方程2x2-2x-1=0的解是

．5.若關于的方程x2-3x+q=0的一個根x1的值是2．則另一根x2及q的值分別是（）

A.x2=1,q=2B.x2=-1,q=2C.x2=1,q=-2D.x2=-1,q=-2返回第四十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日效果檢測6.把方程x2+3mx=8的左邊配成一個完全平方式,在方程的兩邊需同時加上的式子是A.9m2 B.9m