2020高中數(shù)學(xué) 課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（十二）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（含解析）5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGEPAGE8學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練(十二）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和[即時(shí)達(dá)標(biāo)對(duì)點(diǎn)練]題組1等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算1．等比數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(an)）的各項(xiàng)都是正數(shù)，若a1＝81，a5＝16，則它的前5項(xiàng)和是(）A．179B．211C．348D．解析：選B由16＝81×q5－1，q＞0，得q＝eq\f（2,3)。于是S5＝eq\f(81\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2，3)））\s\up12（5）)），1－\f(2，3))＝211.2．設(shè)Sn為等比數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(an)）的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則eq\f（S5,S2）等于(）A．11B．5C．－8D．－11解析：選D由條件得8a1q＋a1q4＝0,因?yàn)閑q\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(an））為等比數(shù)列，所以a1q≠0，則q＝－2，于是，eq\f(S5，S2）＝eq\f(1－q5，1－q2）＝－11。3．等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(an）)的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋1＋a,則a的值為（）A．3B．－3C．－1D解析：選B由q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn＝A·qn－A的形式知，Sn＝3n＋1＋a＝3·3n＋a中a＝－3。4．設(shè)等比數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（an）)的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝2S9，則公比q的值為_(kāi)_______．解析：法一：q＝1時(shí)不合題意．∴q≠1，eq\f（a1（1－q3）,1－q)＋eq\f(a1（1－q6），1－q）＝eq\f(2a1（1－q9)，1－q），解得q＝－eq\f（3\r（4)，2）。法二：∵S3＋S6＝2S9,∴2（a1＋a2＋a3）＋a4＋a5＋a6＝2(a1＋a2＋…＋a9)，∴－(a4＋a5＋a6）＝2（a7＋a8＋a9）,∴－（a4＋a5＋a6)＝2q3（a4＋a5＋a6），解得q＝－eq\f（3\r（4）,2)。答案：－eq\f（3\r(4），2）5．已知在公比為2的等比數(shù)列{an｝中，a2＋a5＋a8＋a11＋a14＋a17＋a20＝13，求該數(shù)列前21項(xiàng)的和S21.解：設(shè)等比數(shù)列｛an}的首項(xiàng)為a1,公比q＝2，前n項(xiàng)和為Sn.由題知a2，a5，a8，a11，a14，a17，a20仍為等比數(shù)列,其首項(xiàng)為a2,公比為q3，故a2＋a5＋a8＋a11＋a14＋a17＋a20＝eq\f（a2［1－q37],1－q3）＝eq\f(a1q1－q21，1－q1＋q＋q2）＝eq\f（a11－q21，1－q）·eq\f(q,1＋q＋q2)＝S21·eq\f（2,7)＝13，解得S21＝eq\f（91,2)。6．等比數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（an））的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列．(1)求eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（an））的公比q；（2）若a1－a3＝3，求Sn.解：（1）∵S1，S3，S2成等差數(shù)列，∴2S3＝S1＋S2，顯然eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(an))的公比為q≠1，于是eq\f(2a1（1－q3）,1－q)＝a1＋eq\f(a1（1－q2），1－q)，即2(1＋q＋q2）＝2＋q,整理得2q2＋q＝0，∴q＝－eq\f（1，2）(q＝0舍去)．(2)∵q＝－eq\f（1，2)，又a1－a3＝3，∴a1－a1·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)）)eq\s\up12（2）＝3，解得a1＝4.于是Sn＝eq\f（4\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)n)）)）,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2))）)＝eq\f(8，3）eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（1－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2))）\s\up12（n））).題組2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)7．在等比數(shù)列{an}中,如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60,那么a7＋a8＝（)A．135B．100C．95D．80解析：選A由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1＋a2,a3＋a4，a5＋a6,a7＋a8成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為40，公比為eq\f(60,40）＝eq\f(3，2)。∴a7＋a8＝40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3，2）)）eq\s\up12（3）＝135.8．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a5＝S5,則S2018＝________。解析：設(shè)公比為q.根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和的定義知S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝a5，故a1＋a2＋a3＋a4＝0，即a1（1＋q＋q2＋q3）＝a1（1＋q）(1＋q2)＝0,從而1＋q＝0，則q＝－1，所以這個(gè)等比數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)的和都是0，所以S2018＝0。答案：09．等比數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝10，前10項(xiàng)和S10＝50，則它的前15項(xiàng)和S15＝________．解析：由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)得S5，S10－S5,S15－S10成等比數(shù)列，故（S10－S5）2＝S5(S15－S10），即(50－10）2＝10（S15－50），解得S15＝210。答案：21010．等比數(shù)列｛an｝共有2n項(xiàng)，它的全部各項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的3倍，則公比q＝________．解析:設(shè)｛an}的公比為q，則奇數(shù)項(xiàng)也構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q2,首項(xiàng)為a1，S2n＝eq\f（a1（1－q2n）,1－q),S奇＝eq\f(a1［1－（q2）n］，1－q2）.由題意得eq\f(a1（1－q2n）,1－q）＝eq\f（3a1（1－q2n）,1－q2），∴1＋q＝3.∴q＝2。答案:2［能力提升綜合練]1．設(shè)數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2,Sn，3an成等差數(shù)列，則S5的值是（)A．－243B．－242C．－162解析：選B∵2，Sn，3an成等差數(shù)列，∴2Sn＝2＋3an。當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＝2a1＝2＋3a1，∴a1＝－2；當(dāng)n≥2時(shí),an＝Sn－Sn－1＝1＋eq\f(3,2)an－1－eq\f（3，2）an－1＝eq\f（3,2)an－eq\f(3,2）an－1，∴an＝3an－1(n≥2)，∴數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)a1＝－2，公比q＝3的等比數(shù)列,∴S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(－2×1－35，1－3）＝－242。故選B.2．已知eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(an）)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,Sn是eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（an)）的前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f（1，an)））的前5項(xiàng)和為（)A.eq\f（15,8）或5B。eq\f(31,16)或5C。eq\f（31，16)D。eq\f(15，8）解析：選C易知公比q≠1.由9S3＝S6，得9·eq\f(a1（1－q3）,1－q）＝eq\f（a1（1－q6），1－q），解得q＝2.∴eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f(1，an）))是首項(xiàng)為1,公比為eq\f（1,2）的等比數(shù)列．∴其前5項(xiàng)和為eq\f(1－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)))\s\up12(5),1－\f(1,2)）＝eq\f(31,16）。3．某小區(qū)現(xiàn)有住房的面積為a平方米，在改造過(guò)程中政府決定每年拆除b平方米舊住房,同時(shí)按當(dāng)年住房面積的10%建設(shè)新住房，則n年后該小區(qū)的住房面積為（）A．a(chǎn)·1。1n－nbB．a(chǎn)·1。1n－10b(1。1n－1)C．n(1.1aD．（a－b)1.1n解析：選B由題意，第一年的住房面積為a1＝a·1.1－b，第二年的住房面積為a2＝a1·1.1－b＝a·1。12－1.1b－b，…，則an＋1＝an·1。1－b.若an＋1＋m＝（an＋m）·1.1，則m＝－10b，∴{an－10b}是首項(xiàng)為a1－10b，公比為1.1的等比數(shù)列，則an－10b＝（a1－10b）×1.1n－1＝（a－10b）×1。1n,∴an＝1.1na－10b(1。1n－1)．故選B.4．已知數(shù)列{an｝是等比數(shù)列，a2＝2,a5＝eq\f(1,4）,則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.解析：設(shè)數(shù)列{an｝的公比為q，∵{an｝是等比數(shù)列,且a2＝2,a5＝eq\f(1，4），∴eq\f（a5，a2）＝q3＝eq\f（1,8），∴q＝eq\f(1，2），∴a1＝4。又{an｝是等比數(shù)列，∴｛anan＋1｝也是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為a1a2＝8，公比q′＝eq\f(1，4），∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq\f（8\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（1－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,4）））n))，1－\f(1,4)）＝eq\f(32,3)(1－4－n）．答案：eq\f(32，3）(1－4－n）5．已知等比數(shù)列的前10項(xiàng)中,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為85eq\f(1，4),所有偶數(shù)項(xiàng)之和為170eq\f（1，2），則S＝a3＋a6＋a9＋a12的值為_(kāi)_______．解析:設(shè)公比q,由eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（\f（S偶，S奇)＝q＝2,,S奇＝\f(a1［1－（q2）5]，1－q2）＝85\f（1,4)，)）得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(a1＝\f（1,4)，,q＝2。))∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9）＝a1q2·eq\f(1－q12，1－q3)＝585。答案：5856．已知等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,a1＝－1，eq\f（S10，S5)＝eq\f（31，32）。(1）求等比數(shù)列{an}的公比q；(2）求aeq\o\al（2,1）＋aeq\o\al(2，2）＋…＋aeq\o\al(2,n）.解：(1）由eq\f(S10，S5）＝eq\f(31,32)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,32).由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S5,S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列,且公比為q5,故q5＝－eq\f（1，32),q＝－eq\f（1,2)。（2）由（1）,得an＝(－1）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2))）n－1，所以aeq\o\al