2020高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課學(xué)案 1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精模塊復(fù)習(xí)課一、集合與函數(shù)概念1．集合與元素（1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性．（2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號(hào)∈或表示．（3）集合的表示法:列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN＋(或N*）ZQR2。集合間的基本關(guān)系(1）子集：若集合A中任意一個(gè)元素都是集合B的元素，則A?B（或B?A）;（2)真子集：若集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中,則AB(或BA)；（3)相等：若集合A，B中元素相同或集合A，B互為子集,則A＝B。（4）子集的性質(zhì)①若集合A中含有n個(gè)元素，則有2n個(gè)子集，有2n－1個(gè)非空子集，有2n－1個(gè)真子集，有2n－2個(gè)非空真子集．②子集關(guān)系的傳遞性，即A?B，B?C?A?C.③空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．④A?B?A∩B＝A?A∪B＝B。3．集合的基本運(yùn)算（1）并集：A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝；(2）交集:A∩B＝｛x｜x∈A且x∈B}；（3)補(bǔ)集:UA＝{x｜x∈U且xA｝．4．函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A,B設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合對(duì)應(yīng)關(guān)系f：A→B如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對(duì)應(yīng)名稱那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射記法y＝f(x），x∈Af：A→B（1)函數(shù)的三要素:對(duì)應(yīng)法則f、定義域A、值域{f（x)|x∈A}稱為函數(shù)的三要素．（2）相等函數(shù):如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則分別相同，我們就說這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)．5．函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性的定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，（1)若當(dāng)x1〈x2時(shí)，都有f（x1)<f（x2)，則說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；（2)若當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2),則說f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．6．函數(shù)的奇偶性(1）f（x）是奇函數(shù)?對(duì)定義域內(nèi)任意x，都有f（－x）＝－f(x）?對(duì)定義域內(nèi)任意x,都有f(－x）＋f（x）＝0?f（x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;(2)f(x)是偶函數(shù)?對(duì)定義域內(nèi)任意x，都有f（－x)＝f(x）?對(duì)定義域內(nèi)任意x，都有f(－x)－f（x)＝0?f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．二、基本初等函數(shù)（Ⅰ)1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1）aeq\s\up12（eq\f（m，n）)＝eq\f（1，\r(n，am））(a〉0，m，n∈N*，且n〉1)；（2)a－eq\f（m,n）＝eq\f(1,a\s\up6（eq\s\up12(eq\f(m,n)))）(a>0，m，n∈N*,且n〉1)．2．根式的性質(zhì)（1)（eq\r（n，a））n＝a;（2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an）＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r（n,an）＝｜a｜＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))3．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1）ar·as＝ar＋s(a〉0，r，s∈Q)；（2）(ar）s＝ars（a〉0，r，s∈Q）；（3)（ab)r＝arbr(a>0，b〉0，r∈Q）．4．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化logaN＝b?ab＝N（a>0，a≠1，N〉0)．5．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若a>0,a≠1,M>0，N>0，則（1)loga（MN）＝logaM＋logaN；（2)logaeq\f（M，N）＝logaM－logaN;(3)logaMn＝nlogaM(n∈R）．6．對(duì)數(shù)的換底公式及推論(1)換底公式：logab＝eq\f(logcb，logca)(a〉0，a≠1,c>0,c≠1，b>0）．（2)常用推論:①logab·logba＝1；②logab·logbc·logca＝1;③logambn＝eq\f（n，m)logab(a〉0，a≠1，b〉0）．7．對(duì)數(shù)恒等式:alogaM＝M，logaax＝x.8．冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)(1)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10〈a<1圖象定義域R值域（0，＋∞)定點(diǎn)過點(diǎn)（0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1單調(diào)性是R上的增函數(shù)是R上的減函數(shù)(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a〉10<a〈1圖象性質(zhì)定義域：（0,＋∞）值域：R過點(diǎn)(1,0），即當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0x∈(0，1)時(shí)，y〈0;x∈（1，＋∞)時(shí)，y>0x∈（0，1）時(shí),y〉0;x∈（1,＋∞）時(shí),y<0在（0,＋∞)上是增函數(shù)在（0，＋∞）上是減函數(shù)（3)五個(gè)常見冪函數(shù)的圖象：三、函數(shù)與方程1．函數(shù)的零點(diǎn)(1）概念:函數(shù)f(x）的零點(diǎn)是使f（x)＝0的實(shí)數(shù)x。（2)函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系：（3）函數(shù)零點(diǎn)的判斷①若函數(shù)y＝f（x)在區(qū)間［a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且f(a)·f(b）〈0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間（a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c)＝0，這個(gè)c也就是方程f（x）＝0的根．2．二分法(1）概念：對(duì)于區(qū)間[a，b]上連續(xù)的，且f(a)·f(b）<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，從而得到零點(diǎn)近似值的方法，叫做二分法．(2)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值第一步：確定區(qū)間[a，b］，驗(yàn)證：f（a）·f(b）〈0，給定精確度；第二步：求區(qū)間[a，b]的中點(diǎn)x1；第三步:計(jì)算f（x1)；若f(x1）＝0，則x1就是函數(shù)零點(diǎn);若f（a)·f(x1）<0,則令b＝x1；若f(x1）·f(b)<0，則令a＝x1；第四步:判斷是否達(dá)到精確度ε，即若｜a－b|〈ε，則得到零點(diǎn)近似值a（或b)，否則重復(fù)第二、三、四步．3．函數(shù)模型的應(yīng)用（1）三種常見函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a〉1)y＝logax（a>1)y＝xn(n>0）在（0，＋∞）上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定隨n值而不同增長(zhǎng)速度ax的增長(zhǎng)快于xn的增長(zhǎng)，xn的增長(zhǎng)快于logax的增長(zhǎng)增長(zhǎng)后果總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x〉x0時(shí)，就有ax〉xn>logax(2）函數(shù)模型的選取及數(shù)據(jù)擬合的一般步驟1．任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集． (×)［提示］空集只有一個(gè)子集．2．{x|y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1｝＝｛(x，y)｜y＝x2＋1}． （×)[提示］結(jié)合集合的描述法可知{x|y＝x2＋1｝為函數(shù)y＝x2＋1的定義域；{y｜y＝x2＋1}為函數(shù)y＝x2＋1的值域；｛（x，y）|y＝x2＋1｝為函數(shù)y＝x2＋1上的點(diǎn)集，故不正確．3．若{x2，1｝＝｛0，1}，則x＝0,1。 (×）［提示］｛x2，1}＝｛0，1｝，則x＝0。4．{x｜x≤1｝＝{t|t≤1｝． (√)5．對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B,關(guān)系(A∩B)?(A∪B）恒成立． （√）6．若A∩B＝A∩C，則B＝C. （×）[提示］B,C未必相等．7．若定義在R上的函數(shù)f(x）,有f（－1)〈f（3），則函數(shù)f（x)在R上為增函數(shù)． （×)［提示］不能用特殊值判斷函數(shù)的單調(diào)性．8．函數(shù)y＝f(x）在[1，＋∞）上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞）． （×）[提示][1，＋∞)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間的子集．9．函數(shù)y＝eq\f（1，x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,0）∪（0，＋∞)． (×)［提示］單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接．10．閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)取到． （√)11．偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)． （×)[提示]函數(shù)未必在原點(diǎn)處有定義．12．若函數(shù)y＝f(x＋a）是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(√）13．如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)． (√）14．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函數(shù)． （×）［提示］b＝0時(shí),二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R是偶函數(shù)．15。eq\r(n，an）＝(eq\r(n,a))n＝a（n∈N＋）． （×)［提示］注意n的奇偶性．16．若am〈an(a>0,且a≠1)，則m〈n. （×）［提示］當(dāng)a〉1時(shí),命題成立．17．函數(shù)y＝2－x在R上為單調(diào)減函數(shù)． （√）18．若MN>0，則loga(MN）＝logaM＋logaN. (×）[提示]MN〉0未必M>0，N〉0。19．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1）在（0，＋∞)上是增函數(shù)． (×)［提示］a〉1時(shí)，上述命題成立．20．函數(shù)y＝lneq\f（1＋x，1－x）與y＝ln（1＋x)－ln(1－x)的定義域相同． （√)21．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax（a〉0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)且過點(diǎn)(a，1），eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,a),－1）)，函數(shù)圖象只在第一、四象限． （√)22．函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)． （×）［提示］函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．23．函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b)內(nèi)有零點(diǎn)（函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f（a)·f（b）〈0. （×）24．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在b2－4ac〈0時(shí)沒有零點(diǎn)． (√)25．f（x)＝x2，g(x)＝2x，h（x)＝log2x,當(dāng)x∈（4，＋∞)時(shí)，恒有h(x)〈f(x）〈g(x)． （√)26．某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元,按進(jìn)價(jià)增加10％出售,后因庫(kù)存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲利． (×)［提示]降價(jià)后：價(jià)格為100(1＋10%）×90％＝99，比較兩者間的關(guān)系，易知虧損．27．函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大． (×)［提示］未必，如當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝2x與y＝x2函數(shù)值相等．28．不存在x0，使ax0〈xeq\o\al(n，0)〈logax0。 （×)［提示］存在，結(jié)合函數(shù)圖象可知．29．在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a〉1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa（a>0)的增長(zhǎng)速度． （√)30．“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c（a≠0，b〉0，b≠1）增長(zhǎng)速度越來越快的形象比喻． （×)[提示］a〉0,b〉1。1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ）已知集合A＝｛(x，y）|x2＋y2≤3,x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為（)A．9 B．8C．5 D．4A［由x2＋y2≤3知，－eq\r(3）≤x≤eq\r（3），－eq\r(3)≤y≤eq\r（3).又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0，1｝，y∈｛－1,0，1｝，所以A中元素的個(gè)數(shù)為9，故選A。]2．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x〈2｝，B＝{x|3－2x>0}，則（）A．A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜(\a\vs4\al\co1(x＜\f(3，2))）)） B．A∩B＝C．A∪B＝eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜（\a\vs4\al\co1（x＜\f(3,2）)）)) D．A∪B＝RA［因?yàn)锽＝｛x|3－2x＞0｝＝eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|（\a\vs4\al\co1（x＜\f(3，2）))))，A＝{x|x＜2｝,所以A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|（\a\vs4\al\co1（x＜\f（3，2）））)），A∪B＝{x|x＜2｝．故選A.]3．(2018·全國(guó)卷Ⅲ）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝lnx的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的是（)A．y＝ln(1－x) B．y＝ln（2－x）C．y＝ln（1＋x) D．y＝ln(2＋x）B[法一：設(shè)所求函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y）,則其關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(2－x，y），由對(duì)稱性知點(diǎn)(2－x，y）在函數(shù)f（x)＝lnx的圖象上,所以y＝ln（2－x)．故選B.法二：由題意知,對(duì)稱軸上的點(diǎn)（1，0)既在函數(shù)y＝lnx的圖象上也在所求函數(shù)的圖象上，代入選項(xiàng)中的函數(shù)表達(dá)式逐一檢驗(yàn)，排除A，C，D，選B。］4．(2017·全國(guó)卷Ⅰ）函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞）單調(diào)遞減,且為奇函數(shù)．若f(1）＝－1，則滿足－1≤f(x－2）≤1的x的取值范圍是(）A．[－2，2］ B．［－1，1]C．［0，4] D．[1,3]D［∵f(x）為奇函數(shù),∴f(－x)＝－f（x)．∵f（1)＝－1，∴f（－1）＝－f（1)＝1。故由－1≤f（x－2)≤1，得f(1）≤f(x－2）≤f（－1)．又f（x）在(－∞,＋∞)單調(diào)遞減，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3。故選D。]5．(2016·全國(guó)卷Ⅱ）下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lgx的定義域和值域相同的是(）A．y＝x B．y＝lgxC．y＝2x D．y＝eq\f(1,\r(x)）D［根據(jù)函數(shù)解析式特征求函數(shù)的定義域、值域．函數(shù)y＝10lgx的定義域與值域均為(0，＋∞)．函數(shù)y＝x的定義域與值域均為(－∞，＋∞）．函數(shù)y＝lgx的定義域?yàn)?0，＋∞)，值域?yàn)椋ǎ?，＋∞）．函?shù)y＝2x的定義域?yàn)?－∞，＋∞），值域?yàn)椋?，＋∞）．函數(shù)y＝eq\f（1,\r(x））的定義域與值域均為（0,＋∞)．故選D.］6．(2018·全國(guó)卷Ⅰ）設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（2－x,x≤0，,1，x>0，))則滿足f（x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是(）A．(－∞，－1] B．(0，＋∞）C．（－1，0) D．（－∞，0）D［當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x）＝2－x是減函數(shù),則f(x）≥f（0）＝1。作出f（x)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，要使f（x＋1)〈f（2x），則需eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＋1〈0,,2x<0，，2x〈x＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x<0，)）所以x〈0,故選D。]7．（2018·全國(guó)卷Ⅲ