2020高中數(shù)學(xué) 學(xué)期綜合測(cè)評(píng)（二）（含解析）2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)期綜合測(cè)評(píng)(二)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．下列說(shuō)法正確的是（)A．2＞2i B．2＞（3i)2C．2＋3i＜3＋3i D．2＋2i＞2＋i答案B解析本題主要考查復(fù)數(shù)的性質(zhì)．不全為實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，故排除A，C,D；而B中（3i）2＝－9＜2，故選B.2．用反證法證明命題“若直線AB,CD是異面直線,則直線AC,BD也是異面直線”的過(guò)程分為三步：①則A,B，C，D四點(diǎn)共面，所以AB,CD共面，這與AB,CD是異面直線矛盾；②所以假設(shè)錯(cuò)誤，即直線AC,BD也是異面直線；③假設(shè)直線AC，BD是共面直線．則正確的順序?yàn)椋ǎ〢．①→②→③B．③→①→②C．①→③→②D．②→③→①答案B解析本題主要考查反證法的步驟．反證法的步驟是:反設(shè)→歸謬→結(jié)論．結(jié)合本題，知選B.3．用反證法證明“若a＋b＋c〈3，則a,b，c中至少有一個(gè)小于1"時(shí)，應(yīng)（）A．假設(shè)a，b，c至少有一個(gè)大于1B．假設(shè)a，b，c都大于1C．假設(shè)a，b,c至少有兩個(gè)大于1D．假設(shè)a，b，c都不小于1答案D解析假設(shè)a,b，c中至少有一個(gè)小于1不成立，即a，b，c都不小于1,故選D.4．用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋22＋…＋（n－1)2＋n2＋（n－1）2＋…＋22＋12＝eq\f(n2n2＋1，3）時(shí),從n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是(）A．（k－1)2＋2k2 B．(k＋1）2＋k2C．（k＋1)2 D。eq\f（1，3)(k＋1）［2(k＋1）2＋1]答案B解析n＝k時(shí)，左邊＝12＋22＋…＋(k－1）2＋k2＋（k－1）2＋…＋22＋12，n＝k＋1時(shí)，左邊＝12＋22＋…＋（k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋（k－1)2＋…＋22＋12,∴從n＝k到n＝k＋1，左邊應(yīng)添加的式子為（k＋1）2＋k2。5．定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x）,已知y＝ef′（x)的圖象如圖所示,則y＝f（x）的增區(qū)間是(）A．（－∞，1)B．(－∞，2）C．（0,1)D．(1，2）答案B解析由題中圖象知ef′(x）≥1，即f′（x)≥0時(shí),x≤2，∴y＝f（x)的增區(qū)間為（－∞,2）．6．已知x>0，不等式x＋eq\f（1，x)≥2,x＋eq\f（4,x2)≥3，x＋eq\f（27，x3）≥4，…，可推廣為x＋eq\f（a，xn)≥n＋1,則a的值為（）A．n2B．nnC．2nD．22n－2答案B解析由x＋eq\f（1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)＝x＋eq\f(22，x2)≥3，x＋eq\f（27,x3)＝x＋eq\f(33,x3）≥4，…，可推廣為x＋eq\f（nn，xn）≥n＋1，故a＝nn。7．如圖,拋物線y＝－x2＋2x＋1與直線y＝1形成一個(gè)閉合圖形（圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是（)A．1 B。eq\f（4,3）C。eq\r（3） D．2答案B解析由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝1，，y＝－x2＋2x＋1，))知eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝0，，y＝1））或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，，y＝1。))故所求面積S＝eq\i\in(0，2，)（－x2＋2x＋1)dx－eq\i\in(0,2,）1dx＝(－eq\f（1，3）x3＋x2＋x)eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\o\al(2,0)－x）)eq\o\al(2,0）＝eq\f(4,3).故選B。8．設(shè)f(x）＝x(ax2＋bx＋c）(a≠0）在x＝1和x＝－1處均有極值，則下列各點(diǎn)一定在y軸上的是()A．（b，a) B．(a，c）C．(c,b) D．（a＋b，c)答案A解析f′(x)＝3ax2＋2bx＋c,由題意知1，－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的兩根,則1－1＝－eq\f（2b,3a)＝0，所以b＝0。故選A.9．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f(2）＝3，且f（x）在R上的導(dǎo)數(shù)滿足f′(x）－1＜0，則不等式f(x2)＜x2＋1的解集為（）A．（－∞，－eq\r(2)）B．(eq\r（2),＋∞)C．（－∞,－eq\r(2)）∪（eq\r(2），＋∞)D．(－eq\r(2)，eq\r（2）)答案C解析令g（x）＝f（x)－x，則g′（x）＝f′(x）－1＜0，∴g(x）在R上單調(diào)遞減．由f(x2）＜x2＋1，得f（x2)－x2＜1，即g(x2）＜1.又g(2)＝f（2）－2＝1，∴g（x2)＜g（2）,∴x2＞2，解得x＞eq\r（2)或x＜－eq\r（2）。故選C。10．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b〉1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2;⑤ab>1。其中能推出“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是（）A．②③B．①②③C．③D．③④⑤答案C解析若a＝eq\f（1，2）,b＝eq\f（2,3)，則a＋b〉1，但a〈1，b〈1，故①推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2,b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2,b＝－3,則ab〉1，故⑤推不出;對(duì)于③，若a＋b〉2，則a，b中至少有一個(gè)大于1。可用反證法證明：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2,與a＋b>2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1。故選C.11．定義復(fù)數(shù)的一種運(yùn)算z1］｜z1｜＋|z2|,2)(等式右邊為普通運(yùn)算）,若復(fù)數(shù)z＝a＋bi，且正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝3，則z*eq\x\to(z）的最小值為（)A。eq\f(9,2）B。eq\f(3\r(2），2）C。eq\f(3,2）D。eq\f(9,4)答案B解析z＊eq\x\to（z)＝eq\f（｜z｜＋|\x\to（z）｜，2）＝eq\f(2\r（a2＋b2）,2)＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(a＋b2－2ab),又∵ab≤eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a＋b,2）)）2＝eq\f（9，4），∴－ab≥－eq\f（9,4）,z*eq\x\to（z）≥eq\r(9－2×\f(9，4)）＝eq\r(\f（9，2）)＝eq\f（3\r（2），2)。12．若0<x<eq\f（π，2)，則2x與3sinx的大小關(guān)系（）A．2x〉3sinx B．2x〈3sinxC．2x＝3sinx D．與x的取值有關(guān)答案D解析令f(x)＝2x－3sinx,則f′(x）＝2－3cosx。當(dāng)cosx〈eq\f(2,3)時(shí),f′(x）〉0，當(dāng)cosx＝eq\f（2,3)時(shí)，f′（x）＝0，當(dāng)cosx>eq\f（2,3）時(shí)，f′（x）〈0。即當(dāng)0〈x〈eq\f（π,2)時(shí),f(x）先遞減再遞增，而f(0）＝0，feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，2))）＝π－3>0。故f（x）的值與x取值有關(guān)，即2x與sinx的大小關(guān)系與x取值有關(guān)．故選D.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分,共20分)13．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(1－3i，1－i）的共軛復(fù)數(shù)是________．答案2＋i解析∵eq\f（1－3i，1－i)＝eq\f(1－3i1＋i,1－i1＋i）＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，∴eq\f（1－3i，1－i）的共軛復(fù)數(shù)是2＋i.14．通過(guò)類比長(zhǎng)方形，由命題“周長(zhǎng)為定值l的長(zhǎng)方形中，正方形的面積最大,最大值為eq\f(l2，16）”，可猜想關(guān)于長(zhǎng)方體的相應(yīng)命題為________．答案表面積為定值S的長(zhǎng)方體中,正方體的體積最大，最大值為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(S，6))）eq\s\up15(eq\f（3，2)）解析正方形有4條邊，正方體有6個(gè)面，正方形的面積為邊長(zhǎng)的平方，正方體的體積為邊長(zhǎng)的立方．由正方體的邊長(zhǎng)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（S，6）））eq\s\up15(eq\f（1,2）)，通過(guò)類比可知，表面積為定值S的長(zhǎng)方體中，正方體的體積最大，最大值為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（S,6））)eq\s\up15（eq\f（3,2)）。15．若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x）＝x2－4x＋3,則函數(shù)f(1＋x）的單調(diào)遞減區(qū)間是________．答案（0,2)解析由f′（x)＝x2－4x＋3＜0得1＜x＜3,即函數(shù)f（x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，3)．又∵函數(shù)f(1＋x)的圖象是由f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，∴函數(shù)f（1＋x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2）．16．如圖所示的數(shù)陣中，第20行第2個(gè)數(shù)字是________．答案eq\f（1，191）解析設(shè)第n（n≥2且n∈N*）行的第2個(gè)數(shù)字為eq\f（1，an），其中a1＝1，則由數(shù)陣可知an＋1－an＝n，∴a20＝(a20－a19）＋(a19－a18）＋…＋（a2－a1)＋a1＝19＋18＋…＋1＋1＝eq\f（19×20，2）＋1＝191，∴eq\f（1，a20)＝eq\f(1，191）。三、解答題（本大題共6小題,共70分)17．（本小題滿分10分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z｜＝eq\r（2)，z的虛部為1,且在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于第二象限．(1）求復(fù)數(shù)z;(2)若m2＋m＋mz2是純虛數(shù),求實(shí)數(shù)m的值．解(1）設(shè)z＝a＋bi,(a,b∈R),則a2＋b2＝2，b＝1。因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于第二象限,所以a＜0，所以a＝－1,b＝1，所以z＝－1＋i.（2）由(1)得z＝－1＋i,所以z2＝（－1＋i)2＝－2i，所以m2＋m＋mz2＝m2＋m－2mi.又因?yàn)閙2＋m＋mz2是純虛數(shù)，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m2＋m＝0，，－2m≠0，）)所以m＝－1。18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x＋c,且a＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2,3)）).(1)求a的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．解(1)f′（x）＝3x2＋2ax－1，∴f′(x）＝3x2＋2f′eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2,3))）x－1，∴f′eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2,3)）)＝3×eq\f(4,9）＋2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))）×eq\f（2,3）－1,∴f′eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2，3)))＝－1，∴a＝－1.（2）由(1)得f（x）＝x3－x2－x＋c，∴f′（x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1）(x－1)．令f′(x）＞0得x＜－eq\f（1，3）或x＞1，令f′(x)＜0得－eq\f(1，3)＜x＜1，∴f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－∞，－\f（1，3)）)和（1,＋∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,3）,1））。19．（本小題滿分12分）求由曲線xy＝1及直線x＝y(tǒng)，y＝3所圍成的平面圖形的面積．解作出曲線xy＝1，直線x＝y(tǒng)，y＝3的草圖，如圖：所求面積為圖中陰影部分的面積．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(xy＝1，，y＝3，))得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f(1,3)，，y＝3，)）故Aeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3)）；由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（xy＝1，，y＝x，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，,y＝1)）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－1,,y＝－1）)（舍去），故B(1，1)；由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x,,y＝3，)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝3，，y＝3，）)故C(3,3）．20．(本小題滿分12分)若函數(shù)f（x）＝ax3－bx＋4，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x）有極值－eq\f(4,3).（1)求函數(shù)的解析式；(2）若方程f(x)＝k有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解f′（x）＝3ax2－b。（1)由題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（f′2＝12a－b＝0，，f2＝8a－2b＋4＝－\f（4,3），）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f(1，3），,b＝4，))故所求函數(shù)的解析式為f(x）＝eq\f（1，3)x3－4x＋4。（2)由（1）可得f′(x)＝x2－4＝(x－2）（x＋2),令f′（x)＝0,得x＝2或x＝－2。當(dāng)x變化時(shí)，f′（x)，f（x）的變化情況如下表：x(－∞，－2）－2(－2，2)2(2，＋∞)f′（x）＋0－0＋f(x）eq\f（28,3）－eq\f(4，3）因此，當(dāng)x＝－2時(shí)，f（x)有極大值eq\f(28，3)，當(dāng)x＝2時(shí),f(x）有極小值－eq\f(4,3），所以函數(shù)f（x)＝eq\f(1，3)x3－4x＋4的圖象大致如圖所示．若f（x）＝k有3個(gè)不同的根,則直線y＝k與函數(shù)f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以－eq\f（4，3）<k〈eq\f(28,3）。21．(本小題滿分12分）水以20米3/分的速度流入一圓錐形容器,設(shè)容器深30米，上底直徑12米，試求當(dāng)水深10米時(shí),水面上升的速度．解設(shè)容器中水的體積在t分鐘時(shí)為V，水深為h，則V＝20t，又V＝eq\f(1,3）πr2h，由圖知eq\f（r，h）＝eq\f(6,30)，所以r＝eq\f(1，5）h，所以V＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，5）)）2·h3＝eq\f(π，75）h3,所以20t＝eq\f(π，75)h3,所以h＝eq\r(3，\f(1500,π)t)，于是h′＝eq\r（3,\f(1500，π）)·eq\f（1，3）·teq\s\up15（－eq\f(2,3）).當(dāng)h＝10時(shí),t＝eq\f(2，3)π，此時(shí)h′＝eq\f(5,π），所以當(dāng)h＝10米時(shí),水面上升速度為eq\f（5，π）米/分．22