《彈性力學》第五章平面問題的復變函數(shù)法嚴選課資課件

第五章平面問題的復變函數(shù)法1第五章平面問題的復變函數(shù)法1平面問題的復變函數(shù)法第五章平面問題的復變函數(shù)法

直角坐標及極坐標求解平面問題，所涉及的物體邊界是直線或圓弧形。對于其他一些邊界，例如橢圓形、雙曲形、非同心圓等就要用不同的曲線坐標。應用復變函數(shù)可使該類問題得以簡化。本章只限于介紹復變函數(shù)方法在彈性力學中的簡單應用。2平面問題的復變函數(shù)法第五章平面問題的復變函數(shù)法直角

§5-4多連通域內(nèi)應力與位移的單值條件§5-3邊界條件的復變函數(shù)表示§5-2應力和位移的復變函數(shù)表示§5-1應力函數(shù)的復變函數(shù)表示§5-6含孔口的無限大板問題§5-5無限大多連體的情形平面問題的復變函數(shù)法第五章平面問題的復變函數(shù)法3§5-4多連通域內(nèi)應力與位移的單值條件§5

§5-1應力函數(shù)的復變函數(shù)表示

在第二章中已經(jīng)證明，在平面問題里，如果體力是常量，就一定存在一個應力函數(shù)φ，它是位置坐標的重調(diào)和函數(shù)，即現(xiàn)在，引入復變數(shù)z=x＋iy和z＝x－iy以代替實變數(shù)x和y。注意平面問題的復變函數(shù)法4§5-1應力函數(shù)的復變函數(shù)表示在第二章中已

可以得到變換式進而平面問題的復變函數(shù)法5可以得到變換式進而平面問題的復變函數(shù)法5令于是可將方程式變換成為由平面問題的復變函數(shù)法6令于是可將方程式變換成為由平面問題的復變函數(shù)法6

可知，P是調(diào)和函數(shù)可由解析函數(shù)的實部得到。設f(z)為解析函數(shù)，可令由令得則平面問題的復變函數(shù)法7可知，P是調(diào)和函數(shù)可由解析函數(shù)的實部得到。設f(z)為

將上式對

積分，得到再對z積分，得到令即則平面問題的復變函數(shù)法8將上式對積分，得到再對z積分，得到令即則平面問題的

注意上式左邊的重調(diào)和函數(shù)φ是實函數(shù)，可見該式右邊的四項一定是兩兩共軛，前兩項已經(jīng)是共軛的，后兩項也應是共軛的：令即得有名的古薩公式也可以寫成平面問題的復變函數(shù)法9注意上式左邊的重調(diào)和函數(shù)φ是實函數(shù)，可見該式右邊的四項

于是可見，在常量體力的平面問題中，應力函數(shù)φ總可以用復變數(shù)z的兩個解析函(z)和(z)來表示，稱為K-M函數(shù)。而求解各個具體的平面問題，可歸結為適當?shù)剡x擇這兩個解析函數(shù)，并根據(jù)邊界條件決定其中的任意常數(shù)。平面問題的復變函數(shù)法10于是可見，在常量體力的平面問題中，應力函數(shù)φ總

§5-2應力和位移的復變函數(shù)表示根據(jù)應力分量和應力函數(shù)的關系一應力分量的復變函數(shù)表示平面問題的復變函數(shù)法11§5-2應力和位移的復變函數(shù)表示根據(jù)應力分量和應力

可得到應力分量的復變函數(shù)表示由可得而由平面問題的復變函數(shù)法12可得到應力分量的復變函數(shù)表示由可得而由平面問題的復變函

可得或平面問題的復變函數(shù)法13可得或平面問題的復變函數(shù)法13

只要已知(z)及ψ

(z)，就可以把上述公式右邊的虛部和實部分開，由虛部得出τxy，由實部得出σy-σx。和就是應力分量的復變函數(shù)表示。當然也可以建立公式，把σx、σy、τxy三者分開用(z)和ψ

(z)來表示，但那些公式將比較冗長，用起來很不方便。平面問題的復變函數(shù)法14只要已知(z)及ψ(z)，就可以把

二位移分量的復變函數(shù)表示假定為平面應力問題。由幾何方程及物理方程可得平面問題的復變函數(shù)法15二位移分量的復變函數(shù)表示假定為平面應力問題

由于并注意到同理可得平面問題的復變函數(shù)法16由于并注意到同理可得平面問題的復變函數(shù)法16將上兩式分別對x及y積分，得其中的f1及f2為任意函數(shù)。將上式代入式平面問題的復變函數(shù)法17將上兩式分別對x及y積分，得其中的f1及f2為任意函數(shù)。將上

由于平面問題的復變函數(shù)法18由于平面問題的復變函數(shù)法18

從而得到于是得到剛體位移

f1(y)＝u0－ωy，f2(x)＝v

0＋ωx故有平面問題的復變函數(shù)法19從而得到于是得到剛體位移故有平面問題的復變函數(shù)法19

若不計剛體位移，則有由式得到平面問題的復變函數(shù)法20若不計剛體位移，則有由式得到平面問題的復變函數(shù)法20

這就是位移分量的復變函數(shù)表示。若已知(z)及ψ

(z)，就可以將該式右邊的實部和虛部分開，從而得出u和v。平面問題的復變函數(shù)法將結果回代,并兩邊除以得

上述公式是針對平面應力情況導出的。對于平面應變情況，須將式中的E改換為，改換為。21這就是位移分量的復變函數(shù)表示。若已知(z)及ψ(z§5-3邊界條件的復變函數(shù)表示

為了求得邊界上各結點處的φ值，須要應用應力邊界條件，即：

而代入上式，即得：

平面問題的復變函數(shù)法22§5-3邊界條件的復變函數(shù)表示為了求得邊

由圖可見，l=cos(N,x)=dy/ds,m=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改寫為：由此得：

平面問題的復變函數(shù)法23由圖可見，l=cos(N,x)=dy/ds,m=c

設A是邊界上的固定點,B為任意一點，則從A到B邊界上的合力，可用上式從A點到B點對s積分得到：將式平面問題的復變函數(shù)法24設A是邊界上的固定點,B為任意一點，則從A到

代入，整理得：把應力函數(shù)加上一個復常數(shù)，并不影響應力。因此，可把應力函數(shù)A處的值設為零，于是對于邊界上的σ有或這就是應力邊界條件。平面問題的復變函數(shù)法25代入，整理得：把應力函數(shù)加上一個復常數(shù)，并不

對于位移邊界條件將其代入下式即得平面應力情況下位移邊界條件的復變函數(shù)表示平面問題的復變函數(shù)法

對于平面應變，須將式中的E改換為，改換為。26對于位移邊界條件將其代入下式即得平面應力情況

§5-4多連通域內(nèi)應力與位移的單值條件

應力確定后，應力函數(shù)仍可差一個任意的線性函數(shù)，這時K-M函數(shù)并未完全確定。對于單連通區(qū)域，可以通過選取適當坐標系等辦法，使得K-M函數(shù)完全確定；但對于多連通區(qū)域仍不能完全確定。本節(jié)討論K-M函數(shù)在多連通區(qū)域內(nèi)滿足單值的條件。

設有多連通區(qū)域，有一內(nèi)邊界C，設在邊界C上的外力矢量已給定。通常的多值函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，我們設平面問題的復變函數(shù)法27§5-4多連通域內(nèi)應力與位移

DC這里zk為內(nèi)部邊界內(nèi)的任意一點，f和ψf為單值的解析函數(shù)（全純函數(shù)），而Ak，Bk為常數(shù)：平面問題的復變函數(shù)法28DC這里zk為內(nèi)部邊界內(nèi)的任意一點，f和ψf

前面的函數(shù)的導數(shù)是單值的，但他們本身是多值的，當z繞周邊一周時，函數(shù)值ln(zk)產(chǎn)生一個增量2πi,于是(z)和ψ

(z)的增量分別是2πiAk和2πiBk,這時應力主矢量按照公式左邊將得到應力主矢量(沿整個邊界），右邊得到一增量：平面問題的復變函數(shù)法29前面的函數(shù)的導數(shù)是單值的，但他們本身是多值的，

這時位移按照公式也將得到增量，根據(jù)單值性這個增量應為零：結合可得到平面問題的復變函數(shù)法30這時位移按照公式也將得到增量，根據(jù)單值性這個增

于是當有m個內(nèi)邊界時，取平面問題的復變函數(shù)法31于是當有m個內(nèi)邊界時，取平面問題的復變函數(shù)法31

§5-5無限大多連體的情形

當多連體的外邊界趨于無限遠時，該多連體成為無限大的多連體，除上述條件外，還需考慮無限遠的極限情況。以坐標原點為圓心，作充分大的圓周sR，將所有的內(nèi)邊界包圍在其內(nèi)，對于sR之外，彈性體之內(nèi)的任意一點，可得到在sR之外的解析函數(shù)平面問題的復變函數(shù)法32§5-5無限大多連體的情形當多連體的外邊

于是可寫為其中Px,Py為m個邊界上沿x,y方向的面力之和。平面問題的復變函數(shù)法33于是可寫為其中Px,Py為m個邊界上沿x,y方向的面

于是由于在無窮遠處的應力分量應該是有限的，級數(shù)中n≥2的系數(shù)應為零。平面問題的復變函數(shù)法

將多連通區(qū)域內(nèi)的全純函數(shù)和展開為羅郎級數(shù)：34于是由于在無窮遠處的應力分量應該是有限的，級數(shù)

同樣從中，由于在無窮遠處的應力分量應該是有限的，故有其中略去了和應力無關的常數(shù)項。平面問題的復變函數(shù)法35同樣從中，由于在無窮遠處的應力分量應該是有限的

于是其中β與應力計算無關，可取為零，而平面問題的復變函數(shù)法36于是其中β與應力計算無關，可取為零，而平面問題

這時當z→∞時，可得同樣當z→∞時，由可得從中可求得相應的系數(shù)，并可以看到在無限遠處，應力的分布是均勻的。平面問題的復變函數(shù)法37這時當z→∞時，可得同樣當z→∞時，由可得從中

系數(shù)則平面問題的復變函數(shù)法38系數(shù)則平面問題的復變函數(shù)法38§5-6含孔口的無限大板問題

以坐標原點為圓心，作充分大的圓周sR，將所有的內(nèi)邊界包圍在其內(nèi)，對于sR之外，彈性體之內(nèi)的任意一點，可得到平面問題的復變函數(shù)法39§5-6含孔口的無限大板問題以坐標原點為圓平面問題的復變函數(shù)法40平面問題的復變函數(shù)法40

改寫為其中平面問題的復變函數(shù)法41改寫為其中平面問題的復變函數(shù)法41

對于孔邊上的點平面問題的復變函數(shù)法42對于孔邊上的點平面問題的復變函數(shù)法42

將上列各式代入就得到極坐標下圓周邊界上的級數(shù)形式的應力邊界條件。設周邊上的外力為已知，并將其展開為傅氏級數(shù)平面問題的復變函數(shù)法43將上列各式代入就得到極坐標下圓周邊界上的級數(shù)形式的應

比較兩邊eik和e-ik的系數(shù)，可得平面問題的復變函數(shù)法44比較兩邊eik和e-ik的系數(shù)，可得平面問題的復

由無限遠處的應力條件，可得45由無限遠處的應力條件，可得45由位移的單值條件有及可求得再由平面問題的復變函數(shù)法46由位移的單值條件有及可求得再由平面問題的復變函數(shù)法46

可求得至此，全部系數(shù)均已求出。例

設孔周邊為均勻壓力p，無限遠處的應力為零。平面問題的復變函數(shù)法47可求得至此，全部系數(shù)均已求出。例設孔周邊為均勻壓

則有于是可求得平面問題的復變函數(shù)法48則有于是可求得平面問題的復變函數(shù)法48

最后得到根據(jù)上述方法，圓孔口無限大板的一般問題都可以得到解決。平面問題的復變函數(shù)法49最后得到根據(jù)上述方法，圓孔口無限大板的一般問題都可以平面問題的復變函數(shù)法練習5.1試考察下列復變函數(shù)所解決的問題(1)(2)解:基本公式為(1)將分別代入(a)、(b)式50平面問題的復變函數(shù)法練習5.1試考察下列復變函數(shù)所解決的平面問題的復變函數(shù)法得聯(lián)立求解以上兩式,得所給的函數(shù)可以解決矩形薄板在x方向受均布拉力q的問題.如圖5.1(a)所示(2)將代入(a),(b)兩式,得xyqq圖5.1(a)51平面問題的復變函數(shù)法得聯(lián)立求解以上兩式,得所給的函數(shù)平面問題的復變函數(shù)法聯(lián)立求解以上兩式,得所給的函數(shù)可以解決矩形薄板受純剪切問題.如圖5.1(b)示.qqxy圖5.1(b)練習5.2如圖所示.試證矩形截面梁的純彎曲問題可用如下的復變函數(shù)求解.其中I為梁截面的慣矩,M為作用的彎矩.Myxzy解:基本公式為52平面問題的復變函數(shù)法聯(lián)立求解以上兩式,得所給的函數(shù)可平面問題的復變函數(shù)法將代入(1)、(2)式由(1)式得即53平面問題的復變函數(shù)法將代入(1)、(2)式由(1)式得即53平面問題的復變函數(shù)法或由(2)式得即將(4)、(5)式聯(lián)立求得54平面問題的復變函數(shù)法或由(2)式得即將(4)、(5)式聯(lián)立求平面問題的復變函數(shù)法驗證邊界條件(3)在側面:所以由得55平面問題的復變函數(shù)法驗證邊界條件(3)在側面:所以由得55平面問題的復變函數(shù)法由得故即(3)式恒成立.由解答所表示的是一個純彎時,梁橫截面上的應力狀態(tài).56平面問題的復變函數(shù)法由得故即(3)式恒成立.由解答平面問題的復變函數(shù)法練習5.3試導出用復變函數(shù)及表示極坐標中應力分量的公式解:因為在平面問題中所以又因為在平面問題中,有57平面問題的復變函數(shù)法練習5.3試導出用復變函數(shù)平面問題的復變函數(shù)法則58平面問題的復變函數(shù)法則58平面問題的復變函數(shù)法因為所以練習5.4試用公式由導出半平面體在邊界上受集中力作用時的應力分量公式.59平面問題的復變函數(shù)法因為所以練習5.4試用公式由平面問題的復變函數(shù)法ryroP解：由得因為60平面問題的復變函數(shù)法ryroP解：由得因為60平面問題的復變函數(shù)法而所以61平面問題的復變函數(shù)法而所以61平面問題的復變函數(shù)法即由（1）、（2）、（3）式得62平面問題的復變函數(shù)法即由（1）、（2）、（3）式得62結束平面問題的復變函數(shù)法63結束平面問題的復變函數(shù)法63第五章平面問題的復變函數(shù)法64第五章平面問題的復變函數(shù)法1平面問題的復變函數(shù)法第五章平面問題的復變函數(shù)法

直角坐標及極坐標求解平面問題，所涉及的物體邊界是直線或圓弧形。對于其他一些邊界，例如橢圓形、雙曲形、非同心圓等就要用不同的曲線坐標。應用復變函數(shù)可使該類問題得以簡化。本章只限于介紹復變函數(shù)方法在彈性力學中的簡單應用。65平面問題的復變函數(shù)法第五章平面問題的復變函數(shù)法直角

§5-4多連通域內(nèi)應力與位移的單值條件§5-3邊界條件的復變函數(shù)表示§5-2應力和位移的復變函數(shù)表示§5-1應力函數(shù)的復變函數(shù)表示§5-6含孔口的無限大板問題§5-5無限大多連體的情形平面問題的復變函數(shù)法第五章平面問題的復變函數(shù)法66§5-4多連通域內(nèi)應力與位移的單值條件§5

§5-1應力函數(shù)的復變函數(shù)表示

在第二章中已經(jīng)證明，在平面問題里，如果體力是常量，就一定存在一個應力函數(shù)φ，它是位置坐標的重調(diào)和函數(shù)，即現(xiàn)在，引入復變數(shù)z=x＋iy和z＝x－iy以代替實變數(shù)x和y。注意平面問題的復變函數(shù)法67§5-1應力函數(shù)的復變函數(shù)表示在第二章中已

可以得到變換式進而平面問題的復變函數(shù)法68可以得到變換式進而平面問題的復變函數(shù)法5令于是可將方程式變換成為由平面問題的復變函數(shù)法69令于是可將方程式變換成為由平面問題的復變函數(shù)法6

可知，P是調(diào)和函數(shù)可由解析函數(shù)的實部得到。設f(z)為解析函數(shù)，可令由令得則平面問題的復變函數(shù)法70可知，P是調(diào)和函數(shù)可由解析函數(shù)的實部得到。設f(z)為

將上式對

積分，得到再對z積分，得到令即則平面問題的復變函數(shù)法71將上式對積分，得到再對z積分，得到令即則平面問題的

注意上式左邊的重調(diào)和函數(shù)φ是實函數(shù)，可見該式右邊的四項一定是兩兩共軛，前兩項已經(jīng)是共軛的，后兩項也應是共軛的：令即得有名的古薩公式也可以寫成平面問題的復變函數(shù)法72注意上式左邊的重調(diào)和函數(shù)φ是實函數(shù)，可見該式右邊的四項

于是可見，在常量體力的平面問題中，應力函數(shù)φ總可以用復變數(shù)z的兩個解析函(z)和(z)來表示，稱為K-M函數(shù)。而求解各個具體的平面問題，可歸結為適當?shù)剡x擇這兩個解析函數(shù)，并根據(jù)邊界條件決定其中的任意常數(shù)。平面問題的復變函數(shù)法73于是可見，在常量體力的平面問題中，應力函數(shù)φ總

§5-2應力和位移的復變函數(shù)表示根據(jù)應力分量和應力函數(shù)的關系一應力分量的復變函數(shù)表示平面問題的復變函數(shù)法74§5-2應力和位移的復變函數(shù)表示根據(jù)應力分量和應力

可得到應力分量的復變函數(shù)表示由可得而由平面問題的復變函數(shù)法75可得到應力分量的復變函數(shù)表示由可得而由平面問題的復變函

可得或平面問題的復變函數(shù)法76可得或平面問題的復變函數(shù)法13

只要已知(z)及ψ

(z)，就可以把上述公式右邊的虛部和實部分開，由虛部得出τxy，由實部得出σy-σx。和就是應力分量的復變函數(shù)表示。當然也可以建立公式，把σx、σy、τxy三者分開用(z)和ψ

(z)來表示，但那些公式將比較冗長，用起來很不方便。平面問題的復變函數(shù)法77只要已知(z)及ψ(z)，就可以把

二位移分量的復變函數(shù)表示假定為平面應力問題。由幾何方程及物理方程可得平面問題的復變函數(shù)法78二位移分量的復變函數(shù)表示假定為平面應力問題

由于并注意到同理可得平面問題的復變函數(shù)法79由于并注意到同理可得平面問題的復變函數(shù)法16將上兩式分別對x及y積分，得其中的f1及f2為任意函數(shù)。將上式代入式平面問題的復變函數(shù)法80將上兩式分別對x及y積分，得其中的f1及f2為任意函數(shù)。將上

由于平面問題的復變函數(shù)法81由于平面問題的復變函數(shù)法18

從而得到于是得到剛體位移

f1(y)＝u0－ωy，f2(x)＝v

0＋ωx故有平面問題的復變函數(shù)法82從而得到于是得到剛體位移故有平面問題的復變函數(shù)法19

若不計剛體位移，則有由式得到平面問題的復變函數(shù)法83若不計剛體位移，則有由式得到平面問題的復變函數(shù)法20

這就是位移分量的復變函數(shù)表示。若已知(z)及ψ

(z)，就可以將該式右邊的實部和虛部分開，從而得出u和v。平面問題的復變函數(shù)法將結果回代,并兩邊除以得

上述公式是針對平面應力情況導出的。對于平面應變情況，須將式中的E改換為，改換為。84這就是位移分量的復變函數(shù)表示。若已知(z)及ψ(z§5-3邊界條件的復變函數(shù)表示

為了求得邊界上各結點處的φ值，須要應用應力邊界條件，即：

而代入上式，即得：

平面問題的復變函數(shù)法85§5-3邊界條件的復變函數(shù)表示為了求得邊

由圖可見，l=cos(N,x)=dy/ds,m=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改寫為：由此得：

平面問題的復變函數(shù)法86由圖可見，l=cos(N,x)=dy/ds,m=c

設A是邊界上的固定點,B為任意一點，則從A到B邊界上的合力，可用上式從A點到B點對s積分得到：將式平面問題的復變函數(shù)法87設A是邊界上的固定點,B為任意一點，則從A到

代入，整理得：把應力函數(shù)加上一個復常數(shù)，并不影響應力。因此，可把應力函數(shù)A處的值設為零，于是對于邊界上的σ有或這就是應力邊界條件。平面問題的復變函數(shù)法88代入，整理得：把應力函數(shù)加上一個復常數(shù)，并不

對于位移邊界條件將其代入下式即得平面應力情況下位移邊界條件的復變函數(shù)表示平面問題的復變函數(shù)法

對于平面應變，須將式中的E改換為，改換為。89對于位移邊界條件將其代入下式即得平面應力情況

§5-4多連通域內(nèi)應力與位移的單值條件

應力確定后，應力函數(shù)仍可差一個任意的線性函數(shù)，這時K-M函數(shù)并未完全確定。對于單連通區(qū)域，可以通過選取適當坐標系等辦法，使得K-M函數(shù)完全確定；但對于多連通區(qū)域仍不能完全確定。本節(jié)討論K-M函數(shù)在多連通區(qū)域內(nèi)滿足單值的條件。

設有多連通區(qū)域，有一內(nèi)邊界C，設在邊界C上的外力矢量已給定。通常的多值函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，我們設平面問題的復變函數(shù)法90§5-4多連通域內(nèi)應力與位移

DC這里zk為內(nèi)部邊界內(nèi)的任意一點，f和ψf為單值的解析函數(shù)（全純函數(shù)），而Ak，Bk為常數(shù)：平面問題的復變函數(shù)法91DC這里zk為內(nèi)部邊界內(nèi)的任意一點，f和ψf

前面的函數(shù)的導數(shù)是單值的，但他們本身是多值的，當z繞周邊一周時，函數(shù)值ln(zk)產(chǎn)生一個增量2πi,于是(z)和ψ

(z)的增量分別是2πiAk和2πiBk,這時應力主矢量按照公式左邊將得到應力主矢量(沿整個邊界），右邊得到一增量：平面問題的復變函數(shù)法92前面的函數(shù)的導數(shù)是單值的，但他們本身是多值的，

這時位移按照公式也將得到增量，根據(jù)單值性這個增量應為零：結合可得到平面問題的復變函數(shù)法93這時位移按照公式也將得到增量，根據(jù)單值性這個增

于是當有m個內(nèi)邊界時，取平面問題的復變函數(shù)法94于是當有m個內(nèi)邊界時，取平面問題的復變函數(shù)法31

§5-5無限大多連體的情形

當多連體的外邊界趨于無限遠時，該多連體成為無限大的多連體，除上述條件外，還需考慮無限遠的極限情況。以坐標原點為圓心，作充分大的圓周sR，將所有的內(nèi)邊界包圍在其內(nèi)，對于sR之外，彈性體之內(nèi)的任意一點，可得到在sR之外的解析函數(shù)平面問題的復變函數(shù)法95§5-5無限大多連體的情形當多連體的外邊

于是可寫為其中Px,Py為m個邊界上沿x,y方向的面力之和。平面問題的復變函數(shù)法96于是可寫為其中Px,Py為m個邊界上沿x,y方向的面

于是由于在無窮遠處的應力分量應該是有限的，級數(shù)中n≥2的系數(shù)應為零。平面問題的復變函數(shù)法

將多連通區(qū)域內(nèi)的全純函數(shù)和展開為羅郎級數(shù)：97于是由于在無窮遠處的應力分量應該是有限的，級數(shù)

同樣從中，由于在無窮遠處的應力分量應該是有限的，故有其中略去了和應力無關的常數(shù)項。平面問題的復變函數(shù)法98同樣從中，由于在無窮遠處的應力分量應該是有限的

于是其中β與應力計算無關，可取為零，而平面問題的復變函數(shù)法99于是其中β與應力計算無關，可取為零，而平面問題

這時當z→∞時，可得同樣當z→∞時，由可得從中可求得相應的系數(shù)，并可以看到在無限遠處，應力的分布是均勻的。平面問題的復變函數(shù)法100這時當z→∞時，可得同樣當z→∞時，由可得從中

系數(shù)則平面問題的復變函數(shù)法101系數(shù)則平面問題的復變函數(shù)法38§5-6含孔口的無限大板問題

以坐標原點為圓心，作充分大的圓周sR，將所有的內(nèi)邊界包圍在其內(nèi)，對于sR之外，彈性體之內(nèi)的任意一點，可得到平面問題的復變函數(shù)法102§5-6含孔口的無限大板問題以坐標原點為圓平面問題的復變函數(shù)法103平面問題的復變函數(shù)法40

改寫為其中平面問題的復變函數(shù)法104改寫為其中平面問題的復變函數(shù)法41

對于孔邊上的點平面問題的復變函數(shù)法105對于孔邊上的點平面問題的復變函數(shù)法42

將上列各式代入就得到極坐標下圓周邊界上的級數(shù)形式的應力邊界條件。設周邊上的外力為已知，并將其展開為傅氏級數(shù)平面問題的復變函數(shù)法106將上列各式代入就得到極坐標下圓周邊界上的級數(shù)形式的應

比較兩邊eik和e-ik的系數(shù)，可得平面問題的復變函數(shù)法107比較兩邊eik和e-ik的系數(shù)，可得平面問題的復

由無限遠處的應力條件，可得108由無限遠處的應力條件，可得45由位移的單值條件有及可求得再由平面問題的復變函數(shù)法109由位移的單值條件有及可求得再由平面問題的復變函數(shù)法46

可求得至此，全部系數(shù)均已求出。例

設孔周邊為均勻壓力p，無限遠處的應力為零。平面問題的復變函數(shù)法110可求得至此，全部系數(shù)均已求出。例設孔周邊為均勻壓

則有于是可求得平面問題的復變函數(shù)法111則有于是可求得平面問題的復變函數(shù)法48

最后得到根據(jù)上述方法，圓孔口無限大板的一般