233直線與平面、平面與平面垂直的性質習題課課件

2.3.3直線與平面垂直的性質習題課2.3.3直線與平面垂直的性質習題課2．3.3直線與平面、平面與平面垂直的性質1．已知b⊥平面α，a?α，則a與b的位置關系是()A．a∥bB．a⊥bBC．a與b垂直相交D．a與b垂直且異面2．下列命題中，真命題的個數(shù)是()C

①和一條直線成等角的兩平面平行；②和兩條異面直線都平行的兩平面平行；③和兩相交直線都平行的兩平面平行．A．0B．1C．2D．3解析：①假，②、③真．2．3.3直線與平面、平面與平面垂直的性質1．已知b⊥平3．下面四個命題，其中真命題的個數(shù)為()B

①如果一條直線垂直于一個平面內的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直；②過空間一點有且只有一條直線和已知平面垂直；③一條直線和一個平面不垂直，這條直線和平面內的所有直線都不垂直；④垂直于同一平面的兩條直線平行．A．1個B．2個C．3個D．4個

4．兩個平面互相垂直，一條直線和其中一個平面平行，則這條直線和另一個平面的位置關系是______________________．解析：②、④是真命題．相交、平行、在平面內3．下面四個命題，其中真命題的個數(shù)為()B ①如果一條直線垂重點線面、面面垂直的性質定理

1．線面垂直性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行(線面垂直→線線平行)．

2．面面垂直性質定理①：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．用符號語言表示為：若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，則a⊥β(面面垂直→線面垂直)．

3．面面垂直性質定理②：如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內．重點線面、面面垂直的性質定理 1．線面垂直性質定理：垂直于同直線與平面垂直的性質定理的簡單應用例1：如圖

1，在四面體P－ABC中，若PA⊥BC，PB⊥AC，求證：PC⊥AB.圖1直線與平面垂直的性質定理的簡單應用例1：如圖1，在四面體思維突破：要證線線垂直，可先證線面垂直，進而由線面垂直的定義得出線線垂直．證明：過P作PH⊥平面ABC，垂足為H，連接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH.又AH?平面PAH，∴BC⊥AH.同理AC⊥BH，即H為△ABC的垂心，∴AB⊥CH.∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面PCH.∵PC?平面PCH，∴PC⊥AB.點評：從本例可以進一步體會線面位置關系的相互轉化在解(證)題中的作用．思維突破：要證線線垂直，可先證線面垂直，進而由線面垂直的定義1－1.已知a、b是兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，a⊥α，b⊥β，則下列命題中不正確的是()BA．若a與b相交，則α與β相交B．若α與β相交，則a與b相交C．若a∥b，則α∥βD．若α⊥β，則a⊥b解析：α與β相交，a與b可能是異面直線．1－1.已知a、b是兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平1－2.α、β是兩個不同的平面，m、n是α、β之外的兩條不同的直線，給出以下四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個作為結論，寫出你認為正確的一個命題___________.解析：答案不唯一，如：②③④→①也正確．①③④→②1－2.α、β是兩個不同的平面，m、n是α、β之外的兩條不圖2證明：作AH⊥SB于H.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AH⊥平面SBC.∴AH⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又∵AH∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.面面垂直→線面垂直．平面與平面垂直的性質定理的簡單應用例2：如圖

2，在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求證：AB⊥BC.圖2證明：作AH⊥SB于H.又SA⊥平面ABC，2－1.如圖3，四棱錐V－ABCD的底面為矩形，側面VAB⊥底面ABCD，且VB⊥平面VAD.求證：平面VBC⊥平面VAC.圖3證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥AB.又∵面VBA⊥面ABCD，面VBA∩面ABCD＝AB，∴BC⊥面VAB.∴BC⊥VA.∵VB⊥面VAD，∴VB⊥VA.∵VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC.又∵VA?面VAC，∴面VBC⊥面VAC.2－1.如圖3，四棱錐V－ABCD的底面為矩形，側面面面垂直的綜合應用例3：如圖

4，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，AE⊥SB于E點，過E作EF⊥SC于F點．(1)求證：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD.圖4證明：(1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，∴SA⊥BC.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.又AE?平面SBC，∴BC⊥AE.面面垂直的綜合應用例3：如圖4，已知矩形ABCD，過又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，DC?平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.又AG?平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF，∴SC⊥AG，且SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.又EF⊥SC，∴SC3－1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，平面PDC與平面ABCD成45°角，M、N分別為AB、PC的中點．求證：平面MND⊥平面PDC.圖27證明：如圖27，設E為PD中點，連接AE、EN，∵M、N分別為AB、PC中點，∴EN∥DC∥AB，∴四邊形AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE.3－1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，平面P∴DC⊥AE，DC⊥PD，∴∠PDA是二面角P－DC－A的平面角．∵PDA＝45°，又PA⊥AD，∴∠APD＝45°，△PAD是等腰直角三角形．∵E為PD的中點，∴AE⊥PD.又∵DC⊥AE，∴AE⊥平面PDC.又MN∥AE，∴MN⊥平面PDC.∴平面MND⊥平面PDC.∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，∴PA⊥DC，PA⊥AD.又∵DC⊥AD，∴DC⊥平面PAD，而AE?平面PAD.∴DC⊥AE，DC⊥PD，∴∠PDA是二面角P－DC－A例4：證明：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．錯因剖析：找不準輔助線，無從下手．證法一：如圖5，在γ內取一點P，作PA垂直α與γ的交線于A，再作PB垂直β與γ的交線于B，則PA⊥α，PB⊥β.∵l＝α∩β，∴l(xiāng)⊥PA，l⊥PB.∵α與β相交，∴PA與PB相交．又PA?γ，PB?γ，∴l(xiāng)⊥γ.圖5例4：證明：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的圖6

證法二：如圖6，在α內作直線m垂直于α與γ的交線，在β內作直線n垂直于β與γ的交線， ∵α⊥γ，β⊥γ， ∴m⊥γ，n⊥γ.

∴m∥n.又n?β， ∴m∥β，∴m∥l，∴l(xiāng)⊥γ.圖6 證法二：如圖6，在α內作直線m垂直于α與γ的交證法三：如圖7，在l上取一點P，過點P作γ的垂線l′，但α∩β＝l，∴l(xiāng)與l′重合，∴l(xiāng)⊥γ.圖7證法三：如圖7，在l上取一點P，過點P作γ的垂線

點評：證法一、證法二都是利用“兩平面垂直時，在一個平面內垂直于兩平面的交線的直線垂直于另一個平面”這一性質，添加了在一個平面內垂直于交線的直線這樣的輔助線．這是證法一、證法二的關鍵．

證法三是利用“如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內”這一性質，添加了l′這條輔助線，這是證法三的關鍵． 通過此例，體會兩平面垂直時，添加輔助線的方法． 點評：證法一、證法二都是利用“兩平面垂直時，在一個 證法三)D4－1.(2010年山東)在空間，下列命題正確的是(A．平行直線的平行投影重合B．平行于同一直線的兩個平面平行C．垂直于同一平面的兩個平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行)D4－1.(2010年山東)在空間，下列命題正確的是(2.3.3直線與平面垂直的性質習題課2.3.3直線與平面垂直的性質習題課2．3.3直線與平面、平面與平面垂直的性質1．已知b⊥平面α，a?α，則a與b的位置關系是()A．a∥bB．a⊥bBC．a與b垂直相交D．a與b垂直且異面2．下列命題中，真命題的個數(shù)是()C

①和一條直線成等角的兩平面平行；②和兩條異面直線都平行的兩平面平行；③和兩相交直線都平行的兩平面平行．A．0B．1C．2D．3解析：①假，②、③真．2．3.3直線與平面、平面與平面垂直的性質1．已知b⊥平3．下面四個命題，其中真命題的個數(shù)為()B

①如果一條直線垂直于一個平面內的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直；②過空間一點有且只有一條直線和已知平面垂直；③一條直線和一個平面不垂直，這條直線和平面內的所有直線都不垂直；④垂直于同一平面的兩條直線平行．A．1個B．2個C．3個D．4個

4．兩個平面互相垂直，一條直線和其中一個平面平行，則這條直線和另一個平面的位置關系是______________________．解析：②、④是真命題．相交、平行、在平面內3．下面四個命題，其中真命題的個數(shù)為()B ①如果一條直線垂重點線面、面面垂直的性質定理

1．線面垂直性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行(線面垂直→線線平行)．

2．面面垂直性質定理①：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．用符號語言表示為：若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，則a⊥β(面面垂直→線面垂直)．

3．面面垂直性質定理②：如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內．重點線面、面面垂直的性質定理 1．線面垂直性質定理：垂直于同直線與平面垂直的性質定理的簡單應用例1：如圖

1，在四面體P－ABC中，若PA⊥BC，PB⊥AC，求證：PC⊥AB.圖1直線與平面垂直的性質定理的簡單應用例1：如圖1，在四面體思維突破：要證線線垂直，可先證線面垂直，進而由線面垂直的定義得出線線垂直．證明：過P作PH⊥平面ABC，垂足為H，連接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH.又AH?平面PAH，∴BC⊥AH.同理AC⊥BH，即H為△ABC的垂心，∴AB⊥CH.∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面PCH.∵PC?平面PCH，∴PC⊥AB.點評：從本例可以進一步體會線面位置關系的相互轉化在解(證)題中的作用．思維突破：要證線線垂直，可先證線面垂直，進而由線面垂直的定義1－1.已知a、b是兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，a⊥α，b⊥β，則下列命題中不正確的是()BA．若a與b相交，則α與β相交B．若α與β相交，則a與b相交C．若a∥b，則α∥βD．若α⊥β，則a⊥b解析：α與β相交，a與b可能是異面直線．1－1.已知a、b是兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平1－2.α、β是兩個不同的平面，m、n是α、β之外的兩條不同的直線，給出以下四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個作為結論，寫出你認為正確的一個命題___________.解析：答案不唯一，如：②③④→①也正確．①③④→②1－2.α、β是兩個不同的平面，m、n是α、β之外的兩條不圖2證明：作AH⊥SB于H.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AH⊥平面SBC.∴AH⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又∵AH∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.面面垂直→線面垂直．平面與平面垂直的性質定理的簡單應用例2：如圖

2，在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求證：AB⊥BC.圖2證明：作AH⊥SB于H.又SA⊥平面ABC，2－1.如圖3，四棱錐V－ABCD的底面為矩形，側面VAB⊥底面ABCD，且VB⊥平面VAD.求證：平面VBC⊥平面VAC.圖3證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥AB.又∵面VBA⊥面ABCD，面VBA∩面ABCD＝AB，∴BC⊥面VAB.∴BC⊥VA.∵VB⊥面VAD，∴VB⊥VA.∵VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC.又∵VA?面VAC，∴面VBC⊥面VAC.2－1.如圖3，四棱錐V－ABCD的底面為矩形，側面面面垂直的綜合應用例3：如圖

4，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，AE⊥SB于E點，過E作EF⊥SC于F點．(1)求證：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD.圖4證明：(1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，∴SA⊥BC.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.又AE?平面SBC，∴BC⊥AE.面面垂直的綜合應用例3：如圖4，已知矩形ABCD，過又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，DC?平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.又AG?平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF，∴SC⊥AG，且SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.又EF⊥SC，∴SC3－1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，平面PDC與平面ABCD成45°角，M、N分別為AB、PC的中點．求證：平面MND⊥平面PDC.圖27證明：如圖27，設E為PD中點，連接AE、EN，∵M、N分別為AB、PC中點，∴EN∥DC∥AB，∴四邊形AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE.3－1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，平面P∴DC⊥AE，DC⊥PD，∴∠PDA是二面角P－DC－A的平面角．∵PDA＝45°，又PA⊥AD，∴∠APD＝45°，△PAD是等腰直角三角形．∵E為PD的中點，∴AE⊥PD.又∵DC⊥AE，∴AE⊥平面PDC.又MN∥AE，∴MN⊥平面PDC.∴平面MND⊥平面PDC.∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，∴PA⊥DC，PA⊥AD.又∵DC⊥AD，∴DC⊥平面PAD，而AE?平面PAD.∴DC⊥AE，DC⊥PD，∴∠PDA是二面角P－DC－A例4：證明：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．錯因剖析：找不準