分式方程題型重難點(diǎn)最新總結(jié)

分式方程重難點(diǎn)題型一、知識梳理一：分式方程的基本解法1．分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫作分式方程．2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．（2）解可化為一元一次方程的分式方程的一般方法和步驟：去分母，即在方程的兩邊同時乘以最簡公分母，把原方程化為整式方程；去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1；⑥驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡公分母中，使最簡公分母不等于零的值是原方程的根；使最簡公分母等于零的值是原方程的增根．注意：解分式方程一定要驗(yàn)根．二：分式方程的增根和無解1．分式方程的增根（1）產(chǎn)生增根的原因增根的產(chǎn)生是在解分式方程的第一步“去分母”時造成的，根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個不為0的數(shù)，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得的方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根．（2）分式方程增根的應(yīng)用如果說某個含參數(shù)的分式方程無解，但是去分母以后的整式方程是有解的，說明那個解應(yīng)該是增根．只要把增根求出來（也就是令原來的分母為零），代入整式方程就可以解出參數(shù)的值．2．分式方程無解：不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等．它包含兩種情形：（1）原方程去分母后的整式方程無解；（2）原方程去分母后的整式方程有解，但這個解使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解．3．分式方程無解與增根的區(qū)別：分式方程無解時，不一定有增根；分式方程有增根時，不一定無解．例題分析題型一分式方程的概念與基本解法例1】下列方程中哪些是分式方程？1)3(x—1)+x=0(2)x+：(x—1)=9(3)丄—3=7(4)乂+2x=123x+1x33(5)2x+9=7(6)3y一7(7)x+1=3(8)3=1x—33y+1xx3—x(9)-2x+7=0(a為字母系數(shù))(10)a2±1+-=3(a為字母系數(shù))a2+1ax一3x解析】思路與技巧：分式方程首先應(yīng)為方程，然后還必須滿足有分母，并且分母中含有未知例2】解析】數(shù)．其中分式方程有(3)、(5)、(7)、解下列分式方程：例2】解析】數(shù)．其中分式方程有(3)、(5)、(7)、解下列分式方程：1)2)3)8)、(10)x2一4x2x+1=x2一1x+13筈1一1=(x+1)(x-2)⑴x=3；(2)1x=一―2兩邊同時乘以(x+l)(x-2)，得x(x一2)-(x+l)(x-2)=3.解這個方程，得x=-1.,檢驗(yàn)：x=—1時(x+1)(x-2)=0,x=—1不是原分式方程的解，原分式方程無解.【變1】解下列分式方程：(1)+㈡=出一x2x+2x一2x2x一57x一102)+=——x2+x一6x2一x一12x2一6x+8【解析】(1)原方程化為匹+二2=出(2+x)(2一x)x+2x一2方程兩邊同時乘以(x+2)(x—2),約去分母，得-16+(x—2)2=(x+2)2，整理得x2—4x—12=x2+4x+4，解這個整式方程，得x=—2，檢驗(yàn)：把x=—2代入(x+2)(x—2)，得(—2+2)(—2—2)=0所以x=—2是原方程的增根，原分式方程無解.2)原方程可變形為：5x2x—52)原方程可變形為：+=(x—2)(x+3)(x+3)(x—4)(x—2)(x—4)方程兩邊都乘以(x—2)(x+3)(x—4)，

得5x(x-4)+(2x-5)(x-2)=(7x-10)(x+3),整理，得-40x=—40,?：x=1,1=2k+1x2-xx檢驗(yàn)，當(dāng)x=1時，(x-2)(x+1=2k+1x2-xx【變2】設(shè)實(shí)數(shù)k滿足0<k<1，解關(guān)于x的分式方程：育解析】由題意得，2kx-1=(2k+1)(x-1)，即2kx-1=(2k+1)x-2k-1,解得x=2k,如果k=丄，即x=1，則x=2k為原方程的增根;2如果0<k<1且k豐-，則x=2k為原方程的根.2題型二分式方程的增根、無解及解范圍問題【例3】(1)若關(guān)于x的方程竺=丄+1無解，則a的值是?x-2x-2若關(guān)于x的分式方程-a<1且aH—a<1且aH—1.x-1x若關(guān)于x的方程旦-亠=心無解，求a的值.x+2x-1(x-1)(x+2)解析】(1)1或2；(2)1或-2；原方程化為(a+2)x=3，x=1、x=0、a+2=0時，原方程均無解.原方程化為(a+2)x=-3，①???原方程無解，???a+2=0或x-1=0，x+2=0，得x=1，x=-2分別代入①，得a=-5，a=-，2綜上知a=-2，-5或—.2【例4】(1)若關(guān)于x的方程2x+m+1=0的根為正數(shù)，則m取值范圍為x-2若關(guān)于x的分式方程亠=二^-2的解是非負(fù)數(shù)，則a取值范圍是x-12x-2若關(guān)于x的方程-1=0的解為正數(shù)，則a取值范圍為.x-1【解析】(1)去分母，得：2x+m+(x-2)=0，化簡可得：x=m，由題意得：x>0且x豐2，即：^-―m>0且^-―m豐2，解得：m<2且mh-4.3342(2)a>——且a豐.33【例5】（1）若關(guān)于x的分式方程一匚=1有增根，則增根X2—1x—1TOC\o"1-5"\h\z（2）如果分式方程口-丄=8出現(xiàn)了增根，那么k的值為.x—77—x（3）若分式方程仝—竺也=3產(chǎn)生增根，則m的值為?X+1X2+XX（4）如果解方程如—旦=-^時出現(xiàn)增根，則m的取值為.X—2x+2x2—4【解析】（1）X=1；去分母，得：6—m(X+1)=X2—1，移項，得：7—m(X+1)=X2,當(dāng)x=—1時，原方程無解，（分母為0的兩種情況討論），當(dāng)x=1時為原方程的增根.（2）1；（3）—2或1；（4）m=±.2【變3】⑴若分式方程：2+上竺=丄有增根，則k的值為X—22—X⑵若關(guān)于x的分式方程也三—1=2無解，則m的值為X—3X⑶若分式方程=—1的解是正數(shù)，求a的取值范圍.X—2⑷解關(guān)于x的方程=￡（c+d豐0）b—Xd22【解析】⑴解分式方程得：X=丄，由于有增根，則X=2,???丄=2,???k=12—k2—k⑵解分式方程得：x=——，由于方程無解，則X=0或32m+13當(dāng)X=0時，m無解，當(dāng)x=3時，m=——2⑶解分式方程得：X=竽〉0且X豐2題型三8大技巧解分式方程對于某些特殊類型的分式方程，如果采用常規(guī)方法來解，往往會帶來繁瑣的運(yùn)算。下面舉例介紹幾種巧解分式方程的方法.技巧1：局部通分法例6】解下列關(guān)于X的方程（組）：11111x-6x-3x-5x-233【解析】局部通分得ertect去分母，得x2—7x+10=x2—9x+18,故x=4經(jīng)檢驗(yàn)知x=4是原方程的解.131041【變4】解方程：-_-〒x-4x-3x-5x-1【解析】方程的左右兩邊分別通分得((x-4)(x-3)_3x+1(x-5)(x-1)，3x+13x+1_0，(x-4)(x-3)(x-5)(x-1)(3x+1)(x-4)(x-3)(x-5)(x-1)_/.3x+1_0，或-_0,(x-4)(x-3)(x-5)(x-1)由3x+1_0,解得x_--，由一_0，解得x_7.3(x-4)(x-3)(x-5)(x-1)經(jīng)檢驗(yàn)：x=-1,x=7是原方程的根.技巧2：分離常數(shù)法x—1x—7x—3x—5【例7】+_+x—2x—8x—4x—6分析】方程中每一個分式的分母加1都等于它的分子，根據(jù)這樣一個特點(diǎn)，可以把分子分成兩項，然后分別用它的分母去除，消去分子中的未知數(shù)．解析】分離常數(shù)得(x-2)+1(x-8)+1(x-4)+1(x-6)+1+_+x—2x—8x—4x—6即1+——+1+_1++1+x—2x—8x—4注：分離常數(shù)之后達(dá)到使分式方程簡化的目的，之后可以用剛才的局部通分法繼續(xù)解題移項得：局部通分得：2_2x2—6x+8x2—14x+48.x2—14x＋48=x2—6x＋8解得x=5,經(jīng)檢驗(yàn)x=5是原方程的解．3x2+9x+72x2+4x-3x3+x+1【變5】解萬程--=0.X2-13x2+9x+72x2+4x—3x3+x+1【解析】萬程--=0可化為:x-1x2-1132x+13x+6+—(2x+6)——x——0x+1x-1x2-1沁—0二-4^—0x2-1x2-1故x一4'經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．【變6】解方程x2+x-3+1=2x2+4x+1

x2+x-2解析】x2+x-2-1+1=2x2+4x+2-1x2+x-21+=1+1—2+=1—x2+x-2x2+2x+1-1-1,x2+x—2=x2+2x+1,x——3x2+x-2x2+2x+1經(jīng)檢驗(yàn)x=-3不是原方程的增根，???原方程的解是x=-3技巧3：換元法例8】310r+—-5x+yx-y2_-_—1x+yx-y解析】設(shè)1x+y1x-yb，則原方程組可化為3a+10b—2a-15b—-51-11

x+y1x-y-1x+y—-1x-y—-5解得x—-3y—2經(jīng)檢驗(yàn)F—-3為原方程組的解.[y—2x23x2【例9】解方程（）2--4—0x-1x-1【解析】設(shè)二—y，則原方程可化為：y2-3y-4—0解得y—4或y—一1.x-1

x2(1)當(dāng)y=4時，=4，去分母，得x2=4(x—1)nx2—4x+4=0nx=2；x一1x2⑵當(dāng)y=-1時，咅=-1nx2=-x-1nx2-x一1=0nx=寧檢驗(yàn)：把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0．變7】解方程：㈡+x一23+3x一2x一變7】解方程：㈡+x一23+3x一2x一3解析】寧=b，則原方程可化為:a+b=—+—,(a+b)(ab一1)=0ab故a+b=°或者ab=1,即寧+寧=°或者=1解之得，x=￡，或x=0,或x=5,經(jīng)檢驗(yàn)，均是原方程的解.61+=—變8】變8】解析】把方程組的每一個方程去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程組，將得到二元二次方程組，目前我們還不會解這類方程組.若認(rèn)真觀察這個方程組得特點(diǎn)，則原方程組可寫成解析】61亠6116\-6—=x/1,只需把丄丄分別看作是一個整體,81o1=1xyxy10則利用換元法就可以轉(zhuǎn)化為二元一次方程組求解.設(shè)丄=m,，=n.xy則原方程組可化為q6m+6n=丄2.則原方程組可化為q6m+6n=丄2.解這個方程組，得＜8m一3n=-101m=—2°,即n=-3011x2011x=20y=30經(jīng)檢驗(yàn)］y—30是原方程組的解?xx+y3變9】解方程組13x一y6+-^:32x一y解析】按常規(guī)想法將兩個分式方程去分母后變形為整式方程組，會出現(xiàn)高次方程，目前我們還不會解．因此觀察特點(diǎn)，特別是反復(fù)出現(xiàn)的字母形式，再利用換元思想（或叫整體代換）變9】解方程組13x一y6+-^:32x一y解析】按常規(guī)想法將兩個分式方程去分母后變形為整式方程組，會出現(xiàn)高次方程，目前我們還不會解．因此觀察特點(diǎn)，特別是反復(fù)出現(xiàn)的字母形式，再利用換元思想（或叫整體代換）去解這個方程組．m1———3n:_—..36(1)m|23一+2n:3(2)2—=n,則原方程組變形為＜x—y化簡整理方程組：將方程⑴兩邊同乘以6，得：2m-18n=-1將方程⑵兩邊同乘以2得：m+4n=6I2m—18n=—1（3）1???原方程組化為仃+牡=:…二（J解方程組：⑶-⑷X2得n=3m=41n=—2X+y:411X—y2X—y=2(6)X=3y=1技巧4：局部換元法再解方程組：⑸+⑹得X=3,將X=3代入⑸得y=1經(jīng)檢驗(yàn)：］；:1是原方程組的解.例例10】—+=0X2—XX2—X+1X2—X+4【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)各分式中分母都和X2—X+1這一式子有聯(lián)系，故可用局部換元法【解析】令X2-x+1=y,原方程變成121+:0,解之并檢驗(yàn)可得y=3。y—1yy+3.*.X2—x+1=3,解之可得X]=2,x2=—1注：涉及一元二次方程簡單解法，教師可適當(dāng)鋪墊。故原方程的根是x1=2,x2=-1(【例11】6X2+厶+5(x+-)=38.x1【解析】設(shè)(【例11】6X2+厶+5(x+-)=38.x1【解析】設(shè)t=x+—x5解得t=,t122315當(dāng)X+=時解得X=2,xx212110當(dāng)x+=-時解得x=-三，xx333則x12+=t2—2原方程變?yōu)椋?(t2—2)+5t=38x2=10=1=2J,x=-33經(jīng)檢驗(yàn)都為原方程的根。所以原方程的根為X1=2,遼2,=-x=-334變10】1+12_=0.x2-10x-29x2-10x-45x2-10x-69解析】設(shè)x2-10x-45=t,則原方程可化為:112+=0，解之得，t=-6t+16tt-2故X2-10x-45=-6nX2-10x-39=0(x+3)(x—13)=0nx=-3或x=13變11】解方程：X2+11X-8+X2+2X-8+X2-13X-8=解析】設(shè)x2-8=Y,則原方程化為:++=011x+y2x+yy-13x整理可得，Y2=49x2,故y=±7x若y=7x,貝UX2-7x-8=0,(x+l)(x-8)=0,故x=-1或x=8;若y=-7x,貝Ux2+7x-8=0,(x-l)(x+8)=0,故x=1或x=-8.經(jīng)檢驗(yàn)，上述四個值均是原方程的解．技巧5:裂項法技巧5:裂項法例12】1011110【解析】原方程可化為丄-丄+二xx+1x+1x+2即1-丄二竺,解之得x=-,經(jīng)檢驗(yàn)x=1是原方程的根

xx+5x+522變12】方程(x-1)(x+2)+(x+2)(x+5)+(x+5)(x+8)+(x+8)(x+11)3x-324的解解析】11(x-3)xx-3變13】?：方程兩邊乘3,拆項、化簡得：」x+118解方程+++x2+xx2+3x+2x2+5x+6x2+7x+1221解析】方程技巧6：例13】1+++x2+xx2+3x+2x2+5x+6x2+7x+122111111可化為：一一+-+...+一xx+1x+1x+2x+3x+4214

=，即=—x(x+4)2111xx+421故x(x+4)=21nx2+4x-21=0，即(x-3)(x+7)=0故x=3或者x=-7，經(jīng)檢驗(yàn)，均是原方程的解.倒數(shù)法x2+xx2一1解析】*?*x豐0,方程化為"+"=x2-1,x+1=x2-1解析】xx=2,x=-1經(jīng)檢驗(yàn)x=-1是增根，舍去，原方程的解是x=212技巧7：利用因式分解裂項法例14】1222【解析】原方程變化為：三+花+口-口=1丄=1x+2經(jīng)檢驗(yàn)x=1是原方程的根技巧8：逐步通分法11248【例15】++++=161-X1+X1+X21+x41+X8【解析】丄+丄+丄+旦=161-X21+X21+X41+X8=16=16++1-X41+X41+X888

+1-X88

+1-X81+X8=16解得X=0，經(jīng)檢驗(yàn)X=0是原方程的根161-X16=16題型四分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題時，一定要注意檢驗(yàn)有兩層：驗(yàn)根和驗(yàn)題意．例16】列方程解應(yīng)用題：為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場.現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩個工廠了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用10天；信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍.根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品.【解析】設(shè)甲工廠每天能加工X件新產(chǎn)品，則乙工廠每天能加工1.5x件新產(chǎn)品.12001200依題意得=+10解得X=40X1.5X經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是原方程的解，并且符合題意???1.5x=60.答：甲工廠每天能加工40件新產(chǎn)品，乙工廠每天能加工60件新產(chǎn)品．【變14】甲、乙兩同學(xué)玩“托球賽跑”游戲，商定：球拍托著乒乓球從起跑線l起跑，繞過P點(diǎn)跑回到起跑線（如圖所示）；途中乒乓球掉下時須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑，用時少者勝．結(jié)果：甲同學(xué)由于心急，掉了球，浪費(fèi)了6秒鐘，乙同學(xué)則順利跑完．事后，甲同學(xué)說：“我倆所用的全部時間的和為50秒”，乙同學(xué)說：“撿球過程不算在內(nèi)時，甲的速度是我的1.2倍”．根據(jù)圖文信息，請問哪位同學(xué)獲勝？【解析】解一：設(shè)乙同學(xué)的速度為x米/秒，則甲同學(xué)的速度為1.2x米/秒

30米根據(jù)題意得：型+6+60=501.2xx30米解得x=2.5經(jīng)檢驗(yàn)：x=2.5是方程的解，且符合題意，???甲同學(xué)所用的時間為：型+6=26(秒)1.2x乙同學(xué)所用的時間為：60=24秒x?/26>24,???乙同學(xué)獲勝解二：設(shè)甲同學(xué)所用時間為x秒，乙同學(xué)所用時間為y秒x=26y=24x=26y=24根據(jù)題意得］601c60解得=1.2x—x一6y經(jīng)檢驗(yàn)：x=26，y=24是方程的解，且符合題意，x>y，A乙同學(xué)獲勝題型五七大誤區(qū)梳理誤區(qū)1：忽視檢驗(yàn)236【例17】解方程+=x+1x一1x2一1【錯解】去分母，得2(x一1)+3(x+1)=6解這個整式方程，得x=1所以，原方程的解為x=1【總結(jié)】錯誤原因就是沒有驗(yàn)根，這是與解整式方程最大的區(qū)【正解】在添加檢驗(yàn)這一環(huán)節(jié)就可以拉。經(jīng)檢驗(yàn)，得x=1能使原方程分母得0,所以x=1是增根，舍去，原方程沒有實(shí)數(shù)誤區(qū)2：檢驗(yàn)方法不正確236【例18】解方程+=x+1x一1x2一1【錯解】去分母，得2(x-1)+3(x+1)=6解這個整式方程，得x=1檢驗(yàn)：把x=1代入2(x-1)+3(x+1)=6中，左邊=2x(1-1)+3(1+2)=6=右邊所以，x=1是原方程的解。22【正解】去分母，得2(x-1)+3(x+1)=6，解這個整式方程，得x=1檢驗(yàn)：把x=1代入原方程，原方程無意義，故x=1是增根，原方程無解誤區(qū)3：忽視分子為零例19例19】解方程x-2錯解】方程兩邊分別通分并整理，5—x5—x錯解】方程兩邊分別通分并整理，x2—3x+2x2—7x+12由于等式左右兩邊都是分式，而且這兩個分式的分子相等，所以分母也應(yīng)該相等，故有x2x2—3x+2=x2—7x+12解之，得x=|檢驗(yàn)：把x=2代入原方程，原方程左、右兩邊的值相等，所以，x=2是原方程的根.正解】方程兩邊分別通分并整理，5—x5—x正解】方程兩邊分別通分并整理，x2—3x+2x2—7x+12當(dāng)5—x二0時，得x二5；當(dāng)5—x主0時，貝y有x2—3x+2=x2—7x+12.55解之，得x=2.經(jīng)檢驗(yàn)知x=5，x